Xác suất mà một học sinh đạt điểm cao hơn một bài kiểm tra khác với các câu hỏi được chọn ngẫu nhiên là gì?

Giả sử có một bộ gồm câu hỏi và có học sinh và .$S$$100$$2$$a$$b$

Đặt là xác suất để câu trả lời đúng cho câu hỏi và giống với .$P_{ai}$$a$$i$$P_{bi}$$b$

Tất cả và được cung cấp cho .$P_{ai}$$P_{bi}$$i = 1...100$

Giả sử một kỳ thi được làm bằng cách lấy câu hỏi ngẫu nhiên từ .$E$$10$$S$

Làm thế nào tôi có thể tìm thấy xác suất của nhận được một số điểm tốt hơn so với ?$a$$b$

Tôi đã nghĩ đến việc kiểm tra các kết hợp và so sánh các xác suất nhưng nó là một con số rất lớn và sẽ mất mãi mãi, vì vậy tôi đã hết ý tưởng.

Một chương trình năng động sẽ làm cho công việc ngắn này.

Giả sử chúng ta quản lý tất cả các câu hỏi cho học sinh và sau đó chọn ngẫu nhiên một tập hợp con $\mathcal{I}$ của $k=10$ ra khỏi tất cả $n=100$câu hỏi Hãy xác định một biến ngẫu nhiên$X_i$ để so sánh hai học sinh trong câu hỏi $i:$ đặt nó thành $1$ nếu học sinh A đúng và học sinh B thì không, $-1$ nếu học sinh B đúng và học sinh A không, và $0$nếu không thì. Tổng số

là sự khác biệt về điểm số cho các câu hỏi trong $\mathcal I.$ Chúng tôi muốn tính toán $\Pr(X_\mathcal{I} \gt 0).$ Xác suất này được thực hiện trên phân phối chung của và$\mathcal I$$X_i.$

Hàm phân phối của dễ dàng được tính toán$X_i$ theo giả định mà học sinh trả lời độc lập:

Là một tốc ký, chúng ta hãy gọi các xác suất này và . Viết$a_i,$ $b_i,$$d_i,$

Đa thức này là hàm tạo xác suất cho$X_i.$

Hãy xem xét hàm hợp lý

(Trên thực tế, là một đa thức: đó là một hàm hữu tỷ khá đơn giản.) $x^n\psi_n(x,t)$

Khi được mở rộng dưới dạng đa thức tính bằng , hệ số của bao gồm tổng của tất cả các sản phẩm có thể có của khác biệt Đây sẽ là một hàm hợp lý với các hệ số khác không chỉ cho các lũy thừa của từ đếnVì được chọn ngẫu nhiên một cách ngẫu nhiên, nên các hệ số của các lũy thừa này của khi được chuẩn hóa thành tổng thể, đưa ra hàm tạo xác suất cho sự khác biệt về điểm số. Các quyền hạn tương ứng với kích thước của$\psi_n$$t$$t^k$$k$$f_i(x).$$x$$x^{-k}$$x^k.$ $\mathcal{I}$$x,$$\mathcal{I}.$

Điểm của phân tích này là chúng ta có thể tính toán một cách dễ dàng và với hiệu quả hợp lý:$\psi(x,t)$ chỉ cần nhân các đa thức theo tuần tự. Làm điều này đòi hỏi phải giữ lại các hệ số của trong cho(tất nhiên chúng ta có thể bỏ qua tất cả các quyền hạn cao hơn của xuất hiện trong bất kỳ sản phẩm bộ phận nào này). Theo đó, tất cả các thông tin cần thiết được mang theo có thể được biểu thị bằng ma trận , với các hàng được lập chỉ mục bởi các quyền hạn của (từ đến ) và các cột được lập chỉ mục bởi$n$$1, t, \ldots, t^k$$\psi_j(x,t)$$j=0, 1, \ldots, n.$$t$$\psi_j(x,t)$$2k+1\times n+1$$x$$-k$$k$$0$ đến .$k$

Mỗi bước tính toán đòi hỏi công việc tỷ lệ thuận với kích thước của ma trận này, tỷ lệ là Kế toán cho số bước, đây là thuật toán không gian , . Điều đó làm cho nó khá nhanh cho nhỏ Tôi đã chạy nó trong (không được biết đến với tốc độ quá cao) cho lên tới và lên đến trong đó mất chín giây (trên một lõi). Trong cài đặt câu hỏi với và quá trình tính toán mất giây.$O(k^2).$$O(k^2n)$$O(kn)$$k.$R$k$$100$$n$$10^5,$$n=100$$k=10,$$0.03$

Dưới đây là một ví dụ trong đó là các giá trị ngẫu nhiên đồng nhất giữa và và là các bình phương của chúng (luôn nhỏ hơn , do đó rất ủng hộ học sinh A). Tôi đã mô phỏng 100.000 bài kiểm tra, như được tóm tắt bằng biểu đồ này của điểm số mạng:$P_{ai}$$0$$1$$P_{bi}$$P_{ai}$

Các thanh màu xanh biểu thị những kết quả mà học sinh A đạt điểm cao hơn B. Các chấm đỏ là kết quả của chương trình động. Họ đồng ý tuyệt vời với mô phỏng ( thử nghiệm, ). Tổng hợp tất cả các xác suất dương cho câu trả lời trong trường hợp này là$\chi^2$$p=51\%$$0.7526\ldots.$

Lưu ý rằng phép tính này mang lại nhiều hơn so với yêu cầu: nó tạo ra toàn bộ phân phối xác suất của chênh lệch điểm cho tất cả các bài kiểm tra của hoặc ít câu hỏi được chọn ngẫu nhiên.$k$

Đối với những người muốn thực hiện làm việc để sử dụng hoặc cổng, đây là Rmã tạo ra mô phỏng (được lưu trữ trong vectơ Simulation) và thực hiện chương trình động (có kết quả trong mảng P). Các repeatkhối ở cuối là chỉ có để tổng hợp tất cả các kết quả hiếm bất thường để các thử nghiệm trở nên rõ ràng là đáng tin cậy. (Trong hầu hết các tình huống, điều này không thành vấn đề, nhưng nó giữ cho phần mềm không bị phàn nàn.)$\chi^2$

n <- 100
k <- 10
p <- runif(n) # Student A's chances of answering correctly
q <- p^2      # Student B's chances of answering correctly
#
# Compute the full distribution.
#
system.time({
  P <- matrix(0, 2*k+1, k+1) # Indexing from (-k,0) to (k,k)
  rownames(P) <- (-k):k
  colnames(P) <- 0:k
  P[k+1, 1] <- 1
  for (i in 1:n) {
    a <- p[i] * (1 - q[i])
    b <- q[i] * (1 - p[i])
    d <- (1 - a - b)
    P[, 1:k+1] <- P[, 1:k+1] + 
      a * rbind(0, P[-(2*k+1), 1:k]) + 
      b * rbind(P[-1,  1:k], 0) + 
      d * P[,  1:k]
  }
  P <- apply(P, 2, function(x) x / sum(x))
})
#
# Simulation to check.
#
n.sim <- 1e5
set.seed(17)
system.time(
  Simulation <- replicate(n.sim, {
    i <- sample.int(n, k)
    sum(sign((runif(k) <= p[i]) - (runif(k) <= q[i]))) # Difference in scores, A-B
  })
)
#
# Test the calculation.
#
counts <- tabulate(Simulation+k+1, nbins=2*k+1)
n <- sum(counts)
k.min <- 5
repeat {
  probs <- P[, k+1]
  i <- probs * n.sim >= k.min
  z <- sum(probs[!i]) 
  if (z * n >= 5) break
  if (k.min * (2*k+1) >= n) break
  k.min <- ceiling(k.min * 3/2)
}
probs <- c(z, probs[i])
counts <- c(sum(counts[!i]), counts[i])
chisq.test(counts, p=probs)
#
# The answer.
#
sum(P[(1:k) + k+1, k+1]) # Chance that A-B is positive

Ở mỗi lần lặp,

$P(A>B)=P(A)∗(1−P(B))$

bởi vì A chỉ tốt hơn khi A đúng và B sai. Vì vậy, đối với một câu hỏi cụ thể, nếu A đúng 90% thời gian và B đúng 80% thời gian, thì xác suất chung rằng A đúng và B sai là

$P(A,B) = 0.9 ∗ 0.2 = 0.18$

Bây giờ bạn có thể viết một số mã đi qua tất cả mười câu hỏi đã chọn và gán một điểm cho A hoặc B dựa trên xác suất chung này. Vào cuối mỗi kỳ thi, người chiến thắng là người có nhiều điểm nhất. Làm điều này nhiều lần và xem xét khả năng A chiến thắng B.

Tôi đã viết một số mã thực hiện điều này tại đây: https://nbviewer.jupyter.org/github/kevinmcinerney/exam_probabilities/blob/master/exam_probabilities.ipynb

Biểu đồ không hiển thị trên liên kết, nhưng trông như thế này:

Mô phỏng này đã sử dụng các giá trị$P_{ai} = P_{bi} = 0.5$

Trong ví dụ này, tôi đã chạy 1000 bài kiểm tra, mỗi bài gồm 25 câu hỏi, nhưng tất cả đều tạo thành một bộ gồm 100 câu hỏi. Trục y là xác suất mà A làm tốt hơn B trong một bài kiểm tra. Số bài kiểm tra từ (0-1000) nằm dọc theo trục x

Cả A và B đều có P ngẫu nhiên khi nhận được một câu hỏi chính xác để đồ thị hội tụ 50%. Tôi đã sử dụng 25 câu hỏi, bởi vì 10 câu hỏi không đại diện cho dân số chứa 100 câu hỏi. Sử dụng mười câu hỏi, đồ thị có nhiều khả năng hội tụ đến% gần hoặc khoảng 50%. Ba dòng là ba thử nghiệm riêng biệt.