Giá trị mong đợi của yếu tố xác định log của ma trận Wishart

Hãy , tức là được phân phối theo một phân phối chiều Wishart với trung bình và bậc tự do . Tôi muốn một biểu thức cho trong đó là yếu tố quyết định. $\Lambda \sim \mathcal W_D(\nu, \Psi)$ $D \times D$ $\nu \Psi$ $\nu$ $E(\log |\Lambda|)$ $|\Lambda|$

Tôi đã google một chút cho câu trả lời cho điều này và đã nhận được một số thông tin mâu thuẫn. Bài viết này nói rõ rằng trong đóbiểu thị hàm digamma; bài báo không cung cấp một nguồn cho sự thật này như tôi có thể nói. Đây cũng là công thức được sử dụng trêntrang wikipedia cho Wishart, trang web có văn bản Nhận dạng mẫu của Giám mục.

E (\log | Λ |) = D \log 2 + \log | Ψ | + \sum_{i = 1}^{D} ψ (\frac{ν - i + 1}{2})

$E(\log|\Lambda|) = D \log 2 + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$

ψ (\cdot)

$\psi(\cdot)$

\frac{d}{d x} \log Γ (x)

$\frac d {dx} \log \Gamma(x)$

Mặt khác, google đã đưa ra cuộc thảo luận này với một bài viết được liên kết nói rằng Họ kết luận bằng cách nói rằng có nguồn gốc từ thực tế là . Tôi đã kiểm tra tính toán này bắt đầu từ và có vẻ ổn, nhưng chúng tôi có thêm .

ν^{D} \frac{| Λ |}{| Ψ |} \sim χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - D + 1}^{2} . (†)

$\nu^D \frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger)$

E (\log | Λ |) = D \log 2 - D \log ν + \log | Ψ | + \sum_{i = 1}^{D} ψ (\frac{ν - i + 1}{2})

$E(\log | \Lambda|) = D \log 2 - D \log \nu + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$

E (\log χ_{ν}^{2}) = \log (2) + ψ (ν / 2)

$E(\log \chi^2_\nu) = \log(2) + \psi(\nu /2)$

(†)

$(\dagger)$

- D \log ν

$-D\log\nu$

distributions wishart

— chàng
nguồn

Khi tôi đã sẵn sàng để đăng bài này, tôi đã có thể trả lời câu hỏi của riêng tôi. Theo nguyên tắc chung StackExchange, tôi đã quyết định đăng nó bằng mọi cách với hy vọng rằng ai đó gặp phải vấn đề này có thể tìm thấy vấn đề này trong tương lai, có thể sau khi gặp vấn đề tương tự với các nguồn mà tôi đã làm. Tôi đã quyết định trả lời ngay lập tức để không ai lãng phí thời gian cho nó vì giải pháp không thú vị.

$(\dagger)$

\frac{| Λ |}{| Ψ |} ~ χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - D + 1}^{2} . († †)

$\frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger\dagger)$

$(\dagger\dagger)$

BIÊN TẬP:

$\Lambda \stackrel d = \Psi^{1/2} L L^T \Psi^{1/2}$ $L$ $N(0, 1)$ $\sqrt{\chi^2_{\nu - i + 1}}, (i = 1, ..., D)$ $(\dagger\dagger)$

— chàng
nguồn

Tôi thích phiên bản Cholesky hơn - bạn có căn bậc hai của chi-vuông trên đường chéo và tiêu chuẩn bình thường ở tam giác dưới.

— xác suất

@probabilityislogic Cảm ơn vì tiền boa! Ghi nhớ nó như thế có vẻ dễ dàng và hữu ích hơn.

— anh chàng

Này, tôi đang cố gắng rút ra kỳ vọng về nhật ký Wishart (được nêu trong cuốn sách của Giám mục), điều đó có vẻ phức tạp, bạn có tìm thấy nguồn nào để rút ra kết quả không?

— bơ