Giới hạn Sum của iid Gamma biến đổi

Hãy để $X_1,X_2,\ldots$ là một chuỗi các biến ngẫu nhiên phân phối độc lập và hệt với hàm mật độ xác suất;

f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{2} x^{2} e^{- x} & if x > 0; \\ 0 & otherwise . \end{cases}

$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}x^2 e^{-x} & \mbox{if $x>0$};\\ 0 & \mbox{otherwise}.\end{array} \right.$

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] \geq \frac{1}{2}

$\lim_{n\to \infty} P[X_1+X_2+\ldots+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] \ge \frac{1}{2}$

Những gì tôi đã cố gắng

Ngay từ cái nhìn đầu tiên, tôi đã nghĩ rằng nó nên sử dụng sự bất bình đẳng của Ch Quashev vì câu hỏi đang được hỏi cho thấy bị ràng buộc thấp hơn $X_1+X_2+\ldots +X_n$ . Tuy nhiên, tôi đã nghĩ về dấu hiệu giới hạn cho thấy rõ ràng rằng vấn đề có thể liên quan đến Định lý giới hạn trung tâm (CLT)

Đặt $S_n=X_1+X_2+\ldots +X_n$

E (S_{n}) = \sum_{i = 0}^{n} E (X_{i}) = 3 n (since E (X_{i}) = 3) V (S_{n}) = \sum_{i = 0}^{n} V (X_{i}) = 3 n (since V (X_{i}) = 3 and X_{i} are i.i.d)

$E(S_n)=\sum_{i=0}^{n} E(X_i)=3n \ (\text{since } E(X_i)=3) \\ V(S_n)=\sum_{i=0}^{n} V(X_i)=3n \ (\text{since } V(X_i)=3 \text{ and } X_i \text{ are i.i.d})$

Bây giờ, Sử dụng CLT, cho lớn $n$ , $X_1+X_2+........+X_n \sim N(3n,3n)$
Hoặc,

z = \frac{S_{n} - 3 n}{\sqrt{3 n}} \sim N (0, 1) as n \to \infty

$z=\frac{S_n-3n}{\sqrt{3n}} \sim N(0,1) \text{ as } n\to \infty$

Bây giờ,

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] = lim_{n \to \infty} P (S_{n} - 3 n \geq - 3 \sqrt{n}) = lim_{n \to \infty} P (\frac{S_{n} - 3 n}{\sqrt{3 n}} \geq - \sqrt{3}) = P (z \geq - \sqrt{3}) = P (- \sqrt{3} \leq z < 0) + P (z \geq 0) = P (- \sqrt{3} \leq z < 0) + \frac{1}{2} \dots (1)

$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] = \lim_\limits{n\to \infty}P(S_n-3n \ge -3\sqrt{n}) = \lim_\limits{n\to \infty} P\left(\frac{S_n-3n}{\sqrt{3n}} \ge -\sqrt{3}\right) =P(z\ge -\sqrt{3}) =P\left(-\sqrt{3}\le z<0\right)+P(z\ge 0 ) =P\left(-\sqrt{3}\le z<0\right)+\frac{1}{2}\cdots(1)$

Vì , do đó từ , $P(-\sqrt{3}\le z<0) \ge 0$ $(1)$

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] \geq \frac{1}{2}

$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})]\ge \frac{1}{2}$

Tôi có đúng không?

probability self-study

CLT có vẻ là một cách tiếp cận hợp lý nhưng " "không có ý nghĩa ..

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] = P (S_{n} - 3 n \geq - 3 \sqrt{n})

$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] =P(S_n-3n \ge -3\sqrt{n})$

— P.Windridge

Tôi nghĩ rằng nó phải là

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] = lim_{n \to \infty} P (S_{n} - 3 n \geq - 3 \sqrt{n}) = lim_{n \to \infty} P (\frac{S_{n} - 3 n}{\sqrt{3 n}} \geq - \sqrt{3}) = P (z \geq - \sqrt{3})

Cách khác, hãy xem xét rằng iid và vì vậy . Trung vị của biến ngẫu nhiên Gamma không được biết ở dạng đóng nhưng được biết (xem Wikipedia ) rằng với lớn , trung vị của biến ngẫu nhiên nằm trong khoảng và . Vì , nên ít nhất một nửa khối lượng xác suất nằm ở bên phải của .

X_{i} \sim Γ (3, 1)

$X_i \sim\Gamma(3,1)$

X_{1} + X_{2} + \cdot + X_{n} \sim Γ (3 n, 1)

$X_1+X_2+\cdot+X_n \sim \Gamma(3n,1)$

n

$n$

Γ (3 n, 1)

$\Gamma(3n,1)$

3 n - \frac{1}{3}

$3n-\frac 13$

3 n

$3n$

3 (n - \sqrt{n}) < 3 n - \frac{1}{3}

$3(n-\sqrt{n}) < 3n-\frac 13$

3 (n - \sqrt{n})

$3(n-\sqrt{n})$

— Dilip Sarwate

Bạn đã đúng rằng bất bình đẳng của Ch Quashev sẽ hoạt động. Nó cung cấp một ràng buộc hơi thô nhưng hiệu quả áp dụng cho nhiều chuỗi như vậy, cho thấy tính năng quan trọng của chuỗi này là phương sai của các khoản tiền một phần tăng trưởng tuyến tính nhất với . $n$

Sau đó, hãy xem xét trường hợp cực kỳ chung của bất kỳ chuỗi biến không tương có nghĩa là và phương sai hữu hạn Đặt là tổng của đầu tiên trong số họ, $X_i$ $\mu_i$ $\sigma_i^2.$ $Y_n$ $n$

Y_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} .

$Y_n = \sum_{i=1}^n X_i.$

Do đó, giá trị trung bình của là $Y_n$

m_{n} = \sum_{i = 1}^{n} μ_{n}

$m_n = \sum_{i=1}^n \mu_n$

và phương sai của nó là

s_{n}^{2} = Var (Y_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} Var (X_{i}) + 2 \sum_{j > i} Cov (X_{i}, X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} σ_{i}^{2} .

$s_n^2 = \operatorname{Var}(Y_n) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i) + 2\sum_{j > i}\operatorname{Cov}(X_i,X_j) = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2.$

Giả sử tăng trưởng tuyến tính nhiều nhất với : $s_n^2$ $n$ nghĩa là tồn tại một số sao cho tất cả đủ lớn Đặt (chưa được xác định), quan sát rằng $\lambda\gt 0$ $n,$ $s_n^2 \le \lambda^2 n.$ $k\gt 0$

m - k \sqrt{n} \leq m - \frac{k}{λ} s_{n},

$m - k \sqrt{n} \le m - \frac{k}{\lambda}s_n,$

và áp dụng Bất bình đẳng của cho để có được $Y_n$

\begin{aligned} Pr (Y_{n} \geq m_{n} - k \sqrt{n}) & \geq Pr (Y_{n} \geq m_{n} - \frac{k}{λ} s_{n}) \\ \geq Pr (| Y_{n} - m_{n} | \leq \frac{k}{λ} s_{n}) \\ \geq 1 - \frac{λ^{2}}{k^{2}} . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr(Y_n \ge m_n - k\sqrt{n}) &\ge \Pr(Y_n \ge m_n - \frac{k}{\lambda}s_n) \\ &\ge \Pr(|Y_n - m_n| \le \frac{k}{\lambda} s_n) \\ &\ge 1 - \frac{\lambda^2}{k^2}. }$

Hai bất đẳng thức đầu tiên là cơ bản: chúng theo sau bởi vì mỗi sự kiện kế tiếp là một tập hợp con của sự kiện trước.

Trong trường hợp có sẵn, trong đó độc lập (và do đó không tương quan) với phương tiện và phương sai chúng tôi có và $X_i$ $\mu_i=3$ $\sigma_i^2=3,$ $m_n=3n$

s_{n} = \sqrt{3} \sqrt{n},

$s_n = \sqrt{3}\sqrt{n},$

từ đâu chúng ta có thể lấy nhỏ như Sự kiện trong câu hỏi tương ứng với trong đó $\lambda$ $\sqrt{3}.$ $3(n-\sqrt{n}) = \mu_n - 3\sqrt{n}$ $k=3,$

Pr (Y_{n} \geq 3 n - 3 \sqrt{n}) \geq 1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} = \frac{2}{3} > \frac{1}{2},

$\Pr(Y_n \ge 3n - 3\sqrt{n}) \ge 1 - \frac{\sqrt{3}^{\ 2}}{3^2} = \frac{2}{3}\gt \frac{1}{2},$

QED.

— whuber
nguồn