Hiển thị và là độc lập: tìm kiếm giải pháp cho vấn đề sách giáo khoa này

Trong phần Giới thiệu về Mô hình tuyến tính tổng quát của Dobson và Barnett, bài tập 1.4b & c như sau:

Đặt là các biến ngẫu nhiên độc lập, mỗi biến có phân phối . Đặt và . ... $Y_1,...,Y_n$ $N(\mu,\sigma^2)$ $\overline{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_i$ $S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\overline{Y})^2$

b. Chứng tỏ rằng $S^2 = \frac{1}{n-1}[\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\mu)^2-n(\overline{Y}-\mu)^2]$

c. Từ (b) theo sau đó . Làm thế nào điều này cho phép bạn suy ra rằng và là độc lập? $\sum(Y_i-\mu)^2/\sigma^2 = (n-1)S^2/\sigma^2+[(\overline{Y}-\mu)^2n/\sigma^2]$ $\overline{Y}$ $S^2$

Vấn đề của tôi là tôi không thấy phương trình trong c cho phép tôi trả lời câu hỏi in đậm như thế nào.

Tôi biết làm thế nào để chứng minh 2 là độc lập nói chung ( nó đã được hỏi trước đó ).

Hơn nữa, khi tôi nhìn vào các giải pháp họ nói:

(c) và (d) theo dõi từ kết quả trên p.10

Trên trang 10, mục đích sử dụng gần nhất là thuộc tính sinh sản của phân phối chi bình phương, không phải là câu lệnh if và only if, vì vậy tôi không nghĩ rằng nó có thể được sử dụng ở đây.

Vì vậy, câu hỏi của tôi là, làm thế nào để phương trình trong c) giúp chứng minh sự độc lập?

— jld
nguồn

Tôi không chắc các tác giả có ý nghĩ gì, nhưng giải pháp gần nhất tôi có thể nghĩ đến khi sử dụng (c) là áp dụng định lý của Cochran . Bạn đã bao gồm điều đó, hoặc có thể là một trường hợp đặc biệt của nó?

Đây là bằng chứng sử dụng điều đó:

Đặt để và . Lưu ý rằng Bây giờ (c) cho chúng tôi biết mà chúng tôi có thể viết dưới dạng và cả hai đều bình thường nên định lý của Cochran cho phép chúng ta kết luận rằng $Z_i = \frac{Y_i - \mu}{\sigma}$ $Z_i \sim \mathcal N(0, 1)$ $\bar Z \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2/n)$

{(\frac{Y_{i} - \bar{Y}}{σ})}^{2} = {(\frac{Y_{i} - μ}{σ} - \frac{\bar{Y} - μ}{σ})}^{2} = {(Z_{i} - \bar{Z})}^{2} .

$\left(\frac{Y_i - \bar Y}{\sigma}\right)^2 = \left(\frac{Y_i - \mu}{\sigma} - \frac{\bar Y - \mu}{\sigma}\right)^2 = \left(Z_i - \bar Z\right)^2.$

\sum_{i} Z_{i}^{2} = \sum_{i} (Z_{i} - \bar{Z})^{2} + n {\bar{Z}}^{2}

$\sum_i Z_i^2 = \sum_i (Z_i - \bar Z)^2 + n\bar Z^2$

$\newcommand{\one}{\mathbf 1}$

Z^{T} Z = Z^{T} (I - \frac{1}{n} 1 1^{T}) Z + Z^{T} (\frac{1}{n} 1 1^{T}) Z .

$Z^T Z = Z^T \left(I - \frac 1n \one \one^T\right)Z + Z^T\left(\frac 1n \one \one^T\right) Z.$

I - \frac{1}{n} 1 1^{T} + \frac{1}{n} 1 1^{T} = I

$I - \frac 1n \one \one^T + \frac 1n \one \one^T =I$

\sum_{i} (Y_{i} - μ)^{2} ⊥ n (\bar{Y} - μ)^{2}

$\sum_i (Y_i - \mu)^2 \perp n(\bar Y - \mu)^2$ và phần còn lại theo sau.

$\square$

Đó có thể là những gì họ sẽ làm?

— jld
nguồn

Có nghĩa với tôi. Đọc trước, tác giả hỏi một câu hỏi tương tự trong bài tập 2.3 ('... sử dụng các phương pháp tương tự để thực hiện 1.3 ...') và họ bỏ qua giải pháp trong pdf. Nhưng, cách tiếp cận của bạn hoạt động trong 2.3 quá.

@ user1108 rất vui vì điều này đã giúp. Dù bằng cách nào, đó là một sự đánh cược tốt Định lý của Burran sẽ xuất hiện vào một lúc nào đó trong một cuốn sách mô hình tuyến tính (và thực tế đây là một mô hình tuyến tính đã có trong đó là ma trận mũ cho việc đánh chặn hồi quy -only cho )

\frac{1}{n} 1 1^{T}

$\frac 1n \mathbf 1 \mathbf 1^T$

\hat{Z} = \bar{Z} 1

$\hat Z = \bar Z \mathbf 1$

— jld