Là xác suất được bảo tồn dưới sự chuyển đổi chức năng?

Tôi nghĩ rằng điều này là cơ bản, nhưng nói rằng tôi có một biến ngẫu nhiên $X$ , là xác suất giống như cho bất kỳ hàm liên tục có giá trị thực ?P ( f ( X ) ≤ f ( a ) ) $P(X \leq a)$$P(f(X) \leq f(a))$$f$

Điều này chỉ giữ nếu đang tăng đơn điệu. Nếu f giảm đơn điệu thì P ( f ( X ) ≤ f ( a ) ) = P ( X ≥ a ) . Ví dụ, nếu f ( x ) = - x và X là một chết cuộn bình thường, sau đó P ( X ≤ 5 ) = $f$$f$$P(f(X)\leq f(a)) = P(X \geq a)$$f(x) = -x$ nhưngP(-X≤-5)=$P(X \leq 5) = \frac56$ . Nếufchuyển đổi giữa tăng và giảm, thì nó thậm chí còn phức tạp hơn.$P(-X \leq -5) = \frac16$$f$

Lưu ý rằng cũng có trường hợp tầm thường của , trong đó P ( f ( X ) ≤ a ) bằng 1 nếu a ≥ 0 và 0 khác.$f(x) \equiv 0$$P(f(X) \leq a)$$a \geq 0$

Không. Lấy đồng phục trên [ - 1 , 1 ] và a = 0 . Sau đó Pr ( X < một ) = 1 / 2 . Mặt khác Pr ( X 2 < a 2 ) = 0 .$X$$[-1,1]$$a=0$$\Pr(X < a ) = 1/2$$\Pr(X^2<a^2) = 0$

Điều này có liên quan đến việc hỏi:

là cho mỗi f ( X ) ≤ f ( một ) ?$X \leq a$$f(X) \leq f(a)$

Có thể có nhiều cách để vi phạm trong khi X ≤ một . Nhưng, trong mọi trường hợp, nó đòi hỏi f phải là một hàm không đơn điệu.$f(X) \leq f(a)$$X \leq a$$f$