Phân phối

Giả sử, (với ) có mật độ . Chúng ta có thể nói gì về phân phối của $X \in \mathbb{R}^n$ $n > 1$ $f_X(x)$

Y = - \log f_{X} (X) ?

$Y = -\log f_X(X)?$

— Taylor
nguồn

Vâng đó đang xảy ra phụ thuộc vào những gì là , không phải là nó?

f

$f$

— jbowman

1. Bạn có thể thấy thú vị khi bắt đầu bằng cách xem xét mgf (hay nói chung hơn là cf) và xem những gì bạn có thể nói từ đó; cách khác, nếu bạn quan tâm đến hành vi tiệm cận (ở n lớn, đặc biệt là khi xử lý độc lập), bạn có thể muốn xem xét những gì đã biết về tiệm cận của ... 2. Đây có phải là một bài tập?

- 2 \log L

$-2\log \mathcal{L}$

— Glen_b -Reinstate Monica

Có cả một cuốn sách dành riêng cho việc này, bởi Troutt et al. (1991) .

— Tây An

Cuốn sách được Xi'an đề cập là từ năm 2004. Nó đề cập đến một bài viết từ năm 1991 trong đó định lý sau xuất hiện.

From: Troutt MD 1991 Một định lý về mật độ của mật độ tọa độ và một cách giải thích khác của phương pháp Box-Muller

Nếu một biến ngẫu nhiên X có mật độ $f(x)$ , $x \in \mathbb{R}^n$ và nếu biến ngẫu nhiên $v = f(x)$ có mật độ $g(v)$ , sau đó
$g (v) = - v A^{'} (v),$ $g(v) = -vA^\prime(v),$ Ở đâu $A(v)$ là số đo Lebesgue của tập hợp $S (v) = {x : f (x) \geq v}$ $S(v) = \lbrace x: f(x) \geq v \rbrace$

Trực giác và không chính thức:

\begin{matrix} f_{Z} (z) d z = = P (z < Z < z + d z) & = = P (x (z) < X < x (z + d z)) \\ = = P (x (z) < X < x (z) + d z \frac{d x}{d z}) \\ = = f_{X} (X) \frac{d x}{d z} d z = = z \frac{- d Một (z)}{d z} d z \end{matrix}

$\begin{array}\\ f_Z(z) dz = P(z<Z<z+dz) &= P(x(z)<X<x(z+dz)) \\ &= P(x(z)<X<x(z)+dz \frac{dx}{dz}) \\ &= f_X(X) \frac{dx}{dz} dz = z \frac{-dA(z)}{dz} dz \end{array}$

Theo cách tương tự khi chúng ta sử dụng một biến được chuyển đổi $Y = g(f_x(x))$ sau đó:

\begin{matrix} f_{Y} (y) d y = = P (y < Y < y + d y) & = = P (x (y) < X < x (y + d y)) \\ = = P (x (y) < X < x (y) + d y \frac{d x}{d y}) \\ = = f_{X} (X) \frac{d x}{d y} d y = = g^{- 1} (y) \frac{- d Một (y)}{d y} d y \end{matrix}

$\begin{array}\\ f_Y(y) dy = P(y<Y<y+dy) &= P(x(y)<X<x(y+dy)) \\ &= P(x(y)<X<x(y)+dy \frac{dx}{dy}) \\ &= f_X(X) \frac{dx}{dy} dy = g^{-1}(y) \frac{-dA(y)}{dy} dy \end{array}$

Vì thế

f_{Y} (y) = = - e^{- y} \frac{Một (y)}{d y}

$f_Y(y) = -e^{-y} \frac{A(y)}{dy}$

ví dụ phân phối chuẩn thông thường:

f_{X} (x) = = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- 0,5 x^{2}}

$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-0.5 x^2}$

y = = đăng nhập (\sqrt{2 π}) + 0,5 x^{2}

$y = \log(\sqrt{2\pi}) + 0.5 x^2$

Một (y) = = C - \sqrt{số 8 (y - đăng nhập (\sqrt{2 π}))}

$A(y) = C-\sqrt{8(y-\log(\sqrt{2\pi}))}$

do đó

f_{Y} (y) = = \frac{\sqrt{2} e^{- y}}{\sqrt{y - \frac{đăng nhập (2 π)}{2}}}

$f_Y(y) = \frac{\sqrt{2} e^{-y}}{\sqrt{y-\frac{\log(2\pi)}{2}}}$

ví dụ phân phối chuẩn nhiều biến số:

f_{X} (x_{1}, x_{2}) = = \frac{1}{2 π} e^{- 0,5 (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}

$f_X(x_1,x_2) = \frac{1}{2\pi} e^{-0.5 (x_1^2 + x_2^2)}$

y = = đăng nhập (2 π) + 0,5 (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})

$y = \log(2\pi) + 0.5 (x_1^2+x_2^2)$

Một (y) = = C - 2 π (y - đăng nhập (2 π))

$A(y) = C-2\pi(y-\log(2\pi))$

do đó

f_{Y} (y) = = 2 π e^{- y} cho y \geq tôi o g (2 π)

$f_Y(y) = 2\pi e^{-y} \qquad \qquad \text{for $y \geq log(2\pi)$}$

kiểm tra tính toán:

# random draws/simulation
x_1 = rnorm(100000,0,1)
x_2 = rnorm(100000,0,1)
y = -log(dnorm(x_1,0,1)*dnorm(x_2,0,1))

# display simulation along with theoretic curve
hist(y,breaks=c(0,log(2*pi)+c(0:(max(y+1)*5))/5),
     main = "computational check for distribution f_Y")
y_t <- seq(1,10,0.01)
lines(y_t,2*pi*exp(-y_t),col=2)

— Sextus Empiricus
nguồn

Khó khăn với quan điểm này là sự biến đổi

f_{X} (X)

$f_X(X)$ phụ thuộc

X

$X$ , như trái ngược với

F_{X} (X)

$F_X(X)$ (ở chiều thứ nhất).

— Tây An