Tại sao phân tách eigen và svd của ma trận hiệp phương sai dựa trên dữ liệu thưa thớt mang lại kết quả khác nhau?

Tôi đang cố gắng phân tách ma trận hiệp phương sai dựa trên tập dữ liệu thưa thớt / vui vẻ. Tôi nhận thấy rằng tổng lambda (phương sai được giải thích), theo tính toán svd, đang được khuếch đại với dữ liệu ngày càng tốt. Không có khoảng trống, svdvà eigenkết quả tương tự.

Điều này dường như không xảy ra với một sự eigenphân hủy. Tôi đã nghiêng về sử dụng svdvì các giá trị lambda luôn dương, nhưng xu hướng này rất đáng lo ngại. Có một số loại điều chỉnh cần phải được áp dụng, hoặc tôi nên tránh svdhoàn toàn cho một vấn đề như vậy.

###Make complete and gappy data set
set.seed(1)
x <- 1:100
y <- 1:100
grd <- expand.grid(x=x, y=y)

#complete data
z <- matrix(runif(dim(grd)[1]), length(x), length(y))
image(x,y,z, col=rainbow(100))

#gappy data
zg <- replace(z, sample(seq(z), length(z)*0.5), NaN)
image(x,y,zg, col=rainbow(100))


###Covariance matrix decomposition
#complete data
C <- cov(z, use="pair")
E <- eigen(C)
S <- svd(C)

sum(E$values)
sum(S$d)
sum(diag(C))


#gappy data (50%)
Cg <- cov(zg, use="pair")
Eg <- eigen(Cg)
Sg <- svd(Cg)

sum(Eg$values)
sum(Sg$d)
sum(diag(Cg))



###Illustration of amplification of Lambda
set.seed(1)
frac <- seq(0,0.5,0.1)
E.lambda <- list()
S.lambda <- list()
for(i in seq(frac)){
    zi <- z
    NA.pos <- sample(seq(z), length(z)*frac[i])
    if(length(NA.pos) > 0){
        zi <- replace(z, NA.pos, NaN)
    }
    Ci <- cov(zi, use="pair")
    E.lambda[[i]] <- eigen(Ci)$values
	S.lambda[[i]] <- svd(Ci)$d
}


x11(width=10, height=5)
par(mfcol=c(1,2))
YLIM <- range(c(sapply(E.lambda, range), sapply(S.lambda, range)))

#eigen
for(i in seq(E.lambda)){
    if(i == 1) plot(E.lambda[[i]], t="n", ylim=YLIM, ylab="lambda", xlab="", main="Eigen Decomposition")
    lines(E.lambda[[i]], col=i, lty=1)
}
abline(h=0, col=8, lty=2)
legend("topright", legend=frac, lty=1, col=1:length(frac), title="fraction gaps")

    #svd
for(i in seq(S.lambda)){
    if(i == 1) plot(S.lambda[[i]], t="n", ylim=YLIM, ylab="lambda", xlab="", main="Singular Value Decomposition")
    lines(S.lambda[[i]], col=i, lty=1)
}
abline(h=0, col=8, lty=2)
legend("topright", legend=frac, lty=1, col=1:length(frac), title="fraction gaps")

Bạn cần thực hiện tổng giá trị tuyệt đối của các giá trị eigen tức là sum (abs (Eg $ value)) và so sánh nó với tổng của các giá trị số ít. Họ sẽ bằng nhau.

$-1$

Bằng chứng về sự đảo ngược của định lý tuyệt đẹp này đã xuất hiện trong Đại số của hyperboloids của cuộc cách mạng, Javier F. Cabrera, Đại số tuyến tính và các ứng dụng của nó, Đại học Princeton (hiện tại tại Rutgers).

Một cách khác để lý giải điều này là bởi thực tế là sqrt (eigen (t (Cg)% *% Cg)) bằng với các giá trị số ít của Cg. Nhưng khi các giá trị riêng là âm, dữ liệu phải được biểu diễn dưới dạng ẩn sĩ với mặt phẳng phức được tính đến, đó là những gì đã bị bỏ lỡ trong công thức ban đầu, tức là dữ liệu được hình thành bởi căn bậc hai đối xứng của ma trận với eigen âm các giá trị sẽ có các mục phức tạp.