Tìm mật độ biên của

Như tiêu đề nói, tôi đang tìm kiếm các mật độ biên của

f (x, y) = = c \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}, x^{2} + y^{2} \leq 1.

$f (x,y) = c \sqrt{1 - x^2 - y^2}, x^2 + y^2 \leq 1.$

Cho đến nay tôi đã tìm thấy $c$ là . Tôi figured mà ra thông qua chuyển đổivào tọa độ cực và tích hợp trên, đó là lý do tôi bị mắc kẹt vào mật độ phần biên. Tôi biết rằng, nhưng tôi không biết làm thế nào để giải quyết điều đó mà không nhận được một tích phân lộn xộn lớn, và tôi biết câu trả lời không phải là một tích phân lớn lộn xộn. Có thể thay vì tìm $\frac{3}{2 \pi}$ $f(x,y)$ $drd\theta$ $f_x(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x,y)dy$ , và sau đó lấy $F(x,y)$ để tìm? Đó có vẻ là cách trực quan để làm điều đó nhưng dường như tôi không thể tìm thấy bất cứ điều gì trong sách giáo khoa nêu rõ các mối quan hệ đó, vì vậy tôi không muốn đưa ra các giả định sai. $\frac{dF}{dx}$ $f_x(x)$

self-study marginal multivariable

— Jarrod
nguồn

@kwak Tôi không chắc tại sao thay đổi tiêu đề là cần thiết ... thẻ "bài tập về nhà" là đủ.

— Shane

@Shane:> ok đổi lại ban đầu.

— dùng603

Hình học giúp ở đây. Đồ thị của là một vòm hình cầu có bán kính đơn vị. (Ngay sau đó, thể tích của nó bằng một nửa khối cầu, $f$ , từ đó .) Mật độ biên được cho bởi các khu vực có mặt cắt dọc dọc theo hình cầu này . Rõ ràng mỗi mặt cắt là một hình bán nguyệt: để có được mật độ biên, hãy tìm bán kính của nó như là một hàm của biến còn lại và sử dụng công thức cho diện tích hình tròn. Bình thường hóa hàm đơn biến kết quả để có diện tích đơn vị biến nó thành mật độ. $(4 \pi /3)/2$ $c=3/(2 \pi)$

— whuber
nguồn

Ahh, nó trở lại với tôi từ tính toán đa biến. Tôi nhớ làm những vấn đề như thế. Làm thế nào để tôi tìm thấy bán kính là một hàm của biến còn lại? Có vẻ như tôi sẽ còn một số loại quái vật không thể thiếu.

— Jarrod

Đặt biến còn lại là

. Sau đó

y

$y$

mô tả các khu vực trên mà bạn phải tích hợp. Rõ ràng bán kính bằng

x^{2} \leq 1 - y^{2}

$x^2 \le 1-y^2$

, từ đó diện tích mặt cắt ngang bằng

Đó là một công thức khá đơn giản :-). (Hãy nhớ rằng, chủ đề ở đây là hình học, không phải tính toán ...)

\sqrt{1 - y^{2}}

$\sqrt{1 - y^2}$

π (1 - y^{2}) / 2.

$\pi (1 - y^2)/2.$

— whuber

Ô đúng rồi. Điều đó vượt qua tâm trí của tôi, nhưng nó có vẻ quá đơn giản. Tôi đoán tôi đã xác định nó là phức tạp. Cảm ơn!

— Jarrod

Tôi quên hỏi: làm thế nào để c hình vào đây?

— Jarrod

Theo tôi, câu trả lời của Whuber xứng đáng được nêu lên vì hai lý do. Đầu tiên, nó trả lời câu hỏi được hỏi, thứ hai như là một mô hình cho cách chúng ta có thể xử lý các câu hỏi bài tập về nhà trong tương lai: loại câu trả lời này thực sự đóng góp cho quá trình học tập và có thể là một chính sách tốt hơn đối với câu hỏi bài tập về nhà tại MO / SO.

— user603