Cốt truyện QQ và

Nếu qqplot của tôi là tuyến tính nhưng độ dốc không giống với đường 45 độ, thì điều này gợi ý gì?

Tôi đang cố gắng kiểm tra sự phù hợp của phân phối laplace với dữ liệu mẫu của mình, vì vậy tôi đã tạo ngẫu nhiên các laplace phân phối (với các tham số ước tính từ mẫu của tôi) và vẽ chúng theo mẫu của tôi:

qqplot(rand, sample)
abline(0, 1, col = 'red')

Do thiếu dữ liệu trong câu hỏi của bạn, tôi sử dụng phân phối gaussian so với mẫu trong câu trả lời của tôi bên dưới (thay vì phân phối Laplace so với dữ liệu mẫu của bạn).

Theo như hai khoảnh khắc đầu tiên có liên quan, việc giải thích những gì bạn nhìn thấy trong cốt truyện qq là như sau:

• Nếu các bản phân phối giống hệt nhau, bạn mong đợi một dòng :$x = y$

  x <- rnorm(1000)
  qqnorm(x)
  abline(0, 1, col = 'red')

• Nếu phương tiện là khác nhau, bạn mong đợi một cuộc đánh chặn $a \neq 0$, có nghĩa là nó sẽ ở trên hoặc dưới đây $x=y$ hàng:

  x <- rnorm(1000)
  qqnorm(x + 1)
  abline(0, 1, col = 'red')

• Nếu độ lệch chuẩn là khác nhau, bạn mong đợi độ dốc $b \neq 1$:

  x <- rnorm(1000)
  qqnorm(x * 1.5)
  abline(0, 1, col = 'red')

Để có được trực giác của việc này, bạn chỉ cần vẽ các CDF trong cùng một cốt truyện. Ví dụ: lấy cái cuối cùng:

lines(seq(-7, 7, by = 0.01), pnorm(seq(-7, 7, by = 0.01)), col = 'red')

Hãy lấy ví dụ 3 điểm trong trục y: $CDF(q) = 0.2$, $0.5$, $0.8$ và xem giá trị của $q$ (quantile) cung cấp cho chúng tôi mỗi giá trị CDF.

Bạn có thể thấy rằng:

Đó là những gì được hiển thị bởi cốt truyện qq.

Tính tuyến tính của âm mưu QQ chỉ gợi ý rằng mẫu của bạn tuân theo phân phối bình thường (hay cụ thể hơn, đó là hàm lượng tử là hàm probit). Độ dốc được xác định bởi độ lệch chuẩn (đối với sd = 1, chúng tôi nhận được mức độ phổ biến$x=y$ hàng).

Một ô hình chữ S, một cái gì đó có vẻ đối xứng qua xoay 180 độ là biểu thị của phân bố đối xứng.

Một lý do trực quan cho hình dạng là do đó; để có được một đường thẳng, bạn cần một tỷ lệ tương tự về khoảng cách của các lượng tử xung quanh giá trị trung bình. Có nghĩa là nếu nói$x^{th}$ quantile là một số tỷ lệ khoảng cách từ giá trị trung bình khi so sánh với $y^{th}$lượng tử, tỷ lệ được bảo toàn, chỉ được bảo toàn trong trường hợp phân phối bình thường. Độ dốc biểu thị nhiều hơn về độ lớn tuyệt đối của tỷ lệ này, do đó phụ thuộc vào sd. Các hình dạng khác nhau có thể được lý giải theo một cách tương tự, bằng cách xem xét tỷ lệ này tại các địa điểm khác nhau dọc theo phân phối.

Dưới đây là một số hình ảnh trực quan.

Lưu ý: Tôi đang vẽ mẫu trên trục Y là chuẩn và tôi giả định rằng cách bạn đã vẽ đặt mẫu lên trục x.

Mã R:

# Creating different distributions with mean 0
library(rmutil)
set.seed(12345)
normald<-rnorm(10000,sd=2)
normald<-(normald-mean(normald))/sd(normald)
sharperpeak<-rlaplace(10000) #using Laplace distribution
sharperpeak<-(sharperpeak-mean(sharperpeak))/sd(sharperpeak)
heavytail<-rt(10000,5) #using t-distribution
heavytail<-(heavytail-mean(heavytail))/sd(heavytail)
positiveskew<-rlnorm(10000) #using lognormal distribution
positiveskew<-(positiveskew-mean(positiveskew))/sd(positiveskew)
negativeskew<-positiveskew*(-1) #shortcut
negativeskew<-(negativeskew-mean(negativeskew))/sd(negativeskew)

library(ggplot2)
library(gridExtra)

#normal plot
p1<-ggplot(data.frame(dt=normald))+geom_density(aes(x=dt),fill='green',alpha=0.6)+xlab('Normal Distribution')+geom_vline(xintercept=quantile(normald,c(0.25,0.75),color='red',alpha=0.3))
p2<-ggplot(data.frame(dt=normald))+geom_qq(aes(sample=dt))+geom_abline(slope=1,intercept = 0)
grid.arrange(p1,p2,nrow=1)

#sharppeak plot
p1<-ggplot(data.frame(dt=sharperpeak))+geom_density(aes(x=dt),fill='green',alpha=0.6)+xlab('Sharper-peaks')+geom_vline(xintercept=quantile(sharperpeak,c(0.25,0.75),color='red',alpha=0.3))
p2<-ggplot(data.frame(dt=sharperpeak))+geom_qq(aes(sample=dt))+geom_abline(slope=1,intercept = 0)
grid.arrange(p1,p2,nrow=1)

#heaviertails plot
p1<-ggplot(data.frame(dt=heavytail))+geom_density(aes(x=dt),fill='green',alpha=0.6)+xlab('Heavy Tails')+geom_vline(xintercept=quantile(heavytail,c(0.25,0.75),color='red',alpha=0.3))
p2<-ggplot(data.frame(dt=heavytail))+geom_qq(aes(sample=dt))+geom_abline(slope=1,intercept = 0)
grid.arrange(p1,p2,nrow=1)

#positiveskew plot
p1<-ggplot(data.frame(dt=positiveskew))+geom_density(aes(x=dt),fill='green',alpha=0.6)+xlab('Positively skewed Distribution')+geom_vline(xintercept=quantile(positiveskew,c(0.25,0.75),color='red',alpha=0.3))+xlim(-1.5,5)
p2<-ggplot(data.frame(dt=positiveskew))+geom_qq(aes(sample=dt))+geom_abline(slope=1,intercept = 0)
grid.arrange(p1,p2,nrow=1)

#negative skew plot
p1<-ggplot(data.frame(dt=negativeskew))+geom_density(aes(x=dt),fill='green',alpha=0.6)+xlab('Negatively skewed Distribution')+geom_vline(xintercept=quantile(negativeskew,c(0.25,0.75),color='red',alpha=0.3))+xlim(-5,1.5)
p2<-ggplot(data.frame(dt=negativeskew))+geom_qq(aes(sample=dt))+geom_abline(slope=1,intercept = 0)
grid.arrange(p1,p2,nrow=1)

# Normal distributions with different sds
normal1<-rnorm(3000,sd=2)
normal2<-rnorm(3000,sd=4)
normal3<-rnorm(3000,sd=0.5)
normal4<-rnorm(3000,sd=0.25)
final<-c(normal1,normal2,normal3,normal4)
ggplot(data.frame(dt=final,sds=factor(rep(c('2','4','0.5','0.25'),each=3000))),aes(sample=dt,color=sds))+geom_qq()+geom_abline(slope=1,intercept=0)