Chiến lược giảng dạy phân phối mẫu

Phiên bản tl; dr Bạn sử dụng chiến lược thành công nào để dạy phân phối lấy mẫu (ví dụ về trung bình mẫu) ở cấp đại học giới thiệu?

Bối cảnh

Vào tháng 9, tôi sẽ dạy một khóa thống kê giới thiệu cho sinh viên khoa học xã hội năm thứ hai (chủ yếu là khoa học chính trị và xã hội học) sử dụng Thực hành thống kê cơ bản của David Moore. Đây sẽ là lần thứ năm tôi dạy khóa học này và một vấn đề tôi luôn gặp phải là các sinh viên đã thực sự vật lộn với khái niệm phân phối mẫu . Nó được coi là nền tảng cho suy luận và tuân theo phần giới thiệu cơ bản về xác suất mà dường như họ không gặp rắc rối sau một số trục trặc ban đầu (và về cơ bản, ý tôi là cơ bản- sau tất cả, nhiều sinh viên trong số này đã tự chọn vào một luồng khóa học cụ thể vì họ đang cố gắng tránh bất cứ điều gì thậm chí với một gợi ý mơ hồ về "toán học"). Tôi đoán rằng có lẽ 60% rời khóa học mà không hiểu tối thiểu, khoảng 25% hiểu nguyên tắc nhưng không liên quan đến các khái niệm khác và 15% còn lại hoàn toàn hiểu.

Vấn đề chính

Những rắc rối sinh viên dường như có là với ứng dụng. Thật khó để giải thích vấn đề chính xác là gì ngoài việc nói rằng họ không hiểu. Từ một cuộc thăm dò tôi đã tiến hành vào học kỳ trước và từ các câu trả lời của kỳ thi, tôi nghĩ rằng một phần của khó khăn là sự nhầm lẫn giữa hai cụm từ âm thanh liên quan và tương tự (phân phối mẫu và phân phối mẫu), vì vậy tôi không sử dụng cụm từ "phân phối mẫu" nữa, nhưng chắc chắn đây là điều mà, trong lúc bối rối, ban đầu dễ dàng nắm bắt được với một chút nỗ lực và dù sao nó cũng không thể giải thích được sự nhầm lẫn chung của khái niệm phân phối mẫu.

(Tôi nhận ra rằng đó có thể là tôi và việc dạy học của tôi có vấn đề ở đây! Tuy nhiên tôi nghĩ bỏ qua khả năng không thoải mái đó là hợp lý vì một số học sinh dường như hiểu được và nói chung mọi người dường như làm khá tốt ...)

Những gì tôi đã thử

Tôi đã phải tranh luận với quản trị viên đại học trong khoa của chúng tôi để giới thiệu các phiên bắt buộc trong phòng thí nghiệm máy tính với suy nghĩ rằng các cuộc biểu tình lặp đi lặp lại có thể hữu ích (trước khi tôi bắt đầu giảng dạy khóa học này không có máy tính liên quan). Mặc dù tôi nghĩ rằng điều này giúp hiểu tổng thể về tài liệu khóa học nói chung, tôi không nghĩ rằng nó giúp ích cho chủ đề cụ thể này.

Một ý tưởng tôi đã có là chỉ đơn giản là không dạy nó chút nào hoặc không cho nó nhiều trọng lượng, một vị trí được một số người ủng hộ (ví dụ Andrew Gelman ). Tôi không thấy điều này đặc biệt thỏa mãn vì nó có ý nghĩa giảng dạy cho mẫu số chung thấp nhất và quan trọng hơn là phủ nhận những sinh viên mạnh mẽ và có động lực muốn tìm hiểu thêm về ứng dụng thống kê từ việc thực sự hiểu các khái niệm quan trọng hoạt động như thế nào (không chỉ phân phối mẫu! ). Mặt khác, sinh viên trung bình dường như nắm bắt các giá trị p chẳng hạn, vì vậy có lẽ họ không cần phải hiểu phân phối mẫu.

Câu hỏi

Những chiến lược nào bạn sử dụng để dạy phân phối mẫu? Tôi biết có tài liệu và thảo luận có sẵn (ví dụ ở đây và ở đây và bài viết này mở tệp PDF ) nhưng tôi chỉ tự hỏi liệu tôi có thể lấy một số ví dụ cụ thể về những gì hoạt động cho mọi người (hoặc tôi đoán ngay cả những gì không hoạt động vì vậy tôi sẽ biết không nên thử nó!). Kế hoạch của tôi bây giờ, khi tôi lên kế hoạch cho khóa học của mình vào tháng 9, là làm theo lời khuyên của Gelman và "khử" phân phối mẫu. Tôi sẽ dạy nó, nhưng tôi sẽ đảm bảo với các sinh viên rằng đây là một loại chủ đề chỉ dành cho FYI và sẽ không xuất hiện trong một bài kiểm tra (ngoại trừ có lẽ là một câu hỏi bổ sung?!). Tuy nhiên, tôi thực sự thích nghe những cách tiếp cận khác mà mọi người đã sử dụng.

Theo tôi, phân phối mẫu là ý tưởng chính của thống kê 101. Bạn cũng có thể bỏ qua khóa học vì bỏ qua vấn đề đó. Tuy nhiên, tôi rất quen thuộc với thực tế là các sinh viên chỉ không nhận được nó, dường như bất kể bạn làm gì. Tôi có một loạt các chiến lược. Chúng có thể mất rất nhiều thời gian, nhưng tôi khuyên bạn nên bỏ qua / viết tắt các chủ đề khác, để đảm bảo rằng chúng có ý tưởng về phân phối lấy mẫu. Dưới đây là một số lời khuyên:

• Nói một cách rõ ràng : Trước tiên tôi đề cập rõ ràng rằng có 3 phân phối khác nhau mà chúng tôi quan tâm: phân phối dân số, phân phối mẫu và phân phối mẫu. Tôi nói điều này nhiều lần trong suốt bài học, và sau đó lặp đi lặp lại trong suốt khóa học. Mỗi lần tôi nói những điều khoản này tôi nhấn mạnh sự kết thúc rõ rệt: sam- ple , samp- ling . (Vâng, sinh viên bị bệnh này; họ cũng có khái niệm.)
• Sử dụng hình ảnh (số liệu): Tôi có một bộ số liệu tiêu chuẩn mà tôi sử dụng mỗi khi tôi nói về điều này. Nó có ba bản phân phối được hình dung rõ ràng, và thường được dán nhãn. (Các nhãn đi kèm với hình này nằm trên slide powerpoint và bao gồm các mô tả ngắn, vì vậy chúng không hiển thị ở đây, nhưng rõ ràng đó là: dân số ở trên cùng, sau đó lấy mẫu, sau đó lấy mẫu phân phối.)
  
• Cung cấp cho sinh viên các hoạt động: Lần đầu tiên bạn giới thiệu khái niệm này, hoặc mang theo một loạt các biệt danh (một số phần tư có thể biến mất) hoặc một loạt xúc xắc 6 mặt. Cho học sinh thành các nhóm nhỏ và tạo ra một bộ gồm 10 giá trị và tính trung bình chúng. Sau đó, bạn có thể tạo một biểu đồ trên bảng hoặc với Excel.
• Sử dụng hình ảnh động (mô phỏng): Tôi viết một số mã (không hiệu quả về mặt hài hước) trong R để tạo dữ liệu và hiển thị nó trong hành động. Phần này đặc biệt hữu ích khi bạn chuyển sang giải thích Định lý giới hạn trung tâm. (Lưu ý các Sys.sleep()tuyên bố, các tạm dừng này cho tôi một chút thời gian để giải thích những gì đang diễn ra ở mỗi giai đoạn.)

N = 10
number_of_samples = 1000


iterations  = c(3, 7, number_of_samples)  
breakpoints = seq(10, 91, 3)  
meanVect    = vector()  
x           = seq(10, 90)  
height      = 30/dnorm(50, mean=50, sd=10)  
y           = height*dnorm(x, mean=50, sd=10)  

windows(height=7, width=5)  
par(mfrow=c(3,1), omi=c(0.5,0,0,0), mai=c(0.1, 0.1, 0.2, 0.1))  

for(i in 1:iterations[3]) {  
  plot(x,y, type="l", col="blue", axes=F, xlab="", ylab="")  
  segments(x0=20, y0=0, x1=20, y1=y[11], col="lightgray")  
  segments(x0=30, y0=0, x1=30, y1=y[21], col="gray")  
  segments(x0=40, y0=0, x1=40, y1=y[31], col="darkgray")  
  segments(x0=50, y0=0, x1=50, y1=y[41])  
  segments(x0=60, y0=0, x1=60, y1=y[51], col="darkgray")  
  segments(x0=70, y0=0, x1=70, y1=y[61], col="gray")  
  segments(x0=80, y0=0, x1=80, y1=y[71], col="lightgray")  
  abline(h=0)  

  if(i==1) {  
    Sys.sleep(2)  
  }  
  sample = rnorm(N, mean=50, sd=10)  
  points(x=sample, y=rep(1,N), col="green", pch="*")  

  if(i<=iterations[1]) {  
    Sys.sleep(2)  
  }  
  xhist1 = hist(sample, breaks=breakpoints, plot=F)  
  hist(sample, breaks=breakpoints, axes=F, col="green", xlim=c(10,90),  
       ylim=c(0,N), main="", xlab="", ylab="")  
  if(i==iterations[3]) {  
    abline(v=50)  
  }  

  if(i<=iterations[2]) {  
    Sys.sleep(2)  
  }  
  sampleMean = mean(sample)  
  segments(x0=sampleMean, y0=0, x1=sampleMean,   
           y1=max(xhist1$counts)+1, col="red", lwd=3)  

  if(i<=iterations[1]) {  
    Sys.sleep(2)  
  }  
  meanVect = c(meanVect, sampleMean)  
  hist(meanVect, breaks=x, axes=F, col="red", main="",   
       xlab="", ylab="", ylim=c(0,((N/3)+(0.2*i))))  
  if(i<=iterations[2]) {  
    Sys.sleep(2)  
  }  
}  

Sys.sleep(2)  
xhist2 = hist(meanVect, breaks=x, plot=F)  
xMean  = round(mean(meanVect), digits=3)  
xSD    = round(sd(meanVect), digits=3)  
histHeight = (max(xhist2$counts)/dnorm(xMean, mean=xMean, sd=xSD))  
lines(x=x, y=(histHeight*dnorm(x, mean=xMean, sd=xSD)),   
      col="yellow", lwd=2)  
abline(v=50)  

txt1 = paste("population mean = 50     sampling distribution mean = ",  
             xMean, sep="")  
txt2 = paste("SD = 10     10/sqrt(", N,") = 3.162     SE = ", xSD,  
            sep="")  
mtext(txt1, side=1, outer=T)  
mtext(txt2, side=1, line=1.5, outer=T)  

• Chứng minh các khái niệm này trong suốt học kỳ: Tôi đưa ý tưởng về phân phối lấy mẫu lên mỗi lần chúng ta nói về chủ đề tiếp theo (mặc dù thường chỉ rất ngắn gọn). Vị trí quan trọng nhất cho điều này là khi bạn dạy ANOVA, vì trường hợp giả thuyết null thực sự có tình huống bạn đã lấy mẫu từ cùng một phân phối dân số và nhóm của bạn có nghĩa thực sự là phân phối lấy mẫu theo kinh nghiệm. (Để biết ví dụ về điều này, hãy xem câu trả lời của tôi ở đây: Lỗi tiêu chuẩn hoạt động như thế nào ? .)

Tôi đã có một số may mắn khi nhắc nhở các sinh viên rằng phân phối mẫu là phân phối thống kê kiểm tra dựa trên một mẫu ngẫu nhiên . Tôi có học sinh nghĩ về những gì sẽ xảy ra trong quá trình lấy mẫu đã bị sai lệch - tập trung vào các trường hợp cực đoan. Ví dụ, "phân phối lấy mẫu" sẽ trông như thế nào nếu quy trình lấy mẫu của chúng tôi luôn chọn tập hợp con (đặc biệt) giống nhau. Sau đó, tôi sẽ xem xét "phân phối lấy mẫu" sẽ như thế nào nếu quy trình lấy mẫu của chúng tôi chỉ chọn hai tập hợp con (đặc biệt) cụ thể (mỗi tập hợp có xác suất 1/2). Đây là khá đơn giản để làm việc với trung bình mẫu (đặc biệt đối với các lựa chọn đặc biệt "đặc biệt" cho dân số cơ bản).

Tôi nghĩ đối với một số (rõ ràng không phải tất cả) sinh viên, điều này dường như giúp họ với ý tưởng rằng phân phối mẫu có thể rất khác với phân bố dân số. Tôi cũng đã sử dụng ví dụ định lý giới hạn trung tâm mà Michael Chernick đã đề cập với một số thành công - đặc biệt là với các bản phân phối rõ ràng là không bình thường (mô phỏng thực sự có vẻ hữu ích).

Tôi bắt đầu trở lại với việc dạy xác suất. Tôi không đi sâu vào nhiều định nghĩa và quy tắc chính thức (chỉ không đủ thời gian), nhưng hiển thị xác suất bằng mô phỏng. Vấn đề Monty Hall là một ví dụ tuyệt vời để sử dụng, tôi thể hiện thông qua mô phỏng (và sau đó theo dõi logic) rằng chiến lược chuyển đổi mang lại xác suất chiến thắng cao hơn. Tôi chỉ ra rằng bằng cách mô phỏng, chúng tôi có thể chơi trò chơi nhiều lần (không có rủi ro hoặc phần thưởng) để đánh giá các chiến lược và cho phép chúng tôi chọn chiến lược tốt hơn (nếu chúng tôi đã từng ở trong tình huống đó). Chọn chiến lược tốt hơn không đảm bảo chiến thắng, nhưng nó cho chúng ta cơ hội tốt hơn và giúp lựa chọn giữa các chiến lược. Sau đó tôi chỉ ra rằng làm thế nào điều này sẽ áp dụng cho phần còn lại của khóa học là nó sẽ giúp chúng tôi chọn các chiến lược trong đó có một thành phần ngẫu nhiên,

Sau đó, khi tôi giới thiệu phân phối lấy mẫu, tôi lại bắt đầu với mô phỏng và nói rằng chúng tôi muốn phát triển các chiến lược. Giống như với vấn đề Monty Hall, trong cuộc sống thực, chúng ta sẽ chỉ có thể lấy 1 mẫu, nhưng chúng ta có thể mô phỏng một loạt các mẫu để giúp chúng ta phát triển một chiến lược. Sau đó, tôi hiển thị mô phỏng của nhiều mẫu từ cùng một quần thể (dân số đã biết trong trường hợp này) và hiển thị các mối quan hệ mà chúng ta học được từ các mô phỏng (biểu đồ của phương tiện mẫu), nghĩa là mẫu có nghĩa là cụm xung quanh giá trị trung bình thực (nghĩa là trung bình) , độ lệch chuẩn nhỏ hơn của phân phối mẫu cho các mẫu lớn hơn, bình thường hơn cho các mẫu lớn hơn. Toàn bộ thời gian tôi nói về việc lặp lại các ý tưởng mô phỏng để chọn chiến lược, giống như ý tưởng của vấn đề Monty Hall được áp dụng cho phương tiện mẫu thay vì các chương trình trò chơi. Sau đó tôi chỉ ra các quy tắc chính thức và nói rằng ngoài các mô phỏng, chúng có thể được chứng minh bằng toán học, nhưng tôi sẽ không đưa ra các bằng chứng trên toàn bộ lớp. Tôi đề nghị rằng nếu họ thực sự muốn xem các bằng chứng toán học, họ có thể đến giờ hành chính và tôi sẽ cho họ xem toán học (không ai trong các lớp giới thiệu đã đưa tôi đến vấn đề này).

Sau đó, khi chúng tôi suy luận, tôi nói rằng chúng tôi sẽ chỉ có thể lấy 1 mẫu trong thế giới thực, giống như chúng tôi chỉ chơi trò chơi 1 lần (nhiều nhất), nhưng chúng tôi có thể sử dụng các chiến lược mà chúng tôi đã học được từ mô phỏng nhiều mẫu để phát triển một chiến lược (z-test, t-test hoặc CI) sẽ cung cấp cho chúng ta các thuộc tính được chọn (cơ hội là chính xác). Giống như với trò chơi, chúng tôi không biết trước khi bắt đầu liệu kết luận cuối cùng của mình có đúng không (và thông thường chúng tôi vẫn không biết sau đó), nhưng chúng tôi biết từ phân phối mô phỏng và lấy mẫu xác suất dài hạn đang sử dụng chiến lược đó.

100% sinh viên có một sự hiểu biết hoàn hảo? không, nhưng tôi nghĩ nhiều người trong số họ có ý tưởng chung rằng chúng ta có thể sử dụng các quy tắc mô phỏng và toán học (rằng họ rất vui khi họ không phải nhìn vào, chỉ cần tin vào cuốn sách / người hướng dẫn) để chọn một chiến lược / công thức có tính chất mong muốn.

Đây là một vấn đề rất quan trọng và được cân nhắc kỹ từ phía bạn. Tôi nghĩ rằng khái niệm phân phối mẫu là khác nhau cơ bản để hiểu suy luận và chắc chắn nên được dạy.

Tôi đã dạy nhiều khóa học thống kê giới thiệu đặc biệt về thống kê sinh học. Tôi dạy khái niệm phân phối mẫu và có những cách tiếp cận mà tôi nghĩ là tốt nhưng thực sự không có phản hồi tốt để xác định mức độ thành công của tôi với họ. Dù sao đây là những gì tôi làm.

Đầu tiên tôi cố gắng đưa ra một định nghĩa đơn giản. Phân phối mẫu là phân phối mà thống kê kiểm tra sẽ có nếu quy trình mẫu được lặp lại nhiều lần. Nó phụ thuộc vào phân phối dân số mà dữ liệu được giả định được tạo ra từ đó.

Mặc dù tôi nghĩ rằng đây là một định nghĩa đơn giản như tôi có thể đưa ra nhưng tôi nhận ra nó không đơn giản lắm và sự hiểu biết về khái niệm này sẽ không xuất hiện ngay lập tức trong hầu hết các trường hợp. Vì vậy, theo dõi điều này với một ví dụ cơ bản củng cố những gì được nói với định nghĩa.

$^2$$^2$

Sau đó, tôi sẽ theo dõi điều này với một ứng dụng quan trọng, định lý giới hạn trung tâm. Theo các thuật ngữ đơn giản nhất, định lý giới hạn trung tâm nói rằng đối với nhiều phân phối không bình thường, phân phối lấy mẫu cho giá trị trung bình mẫu sẽ gần với phân phối chuẩn khi kích thước mẫu n lớn. Để minh họa điều này, hãy phân phối như đồng phục (phân phối lưỡng kim cũng sẽ tốt khi xem) và cho biết phân phối lấy mẫu cho giá trị trung bình trông như thế nào đối với cỡ mẫu 3, 4, 5, 10 và 100. Học sinh có thể thấy hình dạng của phân phối thay đổi từ một thứ trông không bình thường chút nào đối với n nhỏ thành một thứ trông rất giống phân phối bình thường cho n lớn.

Để thuyết phục học sinh rằng các phân phối mẫu này thực sự có các hình dạng này, các học sinh tiến hành mô phỏng tạo ra nhiều mẫu có kích cỡ khác nhau và tính toán phương tiện mẫu. Sau đó, họ tạo ra biểu đồ cho các ước tính về giá trị trung bình. Tôi cũng sẽ đề nghị áp dụng một cuộc biểu tình vật lý cho thấy cách thức hoạt động của nó bằng cách sử dụng bảng quincunx. Trong khi thực hiện điều này, bạn chỉ ra cách thiết bị tạo ra các mẫu của tổng số các thử nghiệm Bernoulli độc lập trong đó xác suất đi sang trái hoặc phải ở mỗi cấp bằng 1/2. Các ngăn xếp kết quả ở phía dưới đại diện cho một biểu đồ cho phân phối lấy mẫu này (nhị thức) và hình dạng của nó có thể được nhìn thấy trông bình thường sau khi một số lượng lớn các quả bóng rơi xuống đáy quincunx,

Tôi nghĩ sẽ tốt hơn nếu đặt một 'số dân' số vào một cái túi (ví dụ từ 1-10). Bạn có thể tự tạo gạch, hoặc sử dụng tiền xu, chơi bài, v.v.

Cho học sinh ngồi theo nhóm (5 hoặc nhiều hơn) và mỗi người chọn một số trong túi. Mỗi nhóm sau đó tính giá trị trung bình cho nhóm của họ. Nói với họ rằng trước đó bạn đã tìm ra ý nghĩa dân số, vẽ biểu đồ trên biểu đồ và đưa một thành viên của mỗi nhóm đến và vẽ ý nghĩa mẫu của họ trên một lịch sử xung quanh điều này. Yêu cầu họ thực hiện trích đoạn này một vài lần để 'xây dựng biểu đồ'.

Sau đó, bạn sẽ có thể hiển thị đồ họa sự thay đổi trong phương tiện mẫu xung quanh trung bình dân số. Tìm ra sự khác biệt trong phương tiện mẫu so với trung bình dân số. Tôi nghĩ rằng sinh viên nhớ rõ ràng thực hiện một bài tập thực tế như vậy và khái niệm biến thể lấy mẫu sẽ trở lại với họ dễ dàng hơn do đó. Nghe có vẻ hơi trẻ con nhưng đôi khi sinh viên chỉ thích thay đổi để làm điều gì đó hoạt động .... không có nhiều cơ hội để làm điều này trong các số liệu thống kê.