Phân phối trung bình làm tròn của các biến ngẫu nhiên Poisson là gì?

Nếu tôi có các biến ngẫu nhiên là Poisson được phân phối với các tham số , phân phối của (tức là tầng nguyên của trung bình)?λ 1 , λ 2 , ... , λ n Y = ⌊ Σ n i = 1 X $X_1,X_2,\ldots,X_n$$\lambda_1, \lambda_2,\ldots, \lambda_n$$Y=\left\lfloor\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}\right\rfloor$

Một tổng số Poissons cũng là Poisson, nhưng tôi không đủ tự tin vào số liệu thống kê để xác định xem nó có giống với trường hợp trên không.

Một khái quát của câu hỏi yêu cầu phân phối khi phân phối được biết và hỗ trợ trên các số tự nhiên. (Trong câu hỏi, có phân phối Poisson tham số và .)X X λ = λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n m = $Y = \lfloor X/m \rfloor$$X$$X$$\lambda = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$$m=n$

Sự phân bố của có thể dễ dàng xác định bởi sự phân bố của , có khả năng tạo ra chức năng (PGF) có thể được xác định trong điều khoản của PGF của . Đây là một phác thảo của phái sinh.m Y $Y$$mY$$X$

---

Viết cho pgf của , trong đó (theo định nghĩa) . được xây dựng từ theo cách mà pgf, , của nó làX p n = Pr ( X = n ) m Y X $p(x) = p_0 + p_1 x + \cdots + p_n x^n + \cdots$$X$$p_n = \Pr(X=n)$$mY$$X$$q$

$$\eqalign{q(x) &=& \left(p_0 + p_1 + \cdots + p_{m-1}\right) + \left(p_m + p_{m+1} + \cdots + p_{2m-1}\right)x^m + \cdots + \\&&\left(p_{nm} + p_{nm+1} + \cdots + p_{(n+1)m-1}\right)x^{nm} + \cdots.}$$

Bởi vì điều này hội tụ hoàn toàn cho , chúng ta có thể sắp xếp lại các điều khoản thành một tổng số phần của biểu mẫu$|x| \le 1$

$$D_{m,t}p(x) = p_t + p_{t+m}x^m + \cdots + p_{t + nm}x^{nm} + \cdots$$

cho . Chuỗi lũy thừa của các hàm bao gồm mọi thuật ngữ của chuỗi bắt đầu bằng : đôi khi được gọi là số thập phân của . Các tìm kiếm của Google hiện tại không đưa ra nhiều thông tin hữu ích về các số thập phân, vì vậy để hoàn thiện, đây là một công thức.x t D m , t p m th p t th$t=0, 1, \ldots, m-1$$x^t D_{m,t}p$$m^\text{th}$$p$$t^\text{th}$$p$

Đặt là bất kỳ gốc gốc của sự thống nhất; ví dụ: lấy . Sau đó, nó xuất phát từ và đóm th ω = exp ( 2 i π / m ) ω m = 1 ∑ m - 1 j = 0 ω j = $\omega$$m^\text{th}$$\omega = \exp(2 i \pi / m)$$\omega^m=1$$\sum_{j=0}^{m-1}\omega^j = 0$

$$x^t D_{m,t}p(x) = \frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1} \omega^{t j} p(x/\omega^j).$$

Để thấy điều này, lưu ý rằng toán tử là tuyến tính, do đó, nó đủ để kiểm tra công thức trên cơ sở . Áp dụng phía bên tay phải để mang đến cho { 1 , x , x 2 , ... , x n , ... } x $x^t D_{m,t}$$\{1, x, x^2, \ldots, x^n, \ldots \}$$x^n$

$$x^t D_{m,t}[x^n] = \frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1} \omega^{t j} x^n \omega^{-nj}= \frac{x^n}{m}\sum_{j=0}^{m-1} \omega^{(t-n) j.}$$

Khi và khác nhau bởi bội số của , mỗi số hạng trong tổng bằng và chúng ta thu được . Mặt khác, các điều khoản xoay quanh các quyền hạn của và các tổng này bằng không. Khi toán tử này bảo toàn tất cả các lũy thừa của đồng quy với modulo và giết chết tất cả các quyền khác: đó chính xác là phép chiếu mong muốn.n m 1 x n ω t - n x t $t$$n$$m$$1$$x^n$$\omega^{t-n}$$x$$t$$m$

Một công thức cho tuân theo dễ dàng bằng cách thay đổi thứ tự tổng hợp và nhận ra một trong các khoản tiền là hình học, do đó viết nó ở dạng đóng:$q$

$$\eqalign{ q(x) &= \sum_{t=0}^{m-1} (D_{m,t}[p])(x) \\ &= \sum_{t=0}^{m-1} x^{-t} \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} \omega^{t j} p(\omega^{-j}x ) \\ &= \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} p(\omega^{-j}x) \sum_{t=0}^{m-1} \left(\omega^j/x\right)^t \\ &= \frac{x(1-x^{-m})}{m} \sum_{j=0}^{m-1} \frac{p(\omega^{-j}x)}{x-\omega^j}. }$$

Ví dụ: pgf của phân phối Poisson của tham số là . Với , và pgf của sẽ làp ( x ) = exp ( λ ( x - 1 ) ) m = 2 ω = - 1 2 $\lambda$$p(x) = \exp(\lambda(x-1))$$m=2$$\omega=-1$$2Y$

$$\eqalign{ q(x) &= \frac{x(1-x^{-2})}{2} \sum_{j=0}^{2-1} \frac{p((-1)^{-j}x)}{x-(-1)^j} \\ &= \frac{x-1/x}{2} \left(\frac{\exp(\lambda(x-1))}{x-1} + \frac{\exp(\lambda(-x-1))}{x+1}\right) \\ &= \exp(-\lambda) \left(\frac{\sinh (\lambda x)}{x}+\cosh (\lambda x)\right). }$$

Một cách sử dụng của phương pháp này là để tính toán các khoảnh khắc của và . Giá trị của đạo hàm của pgf được đánh giá tại là thời điểm giai thừa . Các khoảnh khắc là sự kết hợp tuyến tính của người đầu tiên khoảnh khắc thừa. Ví dụ, bằng cách sử dụng các quan sát này, đối với Poisson phân phối , giá trị trung bình của nó (là khoảnh khắc giai thừa đầu tiên) bằng , giá trị trung bình của bằng và giá trị trung bình của bằngm Y k th x = 1 k th k th k X λ 2 ⌊ ( X / 2 ) ⌋ λ - $X$$mY$$k^\text{th}$$x=1$$k^\text{th}$$k^\text{th}$$k$$X$$\lambda$$2\lfloor(X/2)\rfloor$3⌊(X/3)⌋λ-1+e-3λ/2(sin ( $\lambda- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{-2\lambda}$$3\lfloor(X/3)\rfloor$$\lambda -1+e^{-3 \lambda /2} \left(\frac{\sin \left(\frac{\sqrt{3} \lambda }{2}\right)}{\sqrt{3}}+\cos \left(\frac{\sqrt{3} \lambda}{2}\right)\right)$ :

Các phương tiện cho được hiển thị bằng màu xanh lam, đỏ và vàng, như các chức năng của : không có triệu chứng, giá trị trung bình giảm theo so với trung bình Poisson ban đầu.λ ( m - 1 ) /$m=1,2,3$$\lambda$$(m-1)/2$

Công thức tương tự cho phương sai có thể thu được. (Chúng trở nên lộn xộn khi tăng và do đó bị bỏ qua. Một điều họ chắc chắn thiết lập là khi không có bội số của là Poisson: nó không có sự bình đẳng đặc trưng của trung bình và phương sai) Đây là một âm mưu của phương sai là hàm của cho :m > 1 Y λ m = 1 , 2 , $m$$m \gt 1$$Y$$\lambda$$m=1,2,3$

Điều thú vị là đối với các giá trị lớn hơn của , phương sai tăng . Theo trực giác, điều này là do hai hiện tượng cạnh tranh: chức năng sàn là ngăn chặn hiệu quả các nhóm giá trị ban đầu là khác biệt; điều này phải làm cho phương sai giảm. Đồng thời, như chúng ta đã thấy, các phương tiện cũng thay đổi (vì mỗi thùng được đại diện bởi giá trị nhỏ nhất của nó); điều này phải gây ra một thuật ngữ bằng bình phương của sự khác biệt của phương tiện được thêm lại. Sự gia tăng phương sai cho lớn trở nên lớn hơn với giá trị lớn hơn của .bước sóng $\lambda$$\lambda$$m$

Hành vi của phương sai của với rất phức tạp. Hãy kết thúc bằng một mô phỏng nhanh (trong ) cho thấy những gì nó có thể làm. Các sơ đồ cho thấy sự khác biệt giữa phương sai của và phương sai của đối với Poisson phân phối với các giá trị khác nhau của từ đến . Trong mọi trường hợp, các ô dường như đã đạt đến các giá trị tiệm cận của chúng ở bên phải.m m ⌊ X / m ⌋ X X λ 1 $mY$$m$R$m\lfloor X/m \rfloor$$X$$X$$\lambda$$1$$5000$

set.seed(17)
par(mfrow=c(3,4))
temp <- sapply(c(1,2,5,10,20,50,100,200,500,1000,2000,5000), function(lambda) {
  x <- rpois(20000, lambda)
  v <- sapply(1:floor(lambda + 4*sqrt(lambda)), 
              function(m) var(floor(x/m)*m) - var(x))
  plot(v, type="l", xlab="", ylab="Increased variance", 
       main=toString(lambda), cex.main=.85, col="Blue", lwd=2)
})

Như Michael Chernick nói, nếu các biến ngẫu nhiên riêng lẻ là độc lập thì tổng là Poisson với tham số (trung bình và phương sai) mà bạn có thể gọi là .$\sum_{i=1}^{n} \lambda_i$$\lambda$

Chia cho làm giảm giá trị trung bình thành và phương sai nên phương sai sẽ nhỏ hơn phân phối Poisson tương đương. Như Michael nói, không phải tất cả các giá trị sẽ là số nguyên.λ / n λ / n $n$$\lambda / n$$\lambda / n^2$

Sử dụng hàm sàn làm giảm trung bình một chút, khoảng và ảnh hưởng đến phương sai một chút mặc dù theo cách phức tạp hơn. Mặc dù bạn có các giá trị nguyên, phương sai vẫn sẽ ít hơn đáng kể so với giá trị trung bình và do đó bạn sẽ có phân phối hẹp hơn Poisson.$\frac12 -\frac{1}{2n}$

$n$ $\sum_i X_i$$X_i$$\lambda_i$$\lambda = \sum_i \lambda_i$ Y =n-1Σ n i = 1 Xik/

$$P\left\{ \sum_{i=1}^n X_i= k\right\} = \exp(-\lambda)\frac{\lambda^k}{k!}, ~~ k = 0, 1, 2, \ldots,$$ $\hat{Y} = n^{-1} \sum_{i=1}^n X_i$$k/n$với xác suất . Lưu ý rằng $\exp(-\lambda)\frac{\lambda^k}{k!}$$\hat{Y}$$Y = \lfloor \hat{Y} \rfloor$$m$ $$P\{Y = m\} = P\left\{\left\lfloor \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \right\rfloor = m\right\} = \exp(-\lambda)\sum_{i=0}^{n-1}\frac{\lambda^{mn+i}}{(mn+i)!}, ~~ m = 0, 1, 2, \ldots,$$ $\lambda$$n$

Y sẽ không là Poisson. Lưu ý rằng các biến ngẫu nhiên Poisson có các giá trị nguyên không âm. Khi bạn chia cho một hằng số, bạn tạo một biến ngẫu nhiên có thể có các giá trị không nguyên. Nó vẫn sẽ có hình dạng của Poisson. Chỉ là các xác suất rời rạc có thể xảy ra tại các điểm không nguyên.