Thuộc tính của một biến ngẫu nhiên rời rạc

Khóa học thống kê của tôi chỉ dạy tôi rằng một biến ngẫu nhiên rời rạc có số lượng tùy chọn hữu hạn ... Tôi đã không nhận ra điều đó. Tôi đã có thể nghĩ, giống như một bộ số nguyên, nó có thể là vô hạn. Googling và kiểm tra một số trang web, bao gồm một số từ các khóa học đại học, đã không xác nhận cụ thể điều này; Tuy nhiên, hầu hết các trang web đều nói rằng các biến ngẫu nhiên rời rạc là có thể đếm được - tôi cho rằng điều đó có nghĩa là được đánh số chính xác?

Rõ ràng là các biến ngẫu nhiên liên tục là vô hạn ngay cả khi (hầu hết?) Thường bị ràng buộc.

Nhưng nếu các biến ngẫu nhiên rời rạc có khả năng hữu hạn, vậy thì phân phối vô hạn của các số nguyên là gì? Nó không rời rạc hay liên tục? Là câu hỏi tranh luận bởi vì các biến có xu hướng liên tục & (theo định nghĩa) là vô hạn hoặc không liên tục & hữu hạn?

Nếu đó là những gì khóa học của bạn nói, nó sai.

Mặc dù các phân phối rời rạc có thể có một số lượng hữu hạn các kết quả có thể xảy ra, nhưng chúng không bắt buộc; bạn có thể có một phân phối riêng biệt có vô số kết quả có thể xảy ra - số lượng phần tử sẽ không quá nhiều.

Một ví dụ phổ biến sẽ là phân phối hình học; xem xét số lần tung của một đồng tiền công bằng cho đến khi bạn nhận được một cái đầu. Không có giới hạn trên hữu hạn về số lần tung có thể cần thiết. Nó có thể mất 1 lần tung, hoặc 2, hoặc 3 hoặc 100 hoặc bất kỳ số nào khác.

Một phân phối rời rạc có thể là âm (xem xét sự khác biệt giữa hai biến ngẫu nhiên phân phối hình học như vậy; nó có thể là bất kỳ số nguyên dương hoặc âm).

Tuy nhiên, một phân phối rời rạc không phải qua các số nguyên, như trong ví dụ của tôi. Đó chỉ là một tình huống phổ biến, không phải là một yêu cầu.

Tôi đang viết một câu trả lời, với viễn cảnh rằng tôi chỉ có một sự hiểu biết rất ngây thơ về xác suất lý thuyết đo lường (vì vậy, các chuyên gia, xin vui lòng sửa cho tôi!).

$X: S \to \mathbb{R}$$S$

$X$$X(S)$$S$$X$$X$$X$

$X(s)$

Bạn cũng có thể có các biến ngẫu nhiên không rời rạc cũng không liên tục, chẳng hạn như phân phối Cantor .

Để trích dẫn trang wikipedia về các biến liên tục và rời rạc :

Nếu nó [biến] có thể đảm nhận hai giá trị thực cụ thể sao cho nó cũng có thể đảm nhận tất cả các giá trị thực giữa chúng (ngay cả các giá trị gần nhau tùy ý), biến đó liên tục trong khoảng đó

Do đó, một biến ngẫu nhiên rời rạc không nhất thiết phải có 'số lượng tùy chọn hữu hạn', nhưng cần phải có một khoảng cách không giới hạn giữa các giá trị có thể. Đây là trường hợp có phân phối số nguyên, vì 'khoảng cách' giữa hai số nguyên lân cận là 1 và không thể nhỏ hơn số nguyên này. Do đó, biến không liên tục vì nó không 'tiếp tục' trong các khoảng trống này.

Chỉnh sửa: Tôi biết rằng có lẽ cách tốt hơn và / hoặc chính xác hơn để trả lời điều này, nhưng đây là điều giúp cá nhân tôi hiểu được sự khác biệt.