Ai đó có thể giải thích khái niệm 'khả năng trao đổi'?


41

Tôi thấy khái niệm 'khả năng trao đổi' được sử dụng trong các bối cảnh khác nhau (ví dụ, mô hình bayes) nhưng tôi chưa bao giờ hiểu rõ thuật ngữ này.

  1. Khái niệm này có nghĩa là gì?

  2. Trong hoàn cảnh nào thì khái niệm này được viện dẫn và tại sao?

Câu trả lời:


44

Trao đổi có nghĩa là để nắm bắt sự đối xứng trong một vấn đề, đối xứng theo nghĩa không đòi hỏi sự độc lập. Chính thức, một chuỗi có thể trao đổi nếu phân phối xác suất chung của nó là một hàm đối xứng của đối số của nó . Theo trực giác, điều đó có nghĩa là chúng ta có thể trao đổi xung quanh hoặc sắp xếp lại các biến trong chuỗi mà không thay đổi phân phối chung của chúng. Ví dụ: mọi chuỗi IID (độc lập, phân phối giống hệt nhau) đều có thể trao đổi - nhưng không phải là cách khác. Mỗi chuỗi trao đổi được phân phối giống hệt nhau, mặc dù.n

Hãy tưởng tượng một cái bàn có một đống bình trên đầu, mỗi cái chứa tỷ lệ khác nhau của các quả bóng màu đỏ và màu xanh lá cây. Chúng tôi chọn một chiếc bình ngẫu nhiên (theo một số phân phối trước), và sau đó lấy một mẫu (không thay thế) từ chiếc bình được chọn.

Lưu ý rằng màu đỏ và màu xanh lá cây mà chúng ta quan sát KHÔNG độc lập. Và có lẽ không có gì ngạc nhiên khi biết rằng chuỗi màu đỏ và màu xanh lá cây chúng ta quan sát là một chuỗi có thể trao đổi. Có gì có thể ngạc nhiên là MỌI chuỗi trao đổi có thể được hình dung theo cách này, đối với một sự lựa chọn phù hợp của chiếc bình và phân phối trước. (xem Diaconis / Freedman (1980) "Trình tự trao đổi hữu hạn", Ann. Prob.).

Khái niệm này được viện dẫn ở tất cả các nơi và đặc biệt hữu ích trong bối cảnh Bayes vì ​​trong các cài đặt đó, chúng tôi có phân phối trước (kiến thức về phân phối bình trên bàn) và chúng tôi có khả năng chạy xung quanh (một mô hình đại diện lỏng lẻo cho quy trình lấy mẫu từ một cái nhất định, cố định, urn). Chúng tôi quan sát chuỗi màu đỏ và màu xanh lá cây (dữ liệu) và sử dụng thông tin đó để cập nhật niềm tin của chúng tôi về chiếc bình đặc biệt trong tay của chúng tôi (tức là hậu thế của chúng tôi), hay nói chung hơn là chiếc bình trên bàn.

Các biến ngẫu nhiên có thể trao đổi là đặc biệt tuyệt vời bởi vì nếu chúng ta có vô số trong số chúng thì chúng ta có bộ máy toán học trong tầm tay, không phải là ít nhất là Định lý de Finetti; xem Wikipedia để giới thiệu.


10
(+1) Giả định khả năng trao đổi cũng là trọng tâm của các thử nghiệm hoán vị.
chl

9
Đưa ra câu hỏi về thời điểm và lý do khả năng trao đổi, con trỏ của chl để kiểm tra hoán vị có thể có thêm một vài từ. Các phép thử hoán vị là một kỹ thuật không tham số được sử dụng khi tính chuẩn và các giả định tương tự là không thể thực hiện được - thay vào đó, người ta sử dụng "giả định null" yếu hơn về khả năng trao đổi, xấp xỉ phân phối một thống kê kiểm tra theo giả định null này (bằng cách cho phép) thống kê là cực đoan so với phân phối null này. Có một cuốn sách có thể truy cập của P. Good, "Phép thử, tham số và thử nghiệm Bootstrap của các giả thuyết".
S. Kolassa - Phục hồi Monica

@Stephan Tôi thích cuốn sách này! Tuy nhiên, khả năng trao đổi yếu hơn độc lập ...
chl

Cảm ơn rất nhiều vì câu trả lời hữu ích này, GJK, và cho các ghi chú về các bài kiểm tra hoán vị, @StephanKolassa và chi. Tôi đang bối rối về vai trò của nhiều chiếc bình trong ví dụ. Chuỗi màu đỏ và màu xanh lá cây sẽ được trao đổi với một, urn, phải không? Khả năng của nhiều bình (nhiều bản phân phối) thêm gì?
Sao Hỏa

3
Tôi sẽ không tin bất cứ điều gì trong cuốn sách đó bởi Good. Có lần tôi đã phát hiện ra những gì tôi mặc dù là một lỗi trong cuốn sách đó, đã viết cho anh ta và nhận được một câu trả lời khá thô tục.
kjetil b halvorsen
Khi sử dụng trang web của chúng tôi, bạn xác nhận rằng bạn đã đọc và hiểu Chính sách cookieChính sách bảo mật của chúng tôi.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.