Càng vì là gần gaussian, PDF của nó có thể được viết là

Câu hỏi ngắn: Tại sao điều này là đúng ??

Câu hỏi dài:

Rất đơn giản, tôi đang cố gắng tìm ra điều gì biện minh cho phương trình đầu tiên này. Tác giả của cuốn sách tôi đang đọc, (bối cảnh ở đây nếu bạn muốn, nhưng không cần thiết), tuyên bố như sau:

Do giả định gần gaussianity, chúng ta có thể viết:

$p_{0} (ξ) = A ϕ (ξ) e x p (a_{n + 1} ξ + (a_{n + 2} + \frac{1}{2}) ξ^{2} + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} G_{i} (ξ))$ $p_0(\xi) = A \; \phi(\xi) \; exp( a_{n+1}\xi + (a_{n+2} + \frac{1}{2})\xi^2 + \sum_{i=1}^{n} a_i G_i(\xi))$

Trong đó là PDF của dữ liệu được quan sát của bạn có entropy tối đa, với điều kiện là bạn chỉ quan sát được một loạt các kỳ vọng, (số đơn giản) , trong đó và là PDF của biến gaussian được tiêu chuẩn hóa, nghĩa là 0 trung bình và phương sai đơn vị. $p_0(\xi)$ $c_i, i = 1 ... n$ $c_i = \mathbb{E}\{G_i(\xi)\}$ $\phi(\xi)$

Trường hợp tất cả những gì đang diễn ra là anh ta sử dụng phương trình trên làm điểm khởi đầu để làm cho PDF, đơn giản hơn và tôi hiểu cách anh ta làm điều đó, nhưng tôi không hiểu cách anh ta biện minh cho phương trình trên, nghĩa là, điểm băt đâu. $p_0(\xi)$

Tôi đã cố gắng giữ cho nó ngắn gọn để không làm xáo trộn bất cứ ai, nhưng nếu bạn muốn biết thêm chi tiết xin vui lòng cho tôi biết trong các ý kiến. Cảm ơn!

— Không gian
nguồn

(Lưu ý: Tôi đã thay đổi thành .) $\xi$ $x$

Đối với một biến ngẫu nhiên có mật độ , nếu bạn có các ràng buộc với , mật độ entropy tối đa là trong đó được xác định từ 's và là hằng số chuẩn hóa. $X$ $p$

\int G_{i} (x) p (x) d x = c_{i},

$\int G_i(x)\,p(x)\,dx=c_i \, ,$

i = 1, \dots, n

$i=1,\dots,n$

p_{0} (x) = A \exp (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} G_{i} (x)),

$p_0(x)=A\exp\left(\sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ,$

a_{i}

$a_i$

c_{i}

$c_i$

A

$A$

Trong bối cảnh này, phép tính gần đúng Gaussian ("gần-gaussianity") có nghĩa là hai điều:

1) Bạn chấp nhận giới thiệu hai ràng buộc mới: giá trị trung bình của là và phương sai là (nói); $X$ $0$ $1$

2) tương ứng (xem phần dưới) lớn hơn nhiều so với các khác . $a_{n+2}$ $a_i$

Các ràng buộc bổ sung này được biểu diễn dưới dạng năng suất có thể được viết lại thành (chỉ "thêm số không" vào số mũ) dẫn đến những gì bạn muốn: sẵn sàng để Taylor mở rộng (sử dụng điều kiện thứ hai của phép tính gần đúng Gaussian).

G_{n + 1} (x) = x, c_{n + 1} = 0,

$G_{n+1}(x)=x \, , \qquad c_{n+1}=0 \, ,$

G_{n + 2} (x) = x^{2}, c_{n + 2} = 1,

$G_{n+2}(x)=x^2 \, , \qquad c_{n+2}=1 \, ,$

p_{0} (x) = A \exp (a_{n + 2} x^{2} + a_{n + 1} x + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} G_{i} (x)),

$p_0(x)=A\exp\left(a_{n+2}x^2 + a_{n+1}x + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ,$

p_{0} (x) = A \exp (\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} + a_{n + 2} x^{2} + a_{n + 1} x + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} G_{i} (x)),

$p_0(x)=A\exp\left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{2} + a_{n+2}x^2 + a_{n+1}x + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ,$

p_{0} (x) = A^{'} ϕ (x) \exp (a_{n + 1} x + (a_{n + 2} + \frac{1}{2}) x^{2} + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} G_{i} (x));

$p_0(x)=A'\,\phi(x)\exp\left(a_{n+1}x + \left(a_{n+2}+\frac{1}{2}\right)x^2 + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ;$

Thực hiện phép tính gần đúng như Nhà vật lý (có nghĩa là chúng tôi không quan tâm đến thứ tự của cụm từ lỗi), sử dụng , chúng tôi có mật độ gần đúng Để kết thúc, chúng ta phải xác định và các giá trị của ' s. Điều này được thực hiện áp đặt các điều kiện để có được một hệ phương trình, giải pháp của nó đưa ra và ' s. $\exp(t)\approx 1+t$

p_{0} (x) \approx A^{'} ϕ (x) (1 + a_{n + 1} x + (a_{n + 2} + \frac{1}{2}) x^{2} + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} G_{i} (x)) .

$p_0(x) \approx A'\,\phi(x)\left(1+a_{n+1}x + \left(a_{n+2}+\frac{1}{2}\right)x^2 + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, .$

A^{'}

$A'$

a_{i}

$a_i$

\int p_{0} (x) d x = 1, \int x p_{0} (x) d x = 0, \int x^{2} p_{0} (x) d x = 1

$\int p_0(x)\,dx=1 \, , \qquad \int x \,p_0(x)\,dx=0 \, , \qquad \int x^2 \,p_0(x)\,dx=1$

\int G_{i} (x) p_{0} (x) d x = c_{i}, i = 1, \dots, n,

$\int G_i(x)\, p_0(x)\,dx=c_i \, , \quad i=1,\dots,n \, ,$

A^{'}

$A'$

a_{i}

$a_i$

Không áp đặt các điều kiện bổ sung cho , tôi không tin rằng có một giải pháp đơn giản ở dạng đóng. $G_i$

PS Mohammad đã làm rõ trong một cuộc trò chuyện rằng với các điều kiện trực giao bổ sung cho , chúng ta có thể giải quyết hệ thống. $G_i$

— thiền học
nguồn

Zen, cảm ơn rất nhiều. Tôi (phần nào) hiểu bây giờ. Tuy nhiên, điều không rõ ràng với tôi là khi bạn nói "Trong bối cảnh này, phép tính gần đúng Gaussian (" gần-gaussianity ") có nghĩa là bạn chấp nhận đưa ra hai ràng buộc mới: rằng giá trị trung bình của X là 0 và phương sai là (nói ) 1. " , Tôi không hiểu, tại sao một cái gì đó là 'gần gaussian', có nghĩa là nó có và . Điều gì xảy ra nếu đó chỉ là một rv khác xảy ra có cùng các giá trị đó?

μ = 0

$\mu=0$

σ^{2} = 1

$\sigma^2=1$

— Spacey

Xin chào Mohammad. Tôi đã thêm thông tin vào câu trả lời. Để có được biểu thức cũ của bạn chỉ sử dụng điều tôi đã gọi là điều kiện đầu tiên của phép tính gần đúng Gaussian. Bạn sẽ sử dụng điều kiện thứ hai khi bạn thực hiện việc mở rộng Taylor của . Tôi hi vọng cái này giúp được.

p_{0} (x)

$p_0(x)$

p_{0} (x)

$p_0(x)$

— Thiền

Bạn có phiền đăng bài dưới dạng nhận xét biểu thức cuối cùng cho sau khi bạn thực hiện các tính toán còn lại không? Cảm ơn.

p_{0} (x)

$p_0(x)$

— Zen

vâng, anh ta đang nói rằng biểu thức cuối cùng là:

p_{0} (z) \approx ϕ (z) (1 + \sum_{i = 1}^{N} c_{i} F_{i} (z))

$p_0(z) \approx \phi(z) (1 + \sum_{i=1}^{N} c_i F_i(z))$

— Spacey

Tôi nghĩ rằng có một lỗi đánh máy trong phương trình cuối cùng? ... đang xảy ra hai lần? ...

a_{n + 1} x

$a_{n+1}x$

— Spacey