Phân phối chuẩn

8

Có một vấn đề về thống kê Tôi không may không biết bắt đầu từ đâu (Tôi đang tự học nên không có ai tôi có thể hỏi, nếu tôi không hiểu điều gì đó.

Câu hỏi là

$X,Y$ iid $N(a,b^2); a=0; b^2=6; var(X^2+Y^2)=?$

self-study normal-distribution random-variable

— Thiên thần
nguồn

6

Vì bạn đang xử lý dữ liệu thông thường của IID, nên đáng để khái quát vấn đề của bạn một chút để xem xét trường hợp bạn có $X_1, ..., X_n \sim \text{IID N}(a, b^2)$ và bạn muốn $Q_n \equiv \mathbb{V}(\sum_{i=1}^n X_i^2)$ . (Câu hỏi của bạn tương ứng với trường hợp $n=2$ ) Như những người dùng khác đã chỉ ra, tổng bình phương của các biến ngẫu nhiên bình thường IID là một bình phương chi bình phương tỷ lệbiến ngẫu nhiên, và do đó phương sai của lãi suất có thể thu được từ kiến thức về phân phối đó. Tuy nhiên, cũng có thể thu được phương sai cần thiết bằng cách sử dụng quy tắc mô men thông thường, kết hợp với kiến thức về các khoảnh khắc của phân phối bình thường . Tôi sẽ chỉ cho bạn cách làm điều này dưới đây, theo các bước.

Tìm phương sai bằng các khoảnh khắc của phân phối chuẩn: Vì các giá trị là IID (và chụp là một giá trị chung từ phân phối này) bạn có: $X_1, ..., X_n$ $X$ nơi chúng tôi đang biểu thị những khoảnh khắc thô như. Những khoảnh khắc thô có thể được viết về những khoảnh khắc trung tâmvà giá trị trung bìnhsử dụngcông thức chuyển đổi tiêu chuẩn
$\begin{aligned} Q_{n} \equiv V (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}) & = \sum_{i = 1}^{n} V (X_{i}^{2}) \\ = n V (X^{2}) \\ = n (E (X^{4}) - E (X^{2})^{2}) \\ = n (μ_{4}^{'} - μ_{2}^{' 2}), \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= \sum_{i=1}^n \mathbb{V}(X_i^2) \\[6pt]&= n\mathbb{V}(X^2) \\[6pt]&= n(\mathbb{E}(X^4) - \mathbb{E}(X^2)^2) \\[6pt]&= n(\mu_4' - \mu_2'^2), \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ $\mu_k' \equiv \mathbb{E}(X^k)$ $\mu_k \equiv \mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^k)$ $\mu_1' = \mathbb{E}(X)$ và sau đó chúng ta có thể tìm kiếm những khoảnh khắc trung tâm của phân phối bình thường và thay thế chúng trong.

Sử dụng các công thức chuyển đổi thời điểm bạn sẽ nhận được:
$\begin{aligned} μ_{2}^{'} & = = μ_{2} + μ_{1}^{' 2}, \\ μ_{3}^{'} & = = μ_{3} + 3 μ_{1}^{'} μ_{2} + μ_{1}^{' 3}, \\ μ_{4}^{'} & = = μ_{4} + 4 μ_{1}^{'} μ_{3} + 6 μ_{1}^{' 2} μ_{2} + μ_{1}^{' 4} . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= \mu_2 + \mu_1'^2, \\[6pt]\mu_3' &= \mu_3 + 3 \mu_1' \mu_2 + \mu_1'^3, \\[6pt]\mu_4' &= \mu_4 + 4 \mu_1' \mu_3 + 6 \mu_1'^2 \mu_2 + \mu_1'^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ $X \sim \text{N}(a,b^2)$ $\mu_1' = a$ $\mu_2 = b^2$ $\mu_3 = 0$ $\mu_4 = 3 b^4$ $\begin{aligned} μ_{2}^{'} & = b^{2} + a^{2}, \\ μ_{3}^{'} & = 3 a b^{2} + a^{3}, \\ μ_{4}^{'} & = 3 b^{4} + 6 a^{2} b^{2} + a^{4} . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= b^2 + a^2, \\[6pt]\mu_3' &= 3 a b^2 + a^3, \\[6pt]\mu_4' &= 3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$

$\begin{aligned} Q_{n} & = n (μ_{4}^{'} - μ_{2}^{' 2}) \\ = n [(3 b^{4} + 6 a^{2} b^{2} + a^{4}) - (b^{2} + a^{2})^{2}] \\ = n [(3 b^{4} + 6 a^{2} b^{2} + a^{4}) - (b^{4} + 2 a^{2} b^{2} + a^{4})] \\ = n [2 b^{4} + 4 a^{2} b^{2}] \\ = 2 n b^{2} (b^{2} + 2 a^{2}) . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}Q_n &= n(\mu_4' - \mu_2'^2) \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^2 + a^2)^2] \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^4 + 2 a^2 b^2 + a^4)] \\[6pt]&= n[2 b^4 + 4 a^2 b^2] \\[6pt]&= 2nb^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ $n=2$ $Q_2 = 4b^2 (b^2 + 2a^2)$

$X_i / b \sim \text{N}(a/b, 1)$
$Σ_{Tôi = = 1}^{n} (\frac{X_{Tôi}}{b})^{2} ~ Chi-Sq không trung tâm (k = = n, λ = = \frac{n {một}^{2}}{b^{2}}) .$ $\sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \sim \text{Non-central Chi-Sq}\Big( k=n, \lambda= \frac{n a^2}{b^2} \Big).$ $\begin{aligned} Q_{n} \equiv V (Σ_{Tôi = = 1}^{n} X_{Tôi}^{2}) & = = b^{4} \cdot V (Σ_{Tôi = = 1}^{n} (\frac{X_{Tôi}}{b})^{2}) \\ = = b^{4} \cdot 2 (k + 2 λ) \\ = = 2 b^{4} (n + 2 \frac{n {một}^{2}}{b^{2}}) \\ = = 2 n b^{2} (b^{2} + 2 {một}^{2}) . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= b^4 \cdot \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \Big) \\[6pt]&= b^4 \cdot 2(k+2 \lambda) \\[6pt]&= 2 b^4 \Big( n + 2 \frac{na^2}{b^2} \Big) \\[6pt]&= 2 n b^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$

— Ben - Phục hồi Monica
nguồn

2

Thẻ spoiler là không cần thiết và gây mất tập trung.

— Alexis

3

$X$ $Y$ $\text{N} (a, b^2)$ $\left( \frac{X - a}{b} \right)^2 + \left( \frac{Y - a}{b} \right)^2$ $\chi ^2(2)$

Bạn có nghĩ rằng bạn có thể lấy nó từ đó?

— SOULed_Outt
nguồn

1

Câu trả lời là trong phân phối Chi-squared không trung tâm .

$2(k + 2(a^2))$ $k=2$ $X$ $Y$

— idnavid
nguồn