Phân phối nào để sử dụng để mô hình hóa thời gian trước khi tàu đến?

Tôi đang cố gắng mô hình hóa một số dữ liệu về thời gian tàu đến. Tôi muốn sử dụng một bản phân phối ghi lại "tôi càng chờ lâu, tàu càng có khả năng xuất hiện" . Có vẻ như một bản phân phối như vậy sẽ trông giống như một CDF, sao cho P (tàu xuất hiện | đợi 60 phút) gần bằng 1. Phân phối nào phù hợp để sử dụng ở đây?

Nhân hai xác suất

Xác suất cho lần đến đầu tiên tại thời điểm giữa $t$ và $t+dt$ (thời gian chờ) bằng với phép nhân của

• xác suất đến giữa $t$ và $t+dt$ (có thể liên quan đến tỷ lệ đến $s(t)$ tại thời điểm $t$ )
• và xác suất không đến trước thời điểm $t$ (hoặc nếu không nó sẽ không phải là lần đầu tiên).

Thuật ngữ sau này có liên quan đến:

$$P(n=0,t+dt) = (1-s(t)dt) P(n=0,t)$$

hoặc là

$$\frac{\partial P(n=0,t)}{\partial t} = -s(t) P(n=0,t)$$

cho:

$$P(n=0,t) = e^{\int_0^t-s(t) dt}$$

và phân phối xác suất cho thời gian chờ là:

$$f(t) = s(t)e^{\int_0^t-s(t) dt}$$

Đạo hàm của phân phối tích lũy.

Ngoài ra, bạn có thể sử dụng biểu thức cho xác suất có ít hơn một điều kiện đến mà thời gian là $t$

$$P(n<1|t) = F(n=0;t)$$

và xác suất đến giữa thời gian $t$ và $t+dt$ bằng với đạo hàm

$$f_{\text{arrival time}}(t) = - \frac{d}{d t} F(n=0 \vert t)$$

Cách tiếp cận / phương pháp này là ví dụ hữu ích trong việc tạo ra phân phối gamma như thời gian chờ đợi để đến lần thứ n trong quy trình Poisson. ( chờ đợi thời gian của poisson-process-follow-gamma-phân phối )

---

Hai ví dụ

Bạn có thể liên hệ điều này với nghịch lý chờ đợi ( Vui lòng giải thích nghịch lý chờ đợi ).

• Phân phối mũ: Nếu khách là ngẫu nhiên giống như một quá trình Poisson sau đó $s(t) = \lambda$ là hằng số. Xác suất đến lần tiếp theo là độc lập với thời gian chờ trước đó mà không đến (giả sử, nếu bạn tung xúc xắc công bằng nhiều lần mà không có sáu lần, thì đối với lần quay tiếp theo, bạn sẽ không đột nhiên có xác suất cao hơn trong sáu lần, hãy xem ngụy biện của người đánh bạc ) . Bạn sẽ nhận được sự phân bố theo cấp số nhân, và pdf cho thời gian chờ đợi là:

  $$f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$$

• Phân phối liên tục: Nếu các chuyến đến đang diễn ra với tốc độ không đổi (chẳng hạn như các chuyến tàu đến theo một lịch trình cố định), thì xác suất đến, khi một người đã chờ đợi một thời gian, đang tăng lên. Giả sử một chuyến tàu được yêu cầu đến mỗi $T$ phút sau đó tần suất, sau khi đã chờ $t$ phút là $s(t) = 1/(T-t)$ và pdf cho thời gian chờ sẽ là:

  $$f(t)= \frac{e^{\int_0^t -\frac{1}{T-t} dt}}{T-t} = \frac{1}{T}$$ có ý nghĩa vì mỗi lần từ$0$đến$T$nên có xác suất bằng nhau là lần đến đầu tiên.

---

Vì vậy, đây là trường hợp thứ hai, với "sau đó xác suất đến, khi một người đã chờ đợi một thời gian đang tăng lên" , liên quan đến câu hỏi của bạn.

Nó có thể cần một số điều chỉnh tùy thuộc vào tình huống của bạn. Với nhiều thông tin hơn, xác suất $s(t) dt$ cho một chuyến tàu đến vào một thời điểm nhất định có thể là một chức năng phức tạp hơn.

---

Được viết bởi StackExchangeStrike

Phân phối cổ điển cho thời gian chờ mô hình là phân phối theo cấp số nhân .

Sự phân bố theo cấp số nhân xảy ra một cách tự nhiên khi mô tả độ dài của thời gian đến trong một quá trình Poisson đồng nhất.