"Tự tương quan không gian" có nghĩa là những thứ khác nhau cho nhiều người. Tuy nhiên, một khái niệm bao quát là một hiện tượng được quan sát tại các vị trí có thể phụ thuộc một cách xác định vào (a) hiệp phương sai, (b) vị trí và (c) các giá trị của nó tại các vị trí gần đó . (Trường hợp các định nghĩa kỹ thuật khác nhau nằm ở loại dữ liệu đang được xem xét, "cách xác định" được quy định và "gần đó" nghĩa là gì: tất cả những điều này phải được định lượng để tiến hành.)z
Để xem những gì có thể xảy ra, hãy xem xét một ví dụ đơn giản về mô hình không gian như vậy để mô tả địa hình của một khu vực. Đặt độ cao đo được tại một điểm là y ( z ) . Một mô hình có thể là y phụ thuộc vào một số cách toán học xác định vào tọa độ của z , mà tôi sẽ viết ( z 1 , z 2 ) trong tình huống hai chiều này. Để ε biểu thị độ lệch (độc lập giả định) giữa các quan sát và mô hình (mà như thường lệ được cho là không có kỳ vọng), chúng tôi có thể viếtzy( z )yz( z1, z2)ε
y( Z ) = β0+ β1z1+ β2z2+ Ε ( z )
cho một mô hình xu hướng tuyến tính . Các xu hướng tuyến tính (đại diện bởi các và β 2 hệ số) là một cách để nắm bắt những ý kiến cho rằng giá trị lân cận y ( z ) và y ( z ' ) , cho z gần z ' , nên có xu hướng để được gần gũi với nhau . Chúng ta thậm chí có thể tính toán điều này bằng cách xem xét giá trị dự kiến của kích thước của sự khác biệt giữa y ( z ) và y ( z ′ ) , E [ | yβ1β2y( z )y(z')zz'y( z )y(z′) . Hóa ra toán họcđơn giản hơnnhiềunếu chúng ta sử dụng một thước đo khác biệt hơi khác: thay vào đó, chúng ta tính toán sựkhác biệtbình phươngdự kiến:E[|y(z)−y(z′)|]
E[(y(z)−y(z′))2]=E[(β0+β1z1+β2z2+ε(z)−(β0+β1z′1+β2z′2+ε(z′)))2]=E[(β1(z1−z′1)+β2(z2−z2)′+ε(z)−ε(z′))2]=E[(β1(z1−z′1)+β2(z2−z2)′)2+2(β1(z1−z′1)+β2(z2−z2)′)(ε(z)−ε(z′))+ ( ε ( z ) - ε ( z') )2]= ( β1( z1- z'1) + Β2( z2- z2)')2+ E[ ( Ε ( z ) - ε ( z') )2]
Mô hình này không có bất kỳ sự tự tương quan không gian rõ ràng nào, bởi vì không có thuật ngữ nào trong đó liên quan trực tiếp đến với các giá trị gần đó y ( z ′ ) .y( z )y(z')
Một mô hình thay thế, khác nhau, bỏ qua xu hướng tuyến tính và chỉ cho rằng có sự tự tương quan. Một cách để làm điều đó là thông qua cấu trúc của độ lệch . Chúng tôi có thể đặt ra rằngε ( z )
y( Z ) = β0+ Ε ( z )
và, để giải thích cho sự mong đợi của chúng ta về sự tương quan, chúng tôi sẽ đảm nhận một số loại "cấu trúc hiệp phương sai" cho . Đối với điều này là không gian có ý nghĩa, chúng tôi sẽ giả định hiệp phương sai giữa ε ( z ) và ε ( z ' ) , tương đương với E [ ε ( z ) ε ( z ' ) ] vì ε có không có nghĩa là, có xu hướng giảm như z và z ' ngày càng trở nên xa hơn. Bởi vì các chi tiết không quan trọng, chúng ta hãy chỉ gọi hiệp phương sai này Cεε (z )ε ( z')E[ ε ( z ) ε ( z') ]εzz' . Đây là tự động tương quan không gian. Thật vậy, mối tương quan (thông thường Pearson) giữa y ( z ) và y ( z ′ ) làC(z,z′)y(z)y(z′)
ρ(y(z),y(z′))=C(z,z′)C(z,z)C(z′,z′)−−−−−−−−−−−−√.
Trong ký hiệu này, dự kiến chênh lệch bình phương trước của 's cho mô hình đầu tiên lày
E[(y(z)−y(z′))2]=(β1(z1−z′1)+β2(z2−z2)′)2+E[(ε(z)−ε(z′))2]=(β1(z1−z′1)+β2(z2−z2)′)2+C1(z,z)+C1(z′,z′)
z≠z′εC1C
εyzz′β0β1
y
E[(y(z)−y(z′))2]=E[(β0+ε(z)−(β0+ε(z′)))2]=E[(ε(z)−ε(z′))2]=E[ε(z)2−2ε(z)ε(z′)+ε(z′)2]=C2( z , z ) - 2 C2( z , z') + C2( z', z') .
C2( z , z')zz'y
E[ ( y( z ) - y( z') )2]( β1( z1- z'1) + Β2( z2- z2)')2- 2 C2( z , z')CTôi( z , z )
ε). Trong thực tế, các mô hình kết hợp cả hai phương pháp. Cái nào bạn chọn phụ thuộc vào những gì bạn muốn thực hiện với mô hình và theo quan điểm của bạn về cách thức tự tương quan không gian phát sinh - cho dù nó được ngụ ý bởi các xu hướng cơ bản hoặc phản ánh các biến thể bạn muốn xem xét ngẫu nhiên. Không ai luôn đúng và trong bất kỳ vấn đề nào, thường có thể sử dụng cả hai loại mô hình để phân tích dữ liệu, hiểu hiện tượng và dự đoán giá trị của nó tại các vị trí khác (nội suy).