Phân phối bình thường có hội tụ thành phân phối đồng đều khi độ lệch chuẩn tăng lên vô cùng không?

Phân phối bình thường có hội tụ đến một phân phối nhất định nếu độ lệch chuẩn tăng không giới hạn không? Tôi thấy rằng pdf bắt đầu trông giống như một bản phân phối đồng đều với các giới hạn được đưa ra bởi . Điều này có đúng không?$[-2 \sigma, 2 \sigma]$

Các câu trả lời khác đã có ở đây là một công việc tuyệt vời để giải thích lý do tại sao RV Gaussian không hội tụ với bất cứ điều gì khi phương sai tăng mà không bị ràng buộc, nhưng tôi muốn chỉ ra một thuộc tính dường như thống nhất mà một bộ Gaussian như vậy thỏa mãn mà tôi nghĩ có thể đủ để ai đó đoán rằng họ đang trở nên đồng đều, nhưng điều đó hóa ra không đủ mạnh để kết luận điều đó. $\newcommand{\len}{\text{len}}$

Hãy xem xét một tập hợp các biến ngẫu nhiên trong đó . Đặt là một khoảng cố định có độ dài hữu hạn và đối với một số xác định , tức là là nhưng chỉ được dịch chuyển bởi . Trong khoảng thời gian xác định là độ dài của và lưu ý rằng .X n ~ N ( 0 , n 2 ) Một = [ một 1 , một 2 ] c ∈ R B = A + c B Một c tôi = [ i 1 , i 2 ] len ( I ) = i 2 - i 1 I len $\{X_1,X_2,\dots\}$$X_n \sim \mathcal N(0, n^2)$$A = [a_1,a_2]$$c \in \mathbb R$$B = A +c$$B$$A$$c$$I = [i_1,i_2]$$\len (I) = i_2-i_1$$I$$\len(A) = \len(B)$

Bây giờ tôi sẽ chứng minh kết quả sau:

Kết quả : là .n → $\vert P(X_n \in A) - P(x_n\in B)\vert \to 0$$n \to \infty$

Tôi gọi nó giống như đồng phục vì nó nói rằng phân phối ngày càng có hai khoảng cố định có độ dài bằng nhau có xác suất bằng nhau, bất kể chúng có thể cách nhau bao xa. Đó chắc chắn là một tính năng rất thống nhất, nhưng như chúng ta sẽ thấy điều này không nói lên điều gì về sự phân phối thực tế của hội tụ thành một tính năng thống nhất.X $X_n$$X_n$

Pf: lưu ý rằng trong đó nên Tôi có thể sử dụng giới hạn (rất thô) mà để nhận X $X_n = n X_1$P ( X n ∈ A ) = P ( một 1 ≤ n X 1 ≤ một 2 ) = P ( một $X_1 \sim \mathcal N(0, 1)$=

$$P(X_n \in A) = P(a_1 \leq n X_1 \leq a_2) = P\left(\frac{a_1}{n} \leq X_1 \leq \frac{a_2}n\right)$$ e - x 2 / 2 ≤ 1 $$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} e^{-x^2/2}\,\text dx.$$ $e^{-x^2/2} \leq 1$= len ( A $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} e^{-x^2/2}\,\text dx \leq \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} 1\,\text dx$$ $$= \frac{\text{len}(A)}{n\sqrt{2\pi}}.$$

Tôi có thể làm điều tương tự để có được P ( X n ∈ B ) ≤ len ( B $B$

$$P(X_n \in B) \leq \frac{\text{len}(B)}{n\sqrt{2\pi}}.$$

Đặt những thứ này lại với nhau tôi có là (Tôi đang sử dụng bất đẳng thức tam giác ở đây).n→

$$\left\vert P(X_n \in A) - P(X_n \in B)\right\vert \leq \frac{\sqrt 2 \text{len}(A) }{n\sqrt{\pi}} \to 0$$ $n\to\infty$

$\square$

Điều này khác với hội tụ trên một bản phân phối thống nhất như thế nào? Tôi chỉ chứng minh rằng các xác suất được đưa ra cho bất kỳ hai khoảng thời gian cố định có cùng độ dài hữu hạn càng ngày càng gần hơn, và theo trực giác có nghĩa là mật độ đang "làm phẳng" từ quan điểm của và A $X_n$$A$$B$

Nhưng để hội tụ phân phối đồng đều, tôi cần hướng tới tỷ lệ thuận với cho bất kỳ khoảng và đó là một điều rất khác bởi vì điều này cần áp dụng cho bất kỳ nào , không chỉ một lần cố định trước (và như đã đề cập ở nơi khác, điều này thậm chí còn không thể thực hiện được đối với phân phối có hỗ trợ không giới hạn). P ( X n ∈ I ) len ( tôi ) Tôi $X_n$$P(X_n \in I)$$\text{len}(I)$$I$$I$

Một lỗi phổ biến trong xác suất là nghĩ rằng phân phối là đồng nhất vì nó trông phẳng khi nhìn thấy tất cả các giá trị của nó gần bằng không. Điều này là do chúng ta có xu hướng thấy rằng và , tức là một khoảng nhỏ xung quanh gấp 1000 lần có khả năng hơn một khoảng nhỏ xung quanh .$f(x)=0.001 \approx 0.000001=f(y)$$f(x)/f(y)=0.001/0.000001=1000$$x$$y$

Nó chắc chắn không đồng nhất trên toàn bộ dòng thực trong giới hạn, vì không có phân phối đồng đều trên . Nó thậm chí còn không đồng đều trên .$(-\infty,\infty)$$[-2\sigma,2\sigma]$

Bạn có thể thấy cái sau từ quy tắc 68-95-99.7 mà bạn dường như đã quen thuộc. Nếu nó gần như đồng đều trên , thì xác suất ở và sẽ giống nhau, vì hai khoảng này là như nhau chiều dài. Nhưng đây không phải là trường hợp: , nhưng .$[-2\sigma,2\sigma]$$[0,\sigma]$$[\sigma,2\sigma]$$P([0,\sigma])\approx 0.68/2= 0.34$$P([\sigma,2\sigma])\approx (0.95-0.68)/2 = 0.135$

Khi được xem trên toàn bộ dòng thực, chuỗi phân phối bình thường này không hội tụ với bất kỳ phân phối xác suất nào. Có một vài cách để thấy điều này. Ví dụ: cdf của một bình thường có độ lệch chuẩn là và cho tất cả , không phải là cdf của bất kỳ biến ngẫu nhiên nào . Trên thực tế, đó hoàn toàn không phải là một cdf.$\sigma$lim σ → ∞ Fσ(x)=1/2$F_\sigma(x) = (1/2)(1+\mbox{erf}(x/\sqrt{2}\sigma)$$\lim_{\sigma\rightarrow\infty} F_\sigma(x) = 1/2$$x$

Lý do cho sự không hội tụ này có nghĩa là "mất khối lượng" là giới hạn. Hàm giới hạn của phân phối bình thường đã thực sự "mất" xác suất (nghĩa là nó đã thoát đến vô cùng). Điều này có liên quan đến khái niệm độ chặt của các biện pháp , đưa ra các điều kiện cần thiết để một chuỗi các biến ngẫu nhiên hội tụ đến một biến ngẫu nhiên khác.

Tuyên bố của bạn pdf bắt đầu trông giống như một phân phối đồng đều với các giới hạn được đưa ra bởi$[−2σ,2σ]$ là không chính xác nếu bạn điều chỉnh để phù hợp với độ lệch chuẩn rộng hơn.$\sigma$

Hãy xem xét biểu đồ này về hai mật độ bình thường tập trung vào số không. Đường cong màu đỏ tương ứng với độ lệch chuẩn là và đường cong màu xanh với độ lệch chuẩn là và thực tế là đường cong màu xanh gần như phẳng trên$1$$10$$[-2,2]$

nhưng đối với đường cong màu xanh với , chúng ta thực sự nên nhìn vào hình dạng của nó trên . Thay đổi kích thước cả -axis và -axis theo hệ số cho âm mưu tiếp theo này và bạn có được hình dạng chính xác cho mật độ màu xanh trong âm mưu sau này như mật độ màu đỏ trong âm mưu trước đó [ - 20 , 20 ] x y $\sigma=10$$[-20,20]$$x$$y$$10$

Câu hỏi của bạn về cơ bản là thiếu sót. Các phân phối chuẩn chuẩn được thu nhỏ để . Vì vậy, đối với một số phân phối Gaussian khác ( ) thì đường cong giữa các giới hạn có hình dạng giống như phân phối chuẩn thông thường. Sự khác biệt duy nhất là hệ số tỷ lệ. Vì vậy, nếu bạn bán lại Gaussian bằng cách chia cho , thì bạn kết thúc với phân phối chuẩn thông thường.μ = 0 , σ = σ * [ - 2 σ * , 2 σ * ] σ $\sigma = 1$$\mu = 0, \sigma = \sigma^*$$[-2\sigma^*, 2\sigma^*]$$\sigma^*$

Bây giờ nếu bạn có phân phối Gaussian ( ) thì có như , vùng giữa sẽ ngày càng phẳng hơn.σ ∗ → ∞ [ - 2 , 2 $\mu = 0, \sigma = \sigma^*$$\sigma^* \rightarrow \infty$$[-2, 2]$