Mật độ trước không chính xác trên bình thường

Phân tích dữ liệu Bayes (trang 64) cho biết, liên quan đến một mô hình bình thường :

mật độ trước mơ hồ hợp lý cho và , giả sử sự độc lập trước của các tham số vị trí và tỷ lệ, là thống nhất trên hoặc tương đương,$\mu$$\sigma$$(\mu, \log \sigma)$

$$p(\mu, \sigma^2) \propto (\sigma^2)^{-1}.$$

Tại sao đồng nhất trên tương đương với ?$p(\mu, \log \sigma)$$p(\mu, \sigma^2) \propto (\sigma^2)^{-1}$

Tại sao đó là một "hợp lý" trước?

Đặt để bạn có biến đổi nghịch đảo . Bây giờ chúng tôi áp dụng quy tắc chuẩn cho các phép biến đổi của các biến ngẫu nhiên để có được:$\phi = \log (\sigma) = \tfrac{1}{2} \log (\sigma^2)$$\sigma^2 = \exp (2\phi)$

$$p(\sigma^2) = p(\phi) \cdot \Bigg| \frac{d \phi}{d\sigma^2} \Bigg| \propto 1 \cdot \frac{1}{2\sigma^2} \propto (\sigma^2)^{-1}.$$

Vì các tham số là độc lập trước đó, nên chúng tôi có:

$$p(\mu, \sigma^2) = p(\mu) p(\sigma^2) \propto (\sigma^2)^{-1}.$$

Điều này đưa ra các hình thức đã nêu cho mật độ trước không phù hợp. Đối với lý do tại sao điều này trước là hợp lý, có một số con đường kháng cáo. Lý do đơn giản nhất là chúng tôi muốn lấy và để thống nhất để thể hiện "sự thiếu hiểu biết" về các tham số này. Lấy logarit của phương sai là một phép biến đổi đảm bảo rằng niềm tin của chúng ta về tham số đó là bất biến tỷ lệ . .$\mu$$\log \sigma$

Đối với đạo hàm trên, chúng tôi đã sử dụng đồng phục không phù hợp trước thông số phương sai log. Có thể nhận được kết quả tương tự theo nghĩa hạn chế, bằng cách sử dụng mức ưu tiên thích hợp cho thang đo log có xu hướng đồng nhất và tìm ra mức phù hợp trước cho phương sai tương ứng với điều này, và sau đó lấy giới hạn để có được hiện tại phương sai không đúng trước. Đây thực sự chỉ là một sự phản ánh của thực tế rằng các linh mục không phù hợp thường có thể được hiểu là giới hạn của các linh mục thích hợp.

Có nhiều cách biện minh có thể khác cho sự không phù hợp này trước đó, và những lời kêu gọi này đối với lý thuyết đại diện cho "sự thiếu hiểu biết" trước đó. Có một tài liệu lớn về chủ đề này, nhưng một cuộc thảo luận ngắn hơn có thể được tìm thấy trong Irony và Singpurwalla (1997) (thảo luận với Jose Bernardo) nói về các phương pháp khác nhau mà chúng ta cố gắng đại diện cho "sự thiếu hiểu biết". Phiên bản không phù hợp trước khi bạn xử lý ở đây là phiên bản giới hạn của liên hợp trước cho mô hình bình thường, với phương sai trước cho mỗi tham số được đưa đến vô cùng.