Tạo các số ngẫu nhiên bình thường phụ thuộc phân phối giống hệt nhau với tổng được chỉ định trước

Làm thế nào để tôi tạo ra $n$ phân phối chính xác nhưng không độc lập các số ngẫu nhiên bình thường độc lập sao cho tổng của chúng nằm trong một khoảng định trước $[a,b]$ với xác suất $p$?

(Câu hỏi này được thúc đẩy bằng cách tạo ra một bước đi ngẫu nhiên kết thúc tại một điểm được chỉ định trước: Quá trình ngẫu nhiên không quá ngẫu nhiên sau tất cả (xác định) . Vì một biến ngẫu nhiên liên tục không có xác suất đạt được một con số chính xác, chúng tôi thực hiện điều tốt nhất thứ hai và yêu cầu toàn bộ khoảng thời gian để kết thúc.)

---

EDIT: Việc tạo các mẫu từ phân phối Gaussian số ít đã được đề xuất như một bản sao, lần lượt được đóng lại như một bản sao của Tạo các số ngẫu nhiên phân phối thông thường với ma trận hiệp phương sai không xác định . Tôi đồng ý rằng cả hai điều này đều hữu ích. Tuy nhiên, điểm quan trọng của câu hỏi hiện tại (cụ thể hơn là câu trả lời) là trước tiên chúng ta có thể sử dụng phân phối chuẩn nhiều biến số để giải quyết câu hỏi và thứ hai, loại ma trận hiệp phương sai nào hoạt động. Làm thế nào để lấy mẫu từ một phân phối với hiệp phương sai đó là bước thứ ba, trong đó các luồng được liên kết là hữu ích.

Chúng tôi sẽ tạo ra các quy tắc đa biến $X\sim MN(\mu, \Sigma)$ với $\mu\in\mathbb{R}^n$ và $\Sigma\in\mathbb{R}^{n\times n}$sao cho tổng của chúng thỏa mãn điều kiện của chúng ta Để cho$Z=X_1 + \dots + X_n$.

Như một phương tiện phổ biến, chúng tôi chọn

$$\mu_1 = \dots = \mu_n = \frac{a+b}{2n}.$$

Để $Z\in[a,b]$ với xác suất $p$, độ lệch chuẩn của nó sẽ đáp ứng

$$\sigma_Z = \frac{b-a}{q_\alpha},$$

Ở đâu $q_\alpha$ là lượng tử chuẩn thông thường đến mức $\alpha$, đây $\alpha=1-\frac{1-p}{2}$.

Bây giờ chúng ta cần chỉ định $\Sigma$. Chúng tôi có rất nhiều thời gian ở đây. Chúng ta hãy giả sử rằng chúng ta muốn mỗi$X_i$phương sai của $\sigma^2$ và hiệp phương sai $\text{cov}(X_i,X_j)=\tau$ cho $i\neq j$. Chìa khóa để tạo ra một "tốt"$\Sigma$đây là câu trả lời trước bởi xác suất . Nó mang lại rằng tổng của chúng tôi$X_i$s có phương sai

$$n\sigma^2 + n(n-1)\tau$$

vì vậy chúng tôi cần điều đó

$$n\sigma^2 + n(n-1)\tau = \frac{b-a}{q_\alpha}.$$

Chúng ta cũng cần đảm bảo rằng $\Sigma$là xác định tích cực, nhưng điều này không quá khó. Cách dễ nhất để làm điều này là đảm bảo rằng tất cả các mục trong$\Sigma$ là tích cực, ví dụ, bằng cách thiết lập

$$\sigma^2 := \frac{\sigma_Z^2}{2n}, \quad \tau := \frac{\sigma_Z^2}{2n(n-1)},$$

nhưng điều này mang lại những giá trị rất nhỏ và những khoản tiền và quỹ đạo tích lũy rất nhàm chán:

Ít nhàm chán hơn là thiết lập

$$\sigma^2 := 1, \quad \tau := \frac{1}{n-1}\big(\frac{\sigma_Z^2}{n}-\sigma^2\big),$$

mang lại quỹ đạo thú vị hơn nhiều:

Lưu ý rằng cài đặt này thực sự mang lại một ma trận hiệp phương sai hợp lệ, bởi vì $\Sigma$ sau đó là của hình thức $\Sigma_{ij} = m(i-j)$, cụ thể là

$$m(0) = \sigma^2, \quad m(j) = \tau\text{ for }j>0,$$

và chúng ta có điều đó

$$\sum_{j>0} |m(j)| = (n-1)|\tau| = \big|\frac{\sigma_Z^2}{n}-\sigma^2\big| = \big|\frac{\sigma_Z^2}{n}-1\big| < 1 = \sigma^2 = m(0),$$

đó là một điều kiện đủ cho $\Sigma$được hoàn toàn tích cực xác định bởi Wikipedia (Điểm 7 trong phần "Thuộc tính xa hơn" ).

Mã R bên dưới, nhưng trước tiên, vui lòng đi và nâng cao câu trả lời của xác suất .

n_steps <- 1000
target_min <- 1.99
target_max <- 2.01
target_prob <- 0.99

target_mean <- mean(c(target_min,target_max))
target_sd <- (target_max-target_mean)/qnorm(p=1-(1-target_prob)/2)

mm <- rep(target_mean/n_steps,n_steps)

# boring setting:
# sigma_sq <- target_sd^2/(2*n_steps)
# tau <- target_sd^2/(2*n_steps*(n_steps-1))

sigma_sq <- 1
tau <- (target_sd^2/n_steps-sigma_sq)/(n_steps-1)

CC <- matrix(tau,nrow=n_steps,ncol=n_steps)
diag(CC) <- sigma_sq

library(MASS)
foo <- mvrnorm(1,mu=mm,Sigma=CC)
sum(foo)

plot(cumsum(foo),type="l",xlab="",ylab="")
abline(h=target_mean,lty=2)