Tại sao phân phối Cauchy không có ý nghĩa?

Từ hàm mật độ phân phối, chúng tôi có thể xác định giá trị trung bình (= 0) cho phân phối Cauchy giống như biểu đồ bên dưới hiển thị. Nhưng tại sao chúng ta nói phân phối Cauchy không có nghĩa?

Bạn có thể kiểm tra một cách máy móc rằng giá trị mong đợi không tồn tại, nhưng điều này nên trực quan về mặt vật lý, ít nhất là nếu bạn chấp nhận nguyên tắc của Huygens và Luật số lớn . Kết luận của Luật số lượng lớn không thành công đối với phân phối Cauchy, vì vậy nó không có nghĩa. Nếu bạn tính trung bình biến ngẫu nhiên Cauchy độc lập, kết quả không hội tụ về dưới dạng với xác suất . Nó vẫn là một phân phối Cauchy có cùng kích thước. Điều này rất quan trọng trong quang học.0 n → ∞ $n$$0$$n\to \infty$$1$

Phân bố Cauchy là cường độ ánh sáng chuẩn hóa trên một đường từ một nguồn điểm. Nguyên lý của Huygens nói rằng bạn có thể xác định cường độ bằng cách giả sử rằng ánh sáng được phát lại từ bất kỳ đường nào giữa nguồn và mục tiêu. Vì vậy, cường độ ánh sáng trên một vạch cách xa mét có thể được xác định bằng cách giả sử rằng ánh sáng đầu tiên chiếu vào một vạch cách xa mét và được phát lại ở bất kỳ góc phía trước nào. Cường độ ánh sáng trên một vạch cách xa mét có thể được biểu thị bằng tích chập của phân bố ánh sáng trên một vạch cách xa mét. Đó là, tổng của phân phối Cauchy độc lập là một phân phối Cauchy được chia tỷ lệ theo hệ số .1 n n 1 n $2$$1$$n$$n$$1$$n$$n$

Nếu phân phối Cauchy đã có một ý nghĩa, thì ngày phần trăm của chập -fold chia cho sẽ phải hội tụ về bởi Luật số lớn. Thay vào đó nó không đổi. Nếu bạn đánh dấu phần trăm thứ trên một đường (trong suốt) cách mét, mét, v.v. thì những điểm này tạo thành một đường thẳng, ở độ. Họ không cúi về .n n 0 25 1 2 45 $25$$n$$n$$0$$25$$1$$2$$45$$0$

Điều này cho bạn biết cụ thể về phân phối Cauchy, nhưng bạn nên biết kiểm tra tích phân vì có các phân phối khác không có nghĩa là không có giải thích vật lý rõ ràng.

Câu trả lời được thêm vào để trả lời bình luận của @ whuber về câu trả lời của Michael Chernicks (và được viết lại hoàn toàn để xóa lỗi được chỉ ra bởi whuber.)

Giá trị của tích phân cho giá trị mong đợi của biến ngẫu nhiên Cauchy được cho là không xác định vì giá trị có thể được "tạo ra" là bất cứ thứ gì người ta thích. Tích phân (được hiểu theo nghĩa của tích phân Riemann) là cái thường được gọi là một tích phân không chính xác và giá trị của nó phải được tính là giá trị giới hạn: hoặc

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx$$ $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx = \lim_{T_1\to-\infty}\lim_{T_2\to+\infty} \int_{T_1}^{T_2} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx$$ $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx = \lim_{T_2\to+\infty}\lim_{T_1\to-\infty} \int_{T_1}^{T_2} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx$$ và hoặc tất nhiên, cả hai đánh giá sẽ cho cùng một giá trị hữu hạn. Nếu không, tích phân được cho là không xác định. Điều này ngay lập tức cho thấy tại sao giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên Cauchy được cho là không xác định: giá trị giới hạn trong các phân kỳ giới hạn bên trong.

Giá trị gốc Cauchy thu được dưới dạng một giới hạn: thay vì giới hạn kép ở trên. Giá trị chính của tích phân kỳ vọng có thể dễ dàng nhìn thấy là kể từ khi limitand có giá trị cho tất cả . Nhưng điều này không thể được sử dụng để nói rằng giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên Cauchy là . Nghĩa là, giá trị trung bình được định nghĩa là giá trị của tích phân theo nghĩa thông thường và không phải theo nghĩa giá trị chính.

$$\lim_{T\to\infty} \int_{-T}^{T} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx$$ $0$$0$$T$$0$

Thay vào đó, đối với , hãy xem xét tích phân tiếp cận giá trị giới hạn của là . Khi , chúng tôi nhận được giá trị chính đã thảo luận ở trên. Vì vậy, chúng ta không thể gán một ý nghĩa rõ ràng cho biểu thức$\alpha > 0$

$$\begin{align} \int_{-T}^{\alpha T} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx &= \int_{-T}^{T} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx + \int_{T}^{\alpha T} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx\\ &= 0 + \left.\frac{\ln(1+x^2)}{2\pi}\right|_T^{\alpha T}\\ &= \frac{1}{2\pi}\ln\left(\frac{1+\alpha^2T^2}{1+T^2}\right)\\ &= \frac{1}{2\pi}\ln\left(\frac{\alpha^2+T^{-2}}{1+T^{-2}}\right) \end{align}$$ $\displaystyle \frac{\ln(\alpha)}{\pi}$$T\to\infty$$\alpha = 1$$0$
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx$$ mà không chỉ định cách tiếp cận hai điểm này và bỏ qua điểm này dẫn đến tất cả các loại phức tạp và kết quả không chính xác bởi vì mọi thứ không phải lúc nào cũng giống như khi sữa có giá trị chính giả dạng kem giá trị. Đây là lý do tại sao giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên Cauchy được cho là không xác định thay vì có giá trị , giá trị chính của tích phân.$0$

---

Nếu một người đang sử dụng phương pháp lý thuyết đo lường để xác suất và tích phân giá trị dự kiến ​​được xác định theo nghĩa của tích phân Lebesgue, thì vấn đề sẽ đơn giản hơn. chỉ tồn tại khi là hữu hạn và do đó không được xác định cho biến ngẫu nhiên Cauchy vì không hữu hạn.$\int g$$\int |g|$$E[X]$$X$$E[|X|]$

Mặc dù các câu trả lời ở trên là giải thích hợp lệ về lý do tại sao phân phối Cauchy không có kỳ vọng, tôi thấy thực tế là tỷ lệ của hai biến thể độc lập là Cauchy giống như chiếu sáng: thực sự, chúng tôi có và kỳ vọng thứ hai là .$X_1/X_2$$\mathcal{N}(0,1)$

$$\mathbb{E}\left[ \frac{|X_1|}{|X_2|} \right] = \mathbb{E}\left[ |X_1| \right] \times \mathbb{E}\left[ \frac{1}{|X_2|} \right]$$ $+\infty$

Cauchy không có nghĩa vì điểm bạn chọn (0) không phải là trung bình. Nó là một trung vị và một chế độ . Giá trị trung bình của phân phối hoàn toàn liên tục được xác định là trong đó là hàm mật độ và tích phân được lấy trên miền của (nghĩa là to trong trường hợp của Cauchy). Đối với mật độ Cauchy, tích phân này đơn giản là không hữu hạn (một nửa từ đến là và một nửa từ đến là ).$\int x f(x) dx$$f$$f$$-\infty$$\infty$$-\infty$$0$$-\infty$$0$$\infty$$\infty$

Phân phối Cauchy được coi là phân phối đồng đều trên một vòng tròn đơn vị, vì vậy sẽ rất ngạc nhiên nếu tính trung bình có ý nghĩa. Giả sử là một loại "hàm trung bình". Nghĩa là, với mỗi tập con hữu hạn của vòng tròn đơn vị, là một điểm của vòng tròn đơn vị. Rõ ràng, phải "không tự nhiên". Chính xác hơn là không thể tương đương với các phép quay. Để có được phân phối Cauchy theo cách thông thường hơn, nhưng ít lộ liễu hơn, hãy chiếu vòng tròn đơn vị lên trục x từ (0,1) và sử dụng phép chiếu này để chuyển phân phối đồng đều trên vòng tròn sang trục x.$f$$X$$f(X)$$f$$f$

Để hiểu tại sao giá trị trung bình không tồn tại, hãy nghĩ x là một hàm trên vòng tròn đơn vị. Khá dễ dàng để tìm thấy vô số cung tròn khác nhau trên vòng tròn đơn vị, như vậy, nếu một trong các cung có độ dài d, thì x> 1 / 4d trên cung đó. Vì vậy, mỗi cung tròn này đóng góp nhiều hơn 1/4 cho giá trị trung bình và tổng đóng góp từ các cung này là vô hạn. Chúng ta có thể làm lại điều tương tự, nhưng với x <-1 / 4d, với tổng đóng góp trừ đi vô cùng. Các khoảng này có thể được hiển thị với một sơ đồ, nhưng người ta có thể tạo sơ đồ cho Xác thực chéo không?

Giá trị trung bình hoặc giá trị kỳ vọng của một số biến ngẫu nhiên là tích phân Lebesgue được xác định theo một số đo xác suất : P E X = ∫ X d $X$$P$

$$EX=\int XdP$$

Sự không tồn tại của giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên Cauchy chỉ có nghĩa là tích phân của Cauchy rv không tồn tại. Điều này là do các đuôi phân phối Cauchy là các đuôi nặng (so với các đuôi phân phối bình thường). Tuy nhiên, không tồn tại giá trị mong đợi không cấm sự tồn tại của các chức năng khác của biến ngẫu nhiên Cauchy.

Đây là nhiều hơn một lời giải thích trực quan. (Đối với những người trong chúng ta bị thách thức toán học.). Lấy một bộ tạo số ngẫu nhiên phân tán và thử trung bình các giá trị kết quả. Đây là một trang tốt về một chức năng cho việc này. https://math.stackexchange.com/questions/484395/how-to-generate-a-cauchy-random-variable Bạn sẽ thấy rằng "độ nhọn" của các giá trị ngẫu nhiên khiến nó lớn hơn khi bạn đi thay vì nhỏ hơn . Do đó nó không có nghĩa.

Chỉ cần thêm vào các câu trả lời xuất sắc, tôi sẽ đưa ra một số nhận xét về lý do tại sao sự không phù hợp của tích phân có liên quan đến thực tiễn thống kê. Như những người khác đã đề cập, nếu chúng tôi cho phép giá trị gốc là "trung bình" thì slln sẽ không còn giá trị nữa! Ngoài ra, hãy nghĩ về ý nghĩa của thực tế rằng, trong thực tế, tất cả các mô hình là gần đúng. Cụ thể, phân phối Cauchy là một mô hình cho một biến ngẫu nhiên không giới hạn. Trong thực tế, các biến ngẫu nhiên bị giới hạn, nhưng giới hạn thường mơ hồ và không chắc chắn. Sử dụng các mô hình không bị ràng buộc là cách để giảm bớt điều đó, nó làm cho việc đưa các giới hạn không chắc chắn (và thường không tự nhiên) vào các mô hình không cần thiết. Nhưng để điều này có ý nghĩa, các khía cạnh quan trọng của vấn đề không nên bị ảnh hưởng. Điều đó có nghĩa là, nếu chúng tôi giới thiệu giới hạn, điều đó không nên thay đổi theo những cách quan trọng của mô hình. Nhưng khi tích phân là không hợp lệ thì điều đó không xảy ra! Mô hình không ổn định, theo nghĩa là kỳ vọng của RV sẽ phụ thuộc vào giới hạn phần lớn tùy ý. (Trong các ứng dụng, không nhất thiết phải có bất kỳ lý do nào để làm cho giới hạn đối xứng!)

Vì lý do này, tốt hơn là nói tích phân là khác nhau hơn là nói nó là "vô hạn", cuối cùng gần với ngụ ý một số giá trị xác định khi không tồn tại! Một cuộc thảo luận kỹ lưỡng hơn ở đây .

Tôi muốn có một chút kén chọn trong một giây. Đồ họa ở trên cùng là sai. Trục x nằm trong độ lệch chuẩn, một cái gì đó không tồn tại cho phân phối Cauchy. Tôi rất kén chọn vì tôi sử dụng bản phân phối Cauchy mỗi ngày trong cuộc sống của tôi trong công việc. Có một trường hợp thực tế trong đó sự nhầm lẫn có thể gây ra một lỗi thực nghiệm. Phân phối t của sinh viên với 1 bậc tự do là Cauchy tiêu chuẩn. Nó thường sẽ liệt kê các sigmas khác nhau cần thiết cho tầm quan trọng. Các sigmas này KHÔNG phải là độ lệch chuẩn, chúng là các lỗi có thể xảy ra và mu là chế độ.

Nếu bạn muốn thực hiện đồ họa ở trên một cách chính xác, trục x là dữ liệu thô hoặc nếu bạn muốn chúng có các lỗi có kích thước tương đương, thì bạn sẽ cung cấp cho chúng các lỗi có thể xảy ra bằng nhau. Một lỗi có thể xảy ra là 0,67 độ lệch chuẩn về kích thước trên phân phối chuẩn. Trong cả hai trường hợp, đó là phạm vi bán xen kẽ.

Bây giờ như một câu trả lời cho câu hỏi của bạn, mọi thứ mà mọi người viết ở trên đều đúng và đó là lý do toán học cho việc này. Tuy nhiên, tôi nghi ngờ bạn là một sinh viên và chưa quen với chủ đề này và vì vậy các giải pháp toán học phản trực giác đối với hiển thị rõ ràng có thể không đúng.

Tôi có hai mẫu thế giới thực gần như giống hệt nhau, được rút ra từ một bản phân phối Cauchy, cả hai đều có cùng chế độ và cùng một lỗi có thể xảy ra. Một có trung bình là 1,27 và một có trung bình là 1,33. Loại có giá trị trung bình là 1,27 có độ lệch chuẩn là 400, loại có giá trị trung bình là 1,33 có độ lệch chuẩn là 5,15. Lỗi có thể xảy ra cho cả hai là .32 và chế độ là 1. Điều này có nghĩa là đối với dữ liệu đối xứng, giá trị trung bình không nằm ở trung tâm 50%. Chỉ cần MỘT quan sát bổ sung để đẩy giá trị trung bình và / hoặc phương sai bên ngoài cho bất kỳ thử nghiệm nào. Lý do là giá trị trung bình và phương sai không phải là tham số và giá trị trung bình mẫu và phương sai mẫu là các số ngẫu nhiên.

Câu trả lời đơn giản nhất là các tham số của phân phối Cauchy không bao gồm giá trị trung bình và do đó không có phương sai về giá trị trung bình.

Có khả năng trong quá khứ sư phạm của bạn, tầm quan trọng của giá trị trung bình là ở chỗ nó thường là một thống kê đầy đủ. Trong các thống kê dựa trên tần suất dài hạn, phân phối Cauchy không có đủ số liệu thống kê. Đúng là trung bình mẫu, đối với phân phối Cauchy với sự hỗ trợ trên toàn bộ thực tế, là một thống kê đầy đủ, nhưng đó là bởi vì nó thừa hưởng nó từ một thống kê đơn hàng. Đó là một sự trùng hợp ngẫu nhiên, thiếu một cách dễ dàng để suy nghĩ về nó. Bây giờ trong thống kê Bayes có một số liệu thống kê đầy đủ cho các tham số của phân phối Cauchy và nếu bạn sử dụng đồng phục trước đó thì nó cũng không thiên vị. Tôi đưa ra điều này bởi vì nếu bạn phải sử dụng chúng hàng ngày, bạn đã học về mọi cách để thực hiện ước tính về chúng.

Không có số liệu thống kê đơn hàng hợp lệ nào có thể được sử dụng làm công cụ ước tính cho các bản phân phối Cauchy bị cắt ngắn, đó là những gì bạn có khả năng gặp phải trong thế giới thực, và do đó không có thống kê đầy đủ về phương pháp dựa trên tần số cho hầu hết các ứng dụng trong thế giới thực .

Những gì tôi đề nghị là bước ra khỏi ý nghĩa, về mặt tinh thần, như là một cái gì đó thực sự. Nó là một công cụ, giống như một cái búa, rất hữu ích và thường có thể được sử dụng. Đôi khi công cụ đó không hoạt động.

Một lưu ý toán học trên các bản phân phối bình thường và Cauchy. Khi dữ liệu được nhận dưới dạng chuỗi thời gian, thì phân phối bình thường chỉ xảy ra khi lỗi hội tụ về 0 khi t chuyển sang vô cùng. Khi dữ liệu được nhận dưới dạng chuỗi thời gian, thì phân phối Cauchy xảy ra khi các lỗi phân kỳ thành vô cùng. Một là do một chuỗi hội tụ, hai là do một chuỗi khác nhau. Các bản phân phối Cauchy không bao giờ đến một điểm cụ thể ở giới hạn, chúng xoay qua lại một điểm cố định sao cho năm mươi phần trăm thời gian chúng ở một bên và năm mươi phần trăm thời gian ở bên kia. Không có sự đảo ngược trung vị.

Nói một cách đơn giản, khu vực dưới đường cong tiếp cận vô cùng khi bạn thu nhỏ. Nếu bạn lấy mẫu một vùng hữu hạn, bạn có thể tìm thấy giá trị trung bình của vùng đó. Tuy nhiên, không có nghĩa là vô cùng.