Một ước tính không thiên vị của trung vị

Giả sử chúng ta có một biến ngẫu nhiên được hỗ trợ trên từ đó chúng ta có thể vẽ mẫu. Làm thế nào chúng ta có thể đưa ra một ước tính không thiên vị về trung vị của ?[ 0 , 1 ] $X$$[0,1]$$X$

Tất nhiên chúng ta có thể tạo ra một số mẫu và lấy trung bình mẫu, nhưng tôi hiểu điều này nói chung sẽ không thiên vị.

Lưu ý: câu hỏi này có liên quan, nhưng không giống với câu hỏi cuối cùng của tôi , trong trường hợp chỉ có thể được lấy mẫu xấp xỉ.$X$

Một công cụ ước tính như vậy không tồn tại.

Trực giác là trung vị có thể cố định trong khi chúng ta tự do thay đổi mật độ xác suất xung quanh cả hai mặt của nó, do đó, bất kỳ công cụ ước tính nào có giá trị trung bình là một trung bình cho một phân phối sẽ có trung bình khác nhau cho phân phối bị thay đổi, làm cho nó bị sai lệch. Giải trình sau đây cung cấp một chút nghiêm ngặt hơn cho trực giác này.

Chúng tôi tập trung vào các bản phân phối có trung vị duy nhất , do đó theo định nghĩa và cho tất cả . Khắc phục kích thước mẫu và giả sử rằng ước tính . (Nó sẽ đủ mà chỉ được bao bọc, nhưng thông thường người ta không xem xét nghiêm túc ước lượng sản xuất rõ ràng là giá trị không thể.) Chúng tôi làm không giả định về ; nó thậm chí không phải liên tục ở bất cứ đâu.m F ( m ) ≥ 1 / 2 F ( x ) < 1 / 2 x < m n ≥ 1 t : [ 0 , 1 ] n → [ 0 , 1 ] m t $F$$m$$F(m) \ge 1/2$$F(x) \lt 1/2$$x \lt m$$n \ge 1$$t: [0,1]^n \to [0,1]$$m$$t$$t$

Ý nghĩa của là thiên (đối với cỡ mẫu cố định này) là$t$

cho bất kỳ mẫu iid với . Một "ước lượng không thiên vị" là một với khách sạn này cho tất cả các ví dụ .t $X_i \sim F$$t$$F$

Giả sử tồn tại một ước lượng không thiên vị. Chúng tôi sẽ rút ra một mâu thuẫn bằng cách áp dụng nó vào một bộ phân phối đặc biệt đơn giản. Xem xét các bản phân phối có các thuộc tính này:$F = F_{x,y,m, \varepsilon}$

1. $0 \le x \lt y \le 1$ ;

2. $0 \lt \varepsilon \lt (y-x)/4$ ;

3. $x + \varepsilon \lt m \lt y - \varepsilon$ ;

4. $\Pr(X = x) = \Pr(X = y) = (1-\varepsilon)/2$ ;

5. $\Pr(m-\varepsilon \le X \le m+\varepsilon) = \varepsilon$ ; và

6. [ m - ε , m + ε $F$ là đồng nhất trên .$[m-\varepsilon, m+\varepsilon]$

Các phân phối này đặt xác suất tại mỗi và và một lượng nhỏ xác suất được đặt đối xứng quanh giữa và . Làm cho này trung bình độc đáo của . (Nếu bạn lo ngại rằng đây không phải là phân phối liên tục, thì hãy kết hợp nó với một Gaussian rất hẹp và cắt kết quả thành : đối số sẽ không thay đổi.)x y m x y m F [ 0 , 1 $(1-\varepsilon)/2$$x$$y$$m$$x$$y$$m$$F$$[0,1]$

Bây giờ, đối với bất kỳ giả định trung bình ước lượng , ước tính các chương trình dễ dàng mà là đúng phạm mức trung bình của giá trị trong đó thay đổi trên tất cả các kết hợp có thể có của và . Tuy nhiên, chúng ta có thể thay đổi giữa và , một sự thay đổi ít nhất (theo điều kiện 2 và 3). Do đó, tồn tại một và từ đó phân phối tương ứngE [ t ( X 1 , X 2 , ... , X n ) ] ε 2 n t ( x 1 , x 2 , ... , x n ) x i x y m x + ε y - ε ε m F x , y , m , $t$$E[t(X_1, X_2, \ldots, X_n)]$$\varepsilon$$2^n$$t(x_1, x_2, \ldots, x_n)$$x_i$$x$$y$$m$$x + \varepsilon$$y - \varepsilon$$\varepsilon$$m$$F_{x,y,m,\varepsilon}$, theo đó kỳ vọng này không bằng trung bình, QED.

Tìm một công cụ ước lượng không thiên vị mà không có mô hình tham số sẽ khó khăn! Nhưng bạn có thể sử dụng bootstrapping và sử dụng nó để điều chỉnh trung vị theo kinh nghiệm để có được một ước lượng không thiên vị.

Tôi tin rằng hồi quy lượng tử sẽ cung cấp cho bạn một ước lượng phù hợp của trung vị. Cho mô hình . Và bạn muốn ước tính vì là hằng số. Tất cả những gì bạn cần là , điều này đúng với điều kiện bạn có các trận hòa độc lập. Tuy nhiên, theo như sự thiên vị, tôi không biết. Trung bình là khó khăn.med ( y ) = med ( α + u ) = α + med ( u ) α med ( u ) = $Y = \alpha + u$$\text{med}(y) = \text{med}(\alpha + u) = \alpha + \text{med}(u)$$\alpha$$\text{med}(u) = 0$