Lưu ý: đây là một vấn đề bài tập về nhà, vì vậy xin vui lòng không cho tôi toàn bộ câu trả lời!

Tôi có hai biến, A và B, với các phân phối bình thường (phương tiện và phương sai được biết đến). Giả sử C được định nghĩa là A với 50% cơ hội và B với 50% cơ hội. Làm thế nào tôi có thể chứng minh liệu C cũng được phân phối bình thường hay không, và nếu vậy, ý nghĩa và phương sai của nó là gì?

Tôi không chắc chắn cách kết hợp các tệp PDF của A và B theo cách này, nhưng lý tưởng nhất là nếu ai đó có thể chỉ cho tôi đi đúng hướng, kế hoạch tấn công của tôi là lấy ra PDF của C và cho biết liệu đó có phải hay không biến thể của PDF bình thường.

Hy vọng rằng rõ ràng với bạn rằng C không được đảm bảo là bình thường. Tuy nhiên, một phần câu hỏi của bạn là làm thế nào để viết ra PDF của nó. @BallpointBen đã cho bạn một gợi ý. Nếu điều đó là không đủ, đây là một số spoilers ...

Lưu ý rằng C có thể được viết là: cho một Bernoulli ngẫu nhiên với với độc lập với . Đây ít nhiều là bản dịch toán học tiêu chuẩn của câu tiếng Anh "C là A với 50% cơ hội và B với 50% cơ hội".

$$C = T \cdot A + (1-T) \cdot B$$ $T$$P(T=0)=P(T=1)=1/2$$T$$(A,B)$

Bây giờ, việc xác định PDF của C trực tiếp từ điều này có vẻ khó khăn, nhưng bạn có thể tiến bộ bằng cách viết ra hàm phân phối của C. Bạn có thể phân vùng sự kiện thành hai phần con (tùy thuộc vào giá trị của ) để viết :$F_C$$C \leq X$$T$

$$F_C(x) = P(C \leq x) = P(T = 0 \text{ and } C \leq x) + P(T = 1\text{ and C }\leq x)$$

và lưu ý rằng theo định nghĩa của C và tính độc lập của T và B, bạn có:

$$P(T=0\text{ and }C \leq x) = P(T=0\text{ and }B\leq x) = \frac12P(B\leq x) = \frac12 F_B(x)$$

Bạn sẽ có thể sử dụng một kết quả tương tự trong trường hợp để viết theo thuật ngữ của và . Để lấy PDF của C, chỉ cần phân biệt với x.$T=1$$F_C$$F_A$$F_B$$F_C$

Mô phỏng hỗn hợp ngẫu nhiên 50-50 của và được minh họa bên dưới. Mô phỏng trong R.$\mathsf{Norm}(\mu=90, \sigma=2)$$\mathsf{Norm}(\mu=100, \sigma=2)$

set.seed(827);  m = 10^6
x1 = rnorm(m, 100, 2);  x2 = rnorm(m, 90, 2)
p = rbinom(m, 1, .5)
x = x1;  x[p==1] = x2[p==1]
hist(x, prob=T, col="skyblue2", main="Random 50-50 Mixture of NORM(90,2) and NORM(100,2)")
  curve(.5*(dnorm(x, 100, 2) + dnorm(x, 90, 2)), add=T, col="red", lwd=2)

Một cách bạn có thể làm việc đó là phân tích nó khi phương sai có xu hướng 0. Cách này bạn sẽ có được phân phối giống Bernoulli, rõ ràng không phải là phân phối bình thường.

Đây là loại vấn đề rất hữu ích khi sử dụng khái niệm CDF, hàm phân phối xác suất tích lũy, của các biến ngẫu nhiên, khái niệm hoàn toàn không cần thiết mà các giáo sư kéo vào chỉ để gây nhầm lẫn cho những sinh viên hài lòng khi chỉ sử dụng pdf.

Theo định nghĩa, giá trị của CDF của biến ngẫu nhiên bằng xác suất không lớn hơn số thực , nghĩa là, Bây giờ, định luật tổng xác suất cho chúng ta biết rằng nếu có khả năng giống như một biến ngẫu nhiên hoặc biến ngẫu nhiên , thì hay nói cách khác, $F_X(\alpha)$$X$$X$$\alpha$

$$F_X(\alpha) = P\{X \leq \alpha\}, ~-\infty < \alpha < \infty.$$ $X$$A$$B$ $$P\{X \leq \alpha\} = \frac 12 P\{A \leq \alpha\} + \frac 12 P\{B \leq \alpha\},$$ $$F_X(\alpha\} = \frac 12 F_A(\alpha\} + \frac 12 F_B(\alpha\}.$$ Ghi nhớ cách giáo sư của bạn chán nản nói về cách biến các biến ngẫu nhiên liên tục, pdf là đạo hàm của CDF, chúng ta có được trả lời một trong những câu hỏi của bạn. Đối với trường hợp đặc biệt của biến ngẫu nhiên bình thường và , bạn có thể biết liệu cho mật độ bình thường cho hay không? Nếu bạn quen thuộc với các khái niệm chẳng hạn như bạn có thể tìm ra, bằng cách thay thế bên phải của cho trong $$f_X(\alpha\} = \frac 12 f_A(\alpha\} + \frac 12 f_B(\alpha\} \tag{1}$$ $A$$B$$(1)$$X$ $$E[X] = \int_{-\infty}^\infty \alpha f_X(\alpha\} \, \mathrm d\alpha, \tag{2}$$ $(1)$$f_X(\alpha)$$(2)$và suy nghĩ về biểu thức, là gì về và ?$E[X]$$E[A]$$E[B]$

$C$ không được phân phối bình thường trừ khi và được phân phối giống hệt nhau. Tuy nhiên, nếu và được phân phối giống hệt nhau, cũng sẽ được phân phối giống hệt nhau.$A$$B$$A$$B$$C$

Bằng chứng

Đặt , và là các hàm phân phối tích lũy (CDF) của A, B và C và , và các hàm mật độ xác suất (PDF) của chúng, nghĩa là$F_A$$F_B$$F_C$$f_A$$f_B$$f_C$

$$\begin{array}{l} F_A(x) = \Pr(A < x), \\ F_B(x) = \Pr(B < x), \\ F_C(x) = \Pr(C < x), \\ f_A(x) = \frac{d}{dx}F_A(x), \\ f_B(x) = \frac{d}{dx}F_B(x),\text{ and} \\ f_C(x) = \frac{d}{dx}F_C(x). \end{array}$$

Chúng tôi cũng có hai sự kiện:

• $\Gamma_1$ , đó là khi được xác định là , xảy ra với xác suất$C$$A$$\gamma$
• $\Gamma_2$ , đó là khi được xác định là , xảy ra với xác suất$C$$B$$1 - \gamma$

Theo luật tổng xác suất ,

$$\begin{array}{rl} F_C(x) \!\!\!\! & = Pr(C < x)\\ & = \Pr(C < x\ |\ \Gamma_1 )\Pr(\Gamma_1) + \Pr(C < x\ |\ \Gamma_2 )\Pr(\Gamma_2) \\ & = \Pr(A < x)\Pr(\Gamma_1) + \Pr(B < x)\Pr(\Gamma_2)\\ & = \gamma F_A(x) + (1 - \gamma) F_B(x). \end{array}$$

Vì thế,

$$\begin{array}{rl} f_C(x) \!\!\!\! & = \frac{d}{dx} F_C(x)\\ & = \frac{d}{dx}(\gamma F_A(x) + (1 - \gamma) F_B(x)) \\ & = \gamma\left(\frac{d}{dx} F_A(x)\right) + (1 - \gamma) \left(\frac{d}{dx}F_B(x)\right) \\ & = \gamma f_A(x) + (1 - \gamma) f_B(x), \end{array}$$

và vì$\gamma = 0.5,$

$$f_C(x) = 0.5 f_A(x) + 0.5 f_B(x).$$

Ngoài ra, vì PDF của phân phối bình thường là hàm Gaussian dương và tổng của hai hàm Gaussian sở hữu là hàm Gaussian dương nếu và chỉ khi hai hàm Gaussian phụ thuộc tuyến tính, thường được phân phối khi và chỉ khi và được phân phối giống hệt nhau.$C$$A$$B$

Nếu và được phân phối giống hệt nhau, , do đó cũng sẽ được phân phối giống hệt nhau.$A$$B$$f_A(x) = f_B(x) = f_C(x)$$C$