Vấn đề hay trò chơi nào là phương sai tối ưu và giải pháp tối ưu cho độ lệch chuẩn?

Đối với một biến ngẫu nhiên nhất định (hoặc dân số hoặc quá trình ngẫu nhiên), kỳ vọng toán học là câu trả lời cho câu hỏi Dự báo điểm nào giảm thiểu tổn thất bình phương dự kiến? . Ngoài ra, đây là giải pháp tối ưu cho trò chơi Đoán thực hiện tiếp theo một biến ngẫu nhiên (hoặc rút ra mới từ dân số) và tôi sẽ trừng phạt bạn bằng khoảng cách bình phương giữa giá trị và dự đoán của bạn nếu bạn có bất đồng tuyến tính về các điều khoản của hình phạt. Median là câu trả lời cho một câu hỏi tương ứng theo mất mát tuyệt đối và chế độ là câu trả lời trong mất "tất cả hoặc không có gì".

Câu hỏi: Phương sai và độ lệch chuẩn có trả lời bất kỳ câu hỏi tương tự nào không? Họ là ai?

Động lực cho câu hỏi này bắt nguồn từ việc dạy các biện pháp cơ bản của xu hướng trung tâm và lan rộng. Trong khi các biện pháp của xu hướng trung tâm có thể được thúc đẩy bởi các vấn đề lý thuyết quyết định ở trên, tôi tự hỏi làm thế nào người ta có thể thúc đẩy các biện pháp lây lan.

— Richard Hardy
nguồn

Câu hỏi rất thú vị. Cách tiếp cận ban đầu của tôi sẽ là "trò chơi" về mặt chất lượng giống như những gì bạn đã mô tả, ngoại trừ câu hỏi mong đợi (không có ý định chơi chữ) câu trả lời là về một phạm vi các giá trị thay vì một điểm, vì lan truyền mà không có điểm tài liệu tham khảo khá không đầy đủ (nếu không phải là vô nghĩa) thông tin.

— Emil

Lưu ý rằng phương sai tự nó là một kỳ vọng - nếu thì .

Y = (X - μ)^{2}

$Y=(X-\mu)^2$

Var (X) = E (Y)

$\text{Var}(X)=E(Y)$

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b, bạn đã đúng, và tôi đã hiểu điều đó (đáng lẽ tôi nên đưa nó vào văn bản câu hỏi). "Đoán sự khác biệt giữa giá trị tiếp theo và kỳ vọng và tôi sẽ trừng phạt bạn theo phương pháp bậc hai" sẽ là trò chơi. Đó có phải là tốt nhất không? Nghe có vẻ không thực tế hoặc rất thú vị một trò chơi, IMHO.

— Richard Hardy

Nếu tôi đã hiểu câu hỏi như dự định, bạn sẽ nghĩ đến một cài đặt trong đó bạn có thể nhận được các nhận thức độc lập của bất kỳ biến ngẫu nhiên $X$ nào với bất kỳ phân phối $F$ (có phương sai hữu hạn $\sigma^2(F)$ ). "Trò chơi" được xác định bởi các chức năng $h$ và $\mathcal L$ được mô tả. Nó bao gồm các bước và quy tắc sau:

Đối thủ của bạn ( "Thiên nhiên") cho thấy $F.$
Đáp lại, bạn tạo ra một số $t(F),$ "dự đoán" của bạn.

Để đánh giá kết quả của trò chơi, các tính toán sau được thực hiện:

Một mẫu $n$ IID quan sát $\mathbf{X}=X_1, X_2, \ldots, X_n$ được rút ra từ $F.$
Hàm $h$ được xác định trước được áp dụng cho mẫu, tạo ra số $h(\mathbf{X}),$ "thống kê".
"Hàm mất" $\mathcal{L}$ so sánh "dự đoán" $t(F)$ với thống kê $h(\mathbf{X}),$ tạo ra số không âm $\mathcal{L}(t(F), h(\mathbf{X})).$
Kết quả của trò chơi là sự mất mát dự kiến (hoặc "rủi ro")
$R_{(L, h)} (t, F) = = E (L (t (F), h (X))) .$ $R_{(\mathcal{L}, h)}(t, F) = E(\mathcal{L}(t(F), h(\mathbf{X}))).$

Mục tiêu của bạn là phản ứng với động thái của Nature bằng cách chỉ định một số $t$ giúp giảm thiểu rủi ro.

Ví dụ, trong các trò chơi với các chức năng $h(X_1)=X_1$ và bất kỳ tổn thất của mẫu $\mathcal{L}(t, h) = \lambda(t-h)^2$ đối với một số số dương $\lambda,$ tối ưu di chuyển của bạn là để chọn $t(F)$ được kỳ vọng của $F.$

Câu hỏi trước mắt chúng ta là

Có tồn tại $\mathcal{L}$ và $h$ mà di chuyển tối ưu là chọn $t(F)$ là phương sai $\sigma^2(F)$ không?

Điều này dễ dàng được trả lời bằng cách thể hiện phương sai như một kỳ vọng. Một cách là quy định rằng

h (X_{1}, X_{2}) = = \frac{1}{2} (X_{1} - X_{2})^{2}

$h(X_1,X_2) = \frac{1}{2}(X_1-X_2)^2$ và tiếp tục sử dụng tổn thất bậc hai

L (t, h) = = (t - h)^{2} .

$\mathcal{L}(t,h) = (t-h)^2.$ Khi quan sát điều đó

E (h (X)) = = σ^{2} (F),

$E(h(\mathbf{X})) = \sigma^2(F),$

ví dụ cho phép chúng ta kết luận rằng $h$ và $\mathcal L$ này trả lời câu hỏi về phương sai.

$\sigma(F)$ $F$ $(p)$ $p,$ $\sigma(F) = \sqrt{p(1-p)}$ $p\in (0,1).$ $1/p$ $h$ $X_i.$

— whuber
nguồn

h

$h$

n

$n$

2

$2$

n

$n$

Cảm ơn rât nhiều!

— Richard Hardy