Nếu A được phân phối đồng đều trên [8,10] và B trên [9,11], xác suất mà B <A là bao nhiêu?

Tôi đã được hỏi câu hỏi này trong một cuộc phỏng vấn và ban đầu không trả lời đúng mặc dù tôi vẫn nghĩ rằng cách giải thích của tôi có thể là câu trả lời đúng. Câu hỏi là:

Có hai xe tải giao hàng, A và B. A thực hiện giao hàng trong khoảng thời gian từ 8 giờ sáng đến 10 giờ sáng và B thực hiện giao hàng trong khoảng thời gian từ 9 giờ sáng đến 11 giờ sáng. Việc giao hàng được phân phối đồng đều cho cả hai. Xác suất mà bất kỳ giao hàng nhất định từ B sẽ diễn ra trước khi bất kỳ giao hàng từ A là gì?

Câu trả lời của bạn là gì và tại sao?

Đó là 1/8. Xem hình bên dưới, cho biết thời gian giao hàng của A trên trục x và B trên trục y. Vì việc giao hàng được phân phối đồng đều, tất cả các điểm trong quảng trường đều có khả năng xảy ra như nhau. B cung cấp trước A chỉ trong khu vực bóng mờ, bằng 1/8 tổng số.

Một cách khác để nghĩ về điều đó là có 50% cơ hội A giao trước khi B bắt đầu và 50% cơ hội mà B giao sau khi A hoàn thành, nghĩa là có 75% khả năng xảy ra một hoặc cả hai điều đó. Trong 25% cơ hội cả hai đều giao hàng trong giờ chồng chéo, đó là cơ hội 50-50 trong số đó giao hàng trước.

Vì tốc độ phân phối không được chỉ định, giả sử A cung cấp $a$ gói mỗi giờ và B cung cấp $b$gói mỗi giờ. Vì vậy, có$2a \cdot 2b$cặp thời gian giao hàng. Cửa sổ trong đó A và B trùng nhau về thời gian phân phối chỉ có$a \cdot b$ các cặp, trong đó một nửa là A đến trước B. Vì vậy, tỷ lệ các cặp mà A đến trước B là

Tôi đề xuất một cách khác để xem xét nó, chỉ khi bạn có một máy tính trong cuộc phỏng vấn tất nhiên.

Chúng ta có thể mô phỏng quá trình với R, ví dụ.

Hãy mô phỏng 1000 giá trị từ A và giống nhau từ B, chúng ta biết rằng cả hai đều là đồng phục, là độc lập.

a <- runif(1000, 8, 10) # A deliveries
b <- runif(1000, 9, 11) # B deliveries
# [1] 9.485513 8.665070 8.488481 8.840332 8.755384 9.448949 # A deliveries for example

Ok họ không chính xác thời gian, nhưng nó là như nhau.

Xác suất $P(B<A)$là những gì chúng ta tìm kiếm. Vì vậy, chúng tôi chỉ đếm số lượng cặp$b<a$ trong mã của chúng tôi.

prob <- sum(b < a)/1000
#[1] 0.112 # almost 1/8

Chúng ta cũng có thể vẽ 1000 cặp $(a,b)$và xem khu vực mà B đến trước.

plot(a, b)
polygon(c(9, 10, 10, 9),
        c(9, 9, 10, 9), density = 10, angle = 135)

Và probgiá trị ở trên là tỷ lệ điểm trong vùng bóng mờ (trông có vẻ quen thuộc phải không?).

Bây giờ chúng ta có thể sử dụng công thức cho sai số chuẩn của tỷ lệ để ước tính sai số chuẩn của mô phỏng.

se <- sqrt(prob * (1 - prob) / 1000)
#[1] 0.009972763

Và chúng ta có thể xây dựng một CI (giả sử xấp xỉ Bình thường của phân phối mẫu probs).

prob - 1.96*se
#[1] 0.09245338 lower bound
prob + 1.96*se
#[1] 0.1315466 upper bound

Tình cờ gặp điều này và nó đã ở trong đầu tôi. :-)

Câu trả lời có vẻ như phải phụ thuộc vào số lần giao hàng tương đối mà mỗi xe tải thực hiện trong giờ có thể trùng lặp (9a-10a) - không có câu trả lời liên tục.

Ví dụ: giả sử mỗi xe tải thực hiện 2 lần giao hàng (1 mỗi giờ). Mỗi người thực hiện 1 lần giao hàng trong khoảng từ 9 đến 10 và B sẽ không đánh bại bất cứ thứ gì từ A. Vì vậy, xác suất là 0 trong trường hợp đó.

Hãy xem xét một phiên bản đơn giản hóa của vấn đề trong đó cả hai chỉ thực hiện giao hàng trong khoảng 9-10a (vẫn là phân phối đồng đều). Và, đối với người mới bắt đầu, giả sử họ thực hiện cùng một số lần giao hàng, n.

• Giao hàng đầu tiên cho B sẽ đánh bại mọi thứ trừ giao hàng đầu tiên từ A (mà nó liên kết). Vì vậy, với xác suất$\frac{1}{n}$ (xác suất chúng tôi giao hàng đầu tiên cho B) chúng tôi đã đánh bại một sự kiện với xác suất $\frac{n-1}{n}$ (xác suất chúng tôi không phải là lần giao hàng đầu tiên của A)
• Lần giao hàng thứ hai cho B sẽ đánh bại mọi thứ trừ hai lần giao hàng đầu tiên từ A. Vì vậy, với xác suất $\frac{1}{n}$ chúng tôi đã đánh bại một sự kiện với xác suất $\frac{n-2}{n}$
• Vân vân.

Đặt từng điều khoản đó vào một tổng kết, chúng tôi nhận được:

$(\frac{1}{n} \cdot \frac{n-1}{n}) + (\frac{1}{n} \cdot \frac{n-2}{n}) + ... + (\frac{1}{n} \cdot \frac{n-n}{n})$

Hoặc là,

$\sum_{i=1}^{n} \frac{n-i}{n^2}$

Vì xác suất là đồng nhất và một nửa (làm tròn xuống) của mỗi lần xảy ra trong giờ chồng chéo, chúng tôi chỉ xem xét một nửa số lần giao hàng của mỗi lần. Nếu$n'=\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$và, so với toàn bộ miền, những sự kiện đó chỉ xảy ra một nửa thời gian. Vì thế

$\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n'} \frac{n'-i}{n'^2}$

Tôi tin rằng $a=b=n$, bạn lấy $1/8$.

Làm thế nào để xử lý thực tế A và B không cung cấp cùng một số gói? Một lần nữa, để đơn giản hóa, giả sử tất cả việc giao hàng của họ diễn ra trong khoảng 9-10 giờ sáng.

Đối với mỗi giao hàng $b$ bạn xem xét từ sớm nhất đến mới nhất, thay vì mỗi lần đập liên tiếp $\frac{1}{a}$ ít hơn từ xe tải A, như trên (nơi $a$ là số lần giao hàng được thực hiện bởi xe tải A và $b$ số lượng giao hàng được thực hiện bởi $b$), bạn loại bỏ $\lfloor \frac{1}{b} \cdot a \rfloor$. Đó là, bạn đánh bại tất cả trừ một phần$a$ tỷ lệ với phần của $b$bạn đã ném ra ngoài. Vì thế,

$(\frac{1}{b} \cdot \frac{a - \lfloor 1 \cdot \frac{a}{b} \rfloor }{a}) + (\frac{1}{b} \cdot \frac{n - \lfloor 2 \cdot \frac{a}{b} \rfloor }{a}) + ... + (\frac{1}{b} \cdot \frac{a - \lfloor a \cdot \frac{a}{b} \rfloor }{a})$

Hoặc là,

$\sum_{i=1}^{b} \frac{a - \lfloor \frac{ia}{b} \rfloor }{ab}$

Một lần nữa, kế toán cho thực tế là họ chỉ chồng chéo một nửa thời gian, hãy $a'=\frac{a}{2}$ và $b'=\frac{b}{2}$:

$\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{b'} \frac{a' - \lfloor \frac{ia'}{b'} \rfloor }{a'b'}$

Nó là số không:

nếu xe tải B có ít nhất một lần giao hàng trong khoảng thời gian [9-11] thì ít nhất một lần giao hàng được thực hiện sau (hoặc bằng) 10

và việc giao hàng đó không phải trước khi giao hàng của A (tất cả trước 10)