Làm thế nào để cập nhật Bayes về hai sự kiện xảy ra với số đo bằng 0?

Để minh họa điều tôi muốn nói, hãy xem xét tình huống giả định sau:

Số yêu thích của một người $x\in[-1,1]$ được phân phối ngẫu nhiên với hàm mật độ nguyên tử $f(x)$ .

Hơn nữa, giả sử rằng người này (sau khi nhận ra con số yêu thích của họ $x$ là) gọi ra giá trị tuyệt đối của số yêu thích này tức là $|x|$ .

Là một người quan sát, bạn biết cấu trúc, tức là, phân phối $x$ và hành vi của người. Như vậy, sau khi quan sát nói $|x|=0.5$ bạn biết rằng số yêu thích của người đó là 0,5 hoặc -0,5.

Nhưng là một người cập nhật Bayes, bạn nên tin vào điều gì? Có nghĩa gì khi nói rằng bạn tin rằng con số yêu thích của người đó là 0,5 với xác suất

P [x = 0.5 | | x | = 0.5] = \frac{P [| x | = 0.5 | x = 0.5] f (0.5)}{f (0.5) + f (- 0.5)} = \frac{f (0.5)}{f (0.5) + f (- 0.5)} ?

$\mathbb{P}[x=0.5 \, |\, |x|=0.5]=\frac{\mathbb{P}[|x|=0.5 \,|\, x=0.5] \, f(0.5)}{f(0.5)+f(-0.5)}=\frac{ f(0.5)}{f(0.5)+f(-0.5)} ?$

Tôi nghi ngờ là không, vì bất kỳ phân phối nào cũng tương đương (theo nhiều nghĩa khác nhau) với những thay đổi về các sự kiện có số đo bằng không. Nhưng những gì nên được thực hiện trong một kịch bản như vậy?

Tôi đã nghĩ rằng một vấn đề như vậy sẽ phát sinh trong lý thuyết kinh tế (trò chơi báo hiệu) nhưng tôi vẫn chưa tìm thấy một tài liệu tham khảo nào liên quan đến vấn đề này (bất kỳ đề xuất nào ở đây cũng sẽ được đánh giá cao).

probability bayesian measure-theory

— con ong
nguồn

"Bất kỳ phân phối nào cũng tương đương (theo nhiều nghĩa khác nhau) với những thay đổi về các sự kiện có số đo bằng 0" - điều này có nghĩa là gì?

— jbowman

Tôi tin rằng công thức của bạn cho bản cập nhật bayes là chính xác và tôi cũng như người bình luận khác, không hiểu ý của bạn về tuyên bố của bạn về phân phối tương đương?

— mlofton

Ý tôi là trong nhiều không gian chức năng hoạt động tốt như

L^{P}

$L^P$ khoảng trắng (đôi khi được gọi là không gian Lebesgue) bất kỳ hai hàm nào chỉ khác nhau trên một tập hợp số 0 được coi là tương đương. Do đó, chức năng

f

$f$ trong ví dụ của tôi và

g (x) = f (x)

$g(x)=f(x)$ nếu

x \neq - 0.5

$x\neq -0.5$ và

g (- 0.5) = 2 f (- 0.5)

$g(-0.5)=2f(-0.5)$ được coi là tương đương. Điều này tuy nhiên rõ ràng sẽ làm sai lệch xác suất

P [x = 0.5 | | x | = 0.5]

$\mathbb{P}[x=0.5\, |\, |x|=0.5]$ nếu phương trình tôi viết là đúng (mà tôi nghi ngờ là không).

— ong

@bee: Nó thực sự tinh tế, nhưng hai bản phân phối sẽ tương đương nhau về nhiều mặt (ví dụ: CDF, trung bình, phương sai, v.v.). Bạn vừa khéo léo thể hiện một khía cạnh trong đó thực sự không tương đương.

— Vách đá AB

@ Tây An: giả sử

f

$f$ và

f^{'}

$f'$ là hai pdf để phân phối liên tục cho RV's

X

$X$ ,

X^{'}

$X'$ , với

f

$f$ và

f^{'}

$f'$ bằng với một tập hợp các điểm có thể đếm được. Sau đó, CDF dành cho

X

$X$ và

X^{'}

$X'$ là bằng nhau, điều đó có nghĩa là giá trị trung bình, phương sai, v.v. Tất nhiên, như bạn chỉ ra trong câu trả lời của mình, số đo của bộ này là 0, vì vậy bạn có thể cho rằng đây không phải là hậu quả thực sự.

— Vách đá AB

Nghịch lý là một trong những lý thuyết và điều kiện đo lường chứ không phải là một trong những suy luận Bayes (và do đó bạn nên sửa đổi tiêu đề của câu hỏi). Để trích dẫn Andrei Kolmogorov,

" Khái niệm xác suất có điều kiện liên quan đến một giả thuyết bị cô lập có xác suất bằng 0 là không thể chấp nhận được. "

Khi xác định mật độ $f$ của biến ngẫu nhiên $X$ , nó thực sự có thể là bất cứ thứ gì kể cả hàm null trên bất kỳ bộ nào $A\subset(-1,1)$ của số đo bằng không. Tuy nhiên, dường như với tôi rằng lời giải thích đơn giản nhất là người ta không thể chọn bộ $A$ một posteriori , đó là một lần $X$ hoặc là $|X|$ được quan sát là $x$ , vậy nên $x\in A$ . Có nghĩa là quan sát thực tế $x$ (hay chính xác hơn là nhận thức thực tế $x$ của biến ngẫu nhiên $X$ ) có xác suất bằng 0 thuộc về $A$ .

Khi cài đặt

P [X = = 0,5 | | X | = = 0,5] = = \frac{P [| X | = = 0,5 | X = = 0,5] f (0,5)}{f (0,5) + f (- 0,5)} = = \frac{f (0,5)}{f (0,5) + f (- 0,5)}

$\mathbb{P}[X=0.5 \, |\, |X|=0.5]=\frac{\mathbb{P}[|X|=0.5 \,|\, X=0.5] \, f(0.5)}{f(0.5)+f(-0.5)}=\frac{ f(0.5)}{f(0.5)+f(-0.5)}$ (a) đẳng thức đầu tiên là một ứng dụng không chính xác của công thức Bayes cho các tập hợp, vì các tập hợp có số đo bằng 0 và (b) điều hòa trên tập số đo bằng 0

{ω; | X (ω) | = 0.5}

$\{\omega;|X(\omega)|=0.5\}$ được hiểu, chứ không phải là một xác suất có điều kiện, như thiết lập giá trị của hàm

E [{Tôi}_{X = = | X |} | | X | = = x]

$\mathbb{E}[\mathbb{I}_{X=|X|}||X|=x]$ tại

x = 0.5

$x=0.5$ , không được xác định duy nhất vì ràng buộc duy nhất là định nghĩa về các kỳ vọng có điều kiện như

P [X = = | X |] = = E {E [{Tôi}_{X = = | X |} | | X |]}

$\mathbb{P}[X=|X|]=\mathbb{E}\{\mathbb{E}[\mathbb{I}_{X=|X|}||X|]\}$

— Tây An
nguồn

Cảm ơn vì sự trả lời! Bạn có đồng ý rằng vấn đề nói chung hơn là về việc di chuyển giữa một biện pháp không nguyên tử (được đưa ra bởi

f

$f$ ) đến một biện pháp riêng biệt (phía sau

P [X = x | | X | = 0.5]

$\mathbb{P}[X=x\, |\, |X|=0.5]$ )? Theo nghĩa đó,

f

$f$ là biện pháp Lebesgue hoàn toàn liên tục nhưng

P [X = x | | X | = 0.5]

$\mathbb{P}[X=x\, |\, |X|=0.5]$ không phải. Do đó, việc dịch giữa các biện pháp không bao giờ là bất biến để đo các sự kiện bằng 0 và đặc biệt là định lý Radon-Nikodym không áp dụng được. Đây là cùng với những gì @CliffAB đã gợi ý, tôi tin thế.

— ong

Không, tôi không xem đây là một lời giải thích. Điều tương tự cũng có thể được nói về bất kỳ phân phối có điều kiện của một biến có điều kiện rời rạc trên một điều kiện hoàn toàn liên tục. Và tôi không có được mối liên hệ với định lý Radon-Nikodym, tôi sợ.

— Tây An