Là sản phẩm của RVs trao đổi có thể trao đổi?

8

Giả sử rằng

X = (X_{1}, . . ., X_{n}), : (Ω, A, P) \to ({0, 1}^{n}, 2^{{0, 1}^{n}})

$X=(X_1, ..., X_n),: (\Omega, A,P)\to (\{0,1\}^n, 2^{{\{0,1\}}^n})$ và

Y = (Y_{1}, . . ., Y_{n}) : (Ω, A, P) \to ({0, 1}^{n}, 2^{{0, 1}^{n}})

$Y=(Y_1, ..., Y_n):(\Omega, A,P)\to (\{0,1\}^n, 2^{{\{0,1\}}^n})$ là hai biến ngẫu nhiên mà có RVs nhị phân như các thành phần của họ (Do đó

X_{i} (ω) \in {0, 1}, Y_{i} (ω) \in {0, 1}

$X_i(\omega)\in\{0,1\}, Y_i(\omega) \in \{0,1\}$ ) và cả (

X

$X$ và

Y

$Y$ ) đều có thể trao đổi, tức là

P ((X_{1}, . . ., X_{n}) = (x_{1}, . . ., x_{n})) = P ((X_{σ (1)}, . . ., X_{σ (n)}) = (x_{1}, . . ., x_{n}))

$P((X_1, ..., X_n)=(x_1, ..., x_n))= P((X_{\sigma(1)}, ..., X_{\sigma(n)})=(x_1, ..., x_n))$

và

P ((Y_{1}, . . ., Y_{n}) = (y_{1}, . . ., y_{n})) = P ((Y_{σ (1)}, . . ., Y_{σ (n)}) = (y_{1}, . . ., y_{n}))

$P((Y_1, ..., Y_n)=(y_1, ..., y_n))= P((Y_{\sigma(1)}, ..., Y_{\sigma(n)})=(y_1, ..., y_n))$ cho tất cả các hoán vị

σ

$\sigma$ .

Câu hỏi của tôi là cho dù đó cho rằng $Z=(X_1Y_1, ..., X_nY_n)$ là trao đổi?

Hoặc đóng khung khác nhau mà các giả định không cần thiết để $Z$ có thể trao đổi?

bayesian exchangeability

— Sebastian
nguồn

Có vẻ như có ít nhất một lỗi đánh máy trong câu hỏi của bạn: bạn có thực sự muốn nói rằng thành phần cuối cùng của

là "

?" Ký hiệu không rõ ràng: bạn có cho rằng

là biến ngẫu nhiên với các thành phần nhị phân và

là biến ngẫu nhiên có thành phần là các hàm nhị phân của

-vector nhị phân ? Khi bạn nêu một vấn đề một cách trừu tượng, (1) điều quan trọng là bạn có mọi thứ chính xác và (2) thay vào đó bạn nên xem xét việc đăng nó lên trang web toán học.

Z

$Z$

Y_{n} Y_{n}

$Y_nY_n$

X

$X$

Y

$Y$

n

$n$

— whuber

Cảm ơn đã chỉ ra điều này. Tôi sẽ làm rõ ký hiệu

— Sebastian

6

Sản phẩm không phải trao đổi. Các ví dụ sau đây sẽ cho thấy những gì có thể đi sai và tại sao.

Chúng tôi sẽ chỉ định các phân phối chung $P_1$ của $(X_1,Y_1)$ và $P_2$ của $(X_2,Y_2)$ và giả sử mỗi biến ngẫu nhiên bivariate này là độc lập. Do đó, $X_i$ sẽ được trao đổi với điều kiện chúng được phân phối giống hệt nhau và tương tự cho $Y_i.$ Tất cả các biến sẽ là biến Bernoulli: theo định nghĩa, xác suất của chúng sẽ được tập trung vào tập $\{0,1\}.$

$P_1(0,0) = P_1(1,1) = 1/2$ $P_2(x,y)=1/4$ $x,y\in\{0,1\}.$

$(1/2),$ $\Pr(X_1Y_1=0) = 1/2$ $\Pr(X_2Y_2=0)=3/4,$

Điều này cho thấy các vấn đề phân phối chung.

Tuy nhiên, các bản phân phối chung có thể khác nhau, nhưng các sản phẩm có thể trao đổi được, do đó, khả năng trao đổi của các biến ngẫu nhiên bivariate , mặc dù điều kiện đủ để có thể trao đổi của các sản phẩm không phải là điều kiện cần thiết. $(X_i,Y_i)$ $X_iY_i,$

Một ví dụ về điều này được đưa ra bởi các biến ternary với các giá trị trong Ví dụ, hãy xem xét các xác suất sau: $\{-1,0,1\}.$

P_{1} ((- 1, y)) = 1 / 6 (y \in {- 1, 0, 1}); P_{1} ((1, - 1)) = P_{1} ((1, 1)) = 1 / 4

$P_1((-1,y)) = 1/6\quad(y\in\{-1,0,1\});\quad P_1((1,-1)) = P_1((1,1))=1/4$

và

P_{2} ((x, y)) = P_{1} ((- x, y)) .

$P_2((x,y)) = P_1((-x,y)).$

Thật đơn giản để kiểm tra rằng các phân phối biên của gán xác suất bằng nhau từ đến các phân phối biên của có các vectơ xác suất và phân phối của giống như phân phối của Tuy nhiên, xin lưu ý rằng có các bản phân phối khác nhau, bởi vì $X_i$ $1/2$ $\pm 1,$ $Y_i$ $(5/12, 1/6, 5/12),$ $X_iY_i$ $Y_i.$ $(X_i,Y_i)$

P_{1} ((- 1, 0)) = 1 / 6 \neq 0 = P_{2} ((- 1, 0)) .

$P_1((-1,0)) = 1/6 \ne 0 = P_2((-1,0)).$

Do đó, có thể trao đổi, có thể trao đổi, có thể trao đổi, nhưng không thể trao đổi. $X_i$ $Y_i$ $X_iY_i$ $(X_i,Y_i)$

— whuber
nguồn

2

$X$

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

$(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$

Y

$Y$

(1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0) .

$(1,0,0), (0,0,1), (0,1,0).$

X_{1}, X_{2}, X_{3}

$X_1,X_2,X_3$

Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}

$Y_1,Y_2,Y_3$

Z = (X_{1} Y_{1}, \dots, X_{3} Y_{3})

$Z=(X_1 Y_1,\dots, X_3 Y_3)$

(1, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0)

$(1,0,0),(0,0,0),(0,0,0)$

Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}

$Z_1,Z_2,Z_3$

— Tuleo
nguồn