Vấn đề Monty Hall - trực giác của chúng ta thất bại ở đâu?

Từ Wikipedia:

Giả sử bạn đang tham gia một chương trình trò chơi và bạn được lựa chọn ba cửa: Đằng sau một cánh cửa là một chiếc ô tô; Đằng sau những người khác, dê. Bạn chọn một cánh cửa, nói số 1, và chủ nhà, người biết những gì đằng sau cánh cửa, mở ra một cánh cửa khác, nói số 3, có một con dê. Sau đó, anh ta nói với bạn, "Bạn có muốn chọn cửa số 2 không?" Đó là lợi thế của bạn để chuyển đổi sự lựa chọn của bạn?

Câu trả lời là, tất nhiên, có - nhưng nó cực kỳ không trực quan. Sự hiểu lầm nào mà hầu hết mọi người có về xác suất dẫn đến việc chúng ta gãi đầu - hay tốt hơn là đặt; quy tắc chung nào chúng ta có thể lấy đi từ câu đố này để rèn luyện trực giác tốt hơn trong tương lai?

Hãy xem xét hai biến thể đơn giản của vấn đề:

1. Không có cánh cửa nào được mở cho thí sinh. Chủ nhà không giúp đỡ trong việc chọn một cánh cửa. Trong trường hợp này, rõ ràng là tỷ lệ chọn cửa chính xác là 1/3.
2. Trước khi thí sinh được yêu cầu mạo hiểm đoán, chủ nhà mở một cánh cửa và để lộ một con dê. Sau khi chủ nhà tiết lộ một con dê, thí sinh phải chọn chiếc xe từ hai cánh cửa còn lại. Trong trường hợp này, rõ ràng là tỷ lệ chọn cửa chính xác là 1/2.

Để một thí sinh biết xác suất lựa chọn cửa của mình là chính xác, anh ta phải biết có bao nhiêu kết quả tích cực có sẵn cho anh ta và chia số đó cho số lượng kết quả có thể. Do hai trường hợp đơn giản được nêu ở trên, nên rất tự nhiên khi nghĩ đến tất cả các kết quả có thể có là số lượng cửa để lựa chọn và số lượng kết quả tích cực là số lượng cửa che giấu một chiếc xe hơi. Với giả định trực quan này, ngay cả khi chủ nhà mở một cánh cửa để lộ một con dê sau khi thí sinh đoán, xác suất một trong hai cánh cửa chứa một chiếc xe vẫn là 1/2.

Trong thực tế, xác suất nhận ra một tập hợp kết quả có thể lớn hơn ba cửa và nó nhận ra một tập hợp kết quả tích cực lớn hơn cửa số ít với chiếc xe. Trong phân tích chính xác của vấn đề, chủ nhà cung cấp cho thí sinh thông tin mới để đưa ra một câu hỏi mới: xác suất mà dự đoán ban đầu của tôi là gì để thông tin mới được cung cấp bởi chủ nhà đủ để thông báo cho tôi biết chính xác cửa? Để trả lời câu hỏi này, tập hợp các kết quả tích cực và tập hợp các kết quả có thể không phải là cửa và xe hơi hữu hình mà là sự sắp xếp trừu tượng của dê và xe. Ba kết quả có thể xảy ra là ba sự sắp xếp có thể có của hai con dê và một chiếc xe phía sau ba cánh cửa. Hai kết quả tích cực là hai sự sắp xếp có thể xảy ra trong đó lần đoán đầu tiên của thí sinh là sai. Trong mỗi hai cách sắp xếp này, thông tin được cung cấp bởi chủ nhà (một trong hai cửa còn lại là trống) là đủ để thí sinh xác định cánh cửa che giấu chiếc xe.

Tóm lại:

Chúng tôi có xu hướng tìm kiếm một ánh xạ đơn giản giữa các biểu hiện vật lý của các lựa chọn của chúng tôi (cửa ra vào và xe hơi) và số lượng kết quả có thể và kết quả mong muốn trong một câu hỏi về xác suất. Điều này hoạt động tốt trong trường hợp không có thông tin mới được cung cấp cho thí sinh. Tuy nhiên, nếu thí sinh được cung cấp thêm thông tin (tức là một trong những cánh cửa bạn không chọn chắc chắn không phải là xe hơi), bản đồ này bị phá vỡ và câu hỏi chính xác được hỏi là trừu tượng hơn.

Tôi thấy rằng mọi người tìm thấy giải pháp trực quan hơn nếu bạn thay đổi nó thành 100 cửa, đóng thứ nhất, thứ hai, thành 98 cửa. Tương tự cho 50 cửa, vv

Để trả lời câu hỏi ban đầu : Trực giác của chúng ta thất bại vì cách kể chuyện. Khi liên quan đến câu chuyện theo thứ tự như kịch bản truyền hình, chúng ta bị lẫn lộn. Sẽ dễ dàng hơn nhiều nếu chúng ta nghĩ về những gì sẽ xảy ra trước. Thầy đố sẽ tiết lộ một con dê, vì vậy cơ hội tốt nhất của chúng ta là chọn một cánh cửa có một con dê và sau đó chuyển đổi. Cốt truyện tập trung rất nhiều vào sự mất mát gây ra bởi hành động của chúng tôi trong đó một trong ba cơ hội mà chúng tôi tình cờ chọn xe.

Câu trả lời ban đầu:

Mục đích của chúng tôi là loại bỏ cả dê. Chúng tôi làm điều này bằng cách đánh dấu một con dê mình. Người quản lý câu đố sau đó buộc phải lựa chọn giữa việc tiết lộ chiếc xe hoặc con dê khác. Tiết lộ chiếc xe là ra khỏi câu hỏi, vì vậy người quản lý bài kiểm tra sẽ tiết lộ và loại bỏ một con dê mà chúng tôi không biết về. Sau đó chúng tôi chuyển sang cánh cửa còn lại, do đó loại bỏ con dê mà chúng tôi đánh dấu bằng lựa chọn đầu tiên của chúng tôi và lấy xe.

Chiến lược này chỉ thất bại nếu chúng ta không đánh dấu một con dê, nhưng thay vào đó là chiếc xe. Nhưng điều đó là không thể: có hai con dê và chỉ có một chiếc xe.

Vì vậy, chúng tôi có cơ hội 2 trong 3 để giành chiến thắng xe.

Câu trả lời là không, "dĩ nhiên là CÓ!" Câu trả lời đúng là "Tôi không biết, bạn có thể nói cụ thể hơn không?"

Lý do duy nhất khiến bạn nghĩ nó đúng, là vì Marliyn vos Savant đã nói như vậy. Câu trả lời ban đầu của cô cho câu hỏi (mặc dù câu hỏi đã được biết rộng rãi trước cô) xuất hiện trên tạp chí Parade vào ngày 9 tháng 9 năm 1990 . cô ấy đã viết rằng câu trả lời "chính xác" cho câu hỏi này là chuyển cửa, bởi vì việc chuyển cửa cho bạn xác suất thắng xe cao hơn (2/3 thay vì 1/3). Cô đã nhận được rất nhiều phản hồi từ các tiến sĩ toán học và những người thông minh khác nói rằng cô đã sai (mặc dù nhiều trong số đó cũng không đúng).

Giả sử bạn đang tham gia một chương trình trò chơi và bạn được lựa chọn ba cửa. Đằng sau một cánh cửa là một chiếc ô tô, đằng sau những con khác, những con dê. Bạn chọn một cánh cửa, nói số 1, và chủ nhà, người biết những gì đằng sau cánh cửa, mở ra một cánh cửa khác, nói số 3 , có một con dê. Anh ta nói với bạn: "Bạn có muốn chọn cửa số 2 không?" Đó có phải là lợi thế của bạn để chuyển đổi sự lựa chọn của bạn về cửa? - Craig F. Whitaker Columbia, Maryland

Tôi đã nhấn mạnh phần quan trọng của câu hỏi logic này. Điều mơ hồ trong tuyên bố đó là:

Có phải Monty Hall luôn mở một cánh cửa? (Điều gì sẽ là lợi thế của bạn để chuyển đổi cửa nếu anh ta chỉ mở một cánh cửa thua khi bạn chọn một cánh cửa chiến thắng? Trả lời : Không)

Có phải Monty Hall luôn mở một cánh cửa thua ? (Các quy định cụ thể câu hỏi rằng ông biết nơi chiếc xe được, và điều này đặc biệt thời gian ông đã cho thấy một con dê đằng sau một. Có gì cơ hội của bạn sẽ là nếu ông mở ngẫu nhiên một cánh cửa? Ie Các Monty Fall câu hỏi hoặc những gì nếu thỉnh thoảng ông lựa chọn để hiển thị đoạt cửa .)

Có phải Monty Hall luôn mở một cánh cửa mà bạn không chọn?

Những điều cơ bản của câu đố logic này đã được lặp đi lặp lại nhiều lần và nhiều lần chúng không được chỉ định đủ tốt để đưa ra câu trả lời "đúng" là 2/3.

Một nhân viên bán hàng nói rằng cô ấy có hai beagles mới để cho bạn xem, nhưng cô ấy không biết họ là nam, nữ hay một cặp. Bạn nói với cô ấy rằng bạn chỉ muốn một người đàn ông và cô ấy gọi điện cho người đang tắm cho họ. "Có ít nhất một người là nam?" Cô hỏi anh. "Vâng!" cô ấy thông báo cho bạn với một nụ cười. Xác suất mà người kia là nam giới là gì? - Stephen I. Geller, Pasadena, California

Có phải đồng loại đã nhìn vào cả hai con chó trước khi trả lời "Có", hoặc anh ta đã nhặt một con chó ngẫu nhiên và phát hiện ra đó là một con đực và sau đó trả lời "Có".

Nói rằng một người phụ nữ và một người đàn ông (không liên quan) mỗi người có hai con. Chúng tôi biết rằng ít nhất một trong những đứa con của phụ nữ là con trai và đứa con lớn nhất của người đàn ông là con trai. Bạn có thể giải thích tại sao cơ hội mà người phụ nữ có hai chàng trai không bằng cơ hội mà người đàn ông có hai chàng trai? Giáo viên đại số của tôi khẳng định rằng xác suất lớn hơn là người đàn ông có hai cậu con trai, nhưng tôi nghĩ cơ hội có thể là như nhau. Bạn nghĩ sao?

Làm thế nào để chúng ta biết rằng phụ nữ có ít nhất một chàng trai? Một ngày nọ chúng tôi nhìn qua hàng rào và thấy một trong số họ? ( Trả lời: 50%, giống như đàn ông )

Câu hỏi thậm chí đã vấp phải Jeff Atwood của chúng ta . Ông đặt ra câu hỏi này :

Giả sử, giả sử, bạn đã gặp một người nói với bạn rằng họ có hai con và một trong số họ là một cô gái. Tỷ lệ cược người đó có con trai và con gái là bao nhiêu?

Jeff tiếp tục lập luận rằng đó là một câu hỏi đơn giản, được hỏi bằng ngôn ngữ đơn giản và gạt bỏ sự phản đối của một số người nói rằng câu hỏi đó không chính xác nếu bạn muốn câu trả lời là 2/3.

Quan trọng hơn, mặc dù, là lý do tại sao người phụ nữ tình nguyện thông tin. Nếu cô ấy nói theo cách người bình thường làm, khi một người nói "một trong số họ là con gái", chắc chắn người kia là con trai. Nếu chúng ta cho rằng đây là một câu hỏi logic, với mục đích vấp ngã chúng ta, chúng ta nên hỏi rằng câu hỏi được xác định rõ ràng hơn. Có phải người phụ nữ tình nguyện quan hệ tình dục của một trong những đứa con của mình, được chọn ngẫu nhiên, hay cô ấy đang nói về bộ hai đứa con của mình.

Rõ ràng là câu hỏi được diễn đạt kém, nhưng mọi người không nhận ra nó. Khi các câu hỏi tương tự được đặt ra, nơi tỷ lệ cược lớn hơn nhiều để chuyển đổi, mọi người sẽ nhận ra rằng đó phải là một mẹo (và đặt câu hỏi về động cơ của máy chủ) hoặc nhận được câu trả lời "chính xác" về chuyển đổi như trong câu hỏi một trăm cửa . Điều này càng được hỗ trợ bởi thực tế là các bác sĩ khi được hỏi về khả năng người phụ nữ mắc một căn bệnh cụ thể sau khi xét nghiệm dương tính (họ cần xác định xem cô ấy có mắc bệnh hay là dương tính giả), họ nên đến câu trả lời đúng, tùy thuộc vào cách đặt câu hỏi. Có một cuộc nói chuyện TED tuyệt vời mà nửa chừng bao gồm chính trường hợp này.

Ông mô tả các xác suất liên quan đến xét nghiệm ung thư vú: 1% phụ nữ được thử nghiệm mắc bệnh và xét nghiệm này chính xác 90%, với tỷ lệ dương tính giả là 9%. Với tất cả thông tin đó, bạn nói gì với một người phụ nữ có kết quả xét nghiệm dương tính về khả năng họ mắc bệnh?

Nếu nó có ích, đây là câu hỏi tương tự diễn ra theo cách khác:

100 trong số 10.000 phụ nữ ở độ tuổi bốn mươi tham gia sàng lọc thường quy bị ung thư vú. 90 trong số 100 phụ nữ bị ung thư vú sẽ được chụp nhũ ảnh dương tính. 891 trong số 9,900 phụ nữ không bị ung thư vú cũng sẽ được chụp nhũ ảnh dương tính. Nếu 10.000 phụ nữ trong độ tuổi này trải qua một cuộc kiểm tra định kỳ, thì bao nhiêu phần trăm phụ nữ có chụp nhũ ảnh dương tính sẽ thực sự bị ung thư vú?

Tôi sẽ sửa đổi những gì Graham Cookson nói một chút. Tôi nghĩ rằng điều thực sự quan trọng mà mọi người bỏ qua không phải là lựa chọn đầu tiên của họ, mà là sự lựa chọn của chủ nhà , và giả định rằng chủ nhà đảm bảo không tiết lộ chiếc xe.

Trong thực tế, khi tôi thảo luận vấn đề này trong một lớp học, tôi trình bày nó một phần như là một trường hợp nghiên cứu để làm rõ các giả định của bạn. Đó là lợi thế của bạn để chuyển đổi nếu chủ nhà chắc chắn chỉ để lộ một con dê . Mặt khác, nếu chủ nhà chọn ngẫu nhiên giữa cửa 2 và 3, và tình cờ để lộ một con dê, thì không có lợi thế nào để chuyển đổi.

(Tất nhiên, kết quả thực tế là nếu bạn không biết chiến lược của chủ nhà, bạn vẫn nên chuyển đổi.)

Điều này không đưa ra một quy tắc chung, nhưng tôi nghĩ rằng một lý do tại sao đó là một câu đố đầy thách thức là trực giác của chúng ta không xử lý xác suất có điều kiện rất tốt. Có rất nhiều câu đố xác suất khác chơi trên cùng một hiện tượng . Vì tôi đang liên kết đến blog của mình, đây là một bài đăng cụ thể trên Monty Hall .

Tôi đồng ý rằng sinh viên thấy vấn đề này rất khó khăn. Câu trả lời điển hình tôi nhận được là sau khi bạn được cho xem một con dê có cơ hội nhận được xe 50:50, vậy tại sao nó lại quan trọng? Các sinh viên dường như ly dị lựa chọn đầu tiên của họ từ quyết định mà giờ họ được yêu cầu đưa ra, tức là họ xem hai hành động này là độc lập. Sau đó, tôi nhắc nhở họ rằng họ có khả năng đã chọn sai cửa lần đầu tiên gấp đôi do đó tốt hơn hết là họ nên chuyển đổi.

Trong những năm gần đây, tôi đã bắt đầu thực sự chơi trò chơi bằng kính và nó giúp học sinh hiểu vấn đề tốt hơn nhiều. Tôi sử dụng ba "cuộn giấy vệ sinh" bằng bìa cứng và trong đó có hai cái là kẹp giấy và thứ ba là một tờ 5 bảng.

Tôi tin rằng đó là một câu hỏi logic hơn là một khó khăn với xác suất làm cho giải pháp Monty Hall gây ngạc nhiên. Hãy xem xét các mô tả sau đây của vấn đề.

Bạn quyết định ở nhà, trước khi đến chương trình TV, nếu bạn định đổi cửa hoặc gắn bó với lựa chọn đầu tiên của mình, bất cứ điều gì xảy ra trong chương trình. Đó là, bạn chọn giữa các chiến lược "Ở lại" hoặc "Chuyển đổi" trước khi chơi trò chơi. Không có sự không chắc chắn liên quan đến sự lựa chọn chiến lược này. Không cần phải giới thiệu xác suất nào.

Hãy hiểu sự khác biệt giữa hai chiến lược. Một lần nữa, chúng ta sẽ không nói về xác suất.

Theo chiến lược "Ở lại", bạn sẽ thắng nếu và chỉ khi lựa chọn đầu tiên của bạn là cánh cửa "tốt". Mặt khác, theo chiến lược "Chuyển đổi", bạn sẽ thắng nếu và chỉ khi lựa chọn đầu tiên của bạn là một cánh cửa "xấu". Xin vui lòng, suy nghĩ cẩn thận về hai trường hợp này trong một phút, đặc biệt là trường hợp thứ hai. Một lần nữa, lưu ý rằng chúng tôi chưa nói về xác suất. Nó chỉ là một vấn đề logic.

$1/3$$1/3$$2/3$

Tái bút: Năm 1990, Giáo sư Larry Denenberg đã gửi thư cho người dẫn chương trình truyền hình Monty Hall xin phép ông sử dụng trong một cuốn sách tên ông trong phần mô tả về vấn đề ba cửa nổi tiếng.

Đây là hình ảnh một phần câu trả lời của Monty cho bức thư đó, nơi chúng ta có thể đọc:

"như tôi thấy, nó sẽ không tạo ra bất kỳ sự khác biệt nào sau khi người chơi đã chọn Cửa A và đã được hiển thị Cửa C - tại sao sau đó anh ta lại cố gắng chuyển sang Cửa B?"

Do đó, chúng ta có thể kết luận một cách an toàn rằng Monty Hall (bản thân người đàn ông) đã không hiểu vấn đề của Monty Hall!

Người ta không cần biết về xác suất có điều kiện hoặc Định lý Bayes để tìm ra rằng tốt nhất là chuyển câu trả lời của bạn.

Giả sử ban đầu bạn chọn Cửa 1. Sau đó, xác suất Cửa 1 là người chiến thắng là 1/3 và xác suất Cửa 2 hoặc 3 là người chiến thắng là 2/3. Nếu Cửa 2 được hiển thị là kẻ thua cuộc bởi sự lựa chọn của chủ nhà thì xác suất 2 hoặc 3 là người chiến thắng vẫn là 2/3. Nhưng vì Cửa 2 là kẻ thua cuộc, Cửa 3 phải có xác suất 2/3 là người chiến thắng.

Bài học? Cải cách câu hỏi và tìm kiếm một chiến lược thay vì nhìn vào tình huống. Xoay thứ trên đầu, làm việc ngược lại ...

Mọi người thường rất tệ khi làm việc với cơ hội. Động vật thường có giá tốt hơn, một khi chúng phát hiện ra rằng A hoặc B có mức chi trả trung bình cao hơn ; họ dính vào sự lựa chọn với mức trung bình tốt hơn. (không có tài liệu tham khảo sẵn sàng - xin lỗi.)

Điều đầu tiên mọi người muốn làm khi xem phân phối 80/20, là trải đều các lựa chọn của họ để phù hợp với khoản thanh toán: 80% cho lựa chọn tốt hơn và 20% cho lựa chọn khác. Điều này sẽ dẫn đến khoản chi trả 68%.

Một lần nữa, có một kịch bản hợp lệ để mọi người chọn một chiến lược như vậy: Nếu tỷ lệ cược thay đổi theo thời gian, có một lý do chính đáng để gửi một thăm dò và thử lựa chọn với cơ hội thành công thấp hơn.

Một phần quan trọng của thống kê toán học thực sự nghiên cứu hành vi của các quá trình để xác định xem chúng có ngẫu nhiên hay không.

Tôi nghĩ rằng có một số điều đang xảy ra.

Đối với một, thiết lập ngụ ý thêm thông tin sau đó giải pháp sẽ tính đến. Đó là một game show, và người dẫn chương trình đang hỏi chúng tôi nếu chúng tôi muốn chuyển đổi.

Nếu bạn cho rằng người dẫn chương trình không muốn chương trình chi thêm tiền (điều này là hợp lý), thì bạn sẽ cho rằng anh ta sẽ cố gắng thuyết phục bạn thay đổi nếu bạn có đúng cửa.

Đây là một cách nhìn thông thường về vấn đề có thể khiến mọi người nhầm lẫn, tuy nhiên tôi nghĩ vấn đề chính là không hiểu sự lựa chọn mới khác nhau như thế nào trước tiên (điều này rõ ràng hơn trong trường hợp 100 cửa).

Tôi sẽ trích dẫn bài viết tuyệt vời này trên lesswrong:

Các giả thuyết có thể là Xe ở Cửa 1, Xe ở Cửa 2 và Xe ở Cửa 3; trước khi trò chơi bắt đầu, không có lý do nào để tin rằng bất kỳ một trong ba cửa nào có nhiều khả năng hơn những chiếc khác để chứa xe, và vì vậy mỗi giả thuyết này đều có xác suất trước 1/3.

Trò chơi bắt đầu với việc chúng tôi lựa chọn một cánh cửa. Tất nhiên, đó không phải là bằng chứng về việc chiếc xe đang ở đâu - tất nhiên chúng tôi cho rằng chúng tôi không có thông tin cụ thể nào về điều đó, ngoài việc nó ở đằng sau một trong những cánh cửa (đó là toàn bộ vấn đề của trò chơi!). Tuy nhiên, khi chúng tôi thực hiện điều đó, chúng tôi sẽ có cơ hội "chạy thử nghiệm" để có được một số "dữ liệu thử nghiệm": chủ nhà sẽ thực hiện nhiệm vụ mở một cánh cửa được đảm bảo để chứa một con dê. Chúng tôi sẽ đại diện cho kết quả Máy chủ mở Cửa 1 bằng một hình tam giác, kết quả Máy chủ mở Cửa 2 bằng một hình vuông và kết quả Máy chủ mở Cửa 3 bằng một hình ngũ giác - do đó khắc sâu không gian giả thuyết của chúng tôi vào các khả năng như "Xe hơi ở Cửa 1 và Máy chủ mở Cửa 2 "," Xe ở Cửa 1 và Máy chủ mở Cửa 3 ", v.v .:

Trước khi chúng tôi thực hiện lựa chọn ban đầu về một cánh cửa, chủ nhà có khả năng mở một trong hai cánh cửa chứa dê. Do đó, vào đầu trò chơi, xác suất của mỗi giả thuyết có dạng "Xe ở Cửa X và Máy chủ mở Cửa Y" có xác suất là 1/6, như được hiển thị. Càng xa càng tốt; mọi thứ vẫn hoàn toàn chính xác

Bây giờ chúng tôi chọn một cánh cửa; nói rằng chúng tôi chọn Cửa 2. Chủ nhà sau đó mở Cửa 1 hoặc Cửa 3, để lộ một con dê. Giả sử anh ta mở Cửa 1; sơ đồ của chúng tôi bây giờ trông như thế này:

Nhưng điều này cho thấy xác suất tương đương của chiếc xe đứng sau Cửa 2 và Cửa 3!

Bạn đã bắt lỗi?

Có bạn đi, đây là cách trực giác của bạn thất bại bạn.

Kiểm tra các giải pháp chính xác trong bài viết đầy đủ . Nó bao gồm :

• Giải thích định lý Bayes
• Cách tiếp cận sai của Monty Hall
• Cách tiếp cận đúng của Monty Hall
• Nhiều vấn đề hơn ...

Theo kinh nghiệm của tôi, thực tế là mọi người không tự động nhảy từ từ sang toán học. Thông thường, khi tôi lần đầu tiên trình bày nó, mọi người đã hiểu sai. Tuy nhiên, sau đó tôi mang ra một bộ bài gồm 52 lá bài và nhờ họ chọn một lá bài. Sau đó tôi tiết lộ năm mươi thẻ và hỏi họ nếu họ muốn chuyển đổi. Hầu hết mọi người sau đó nhận được nó. Họ trực giác biết rằng họ có thể đã nhận được thẻ sai khi có 52 người trong số họ và khi họ thấy năm mươi người trong số họ bị lật lại, quyết định này khá đơn giản. Tôi không nghĩ rằng đó là một nghịch lý đến mức có xu hướng tắt tâm trí trong các vấn đề toán học.