Công cụ ước tính hiệu quả từ thống kê không đầy đủ

Giả sử rằng tôi có một thống kê và tôi biết chắc chắn rằng nó không đủ để ước tính một tham số . $T(X)$ $\theta$

Vẫn có thể có một công cụ ước tính có hiệu quả (mất lồi) hay có một định lý (một cái gì đó giống như Rao-Blackwell ngược) nói rằng điều này là không thể? $\hat\theta(T(X))$

Bạn có thể trả lời câu hỏi theo định nghĩa hiệu quả của việc đạt được CRLB cho các công cụ ước tính không thiên vị hoặc sai số bình phương trung bình trên dòng thực hoặc nếu nó sẽ giúp một số biện pháp hiệu suất khác phù hợp hơn để trả lời câu hỏi.

estimators sufficient-statistics efficiency

— Cagdas Ozgenc
nguồn

Theo tôi hiểu, hiệu quả phát huy sau sự nhất quán. Nếu chúng ta có một công cụ ước tính nhất quán, thì chúng ta quan tâm để biết công cụ ước tính đó hội tụ nhanh đến tham số quan tâm (hiệu quả) nhanh như thế nào. Vì vậy, tôi nghĩ rằng bạn cũng có thể hỏi nếu có một công cụ ước tính phù hợp mà không đủ.

— StubbornAtom

@StubbornAtom Tôi đã nghĩ đến ước tính khả năng tối đa của các tham số từ gia đình không theo cấp số nhân. Chúng không đủ nhưng phù hợp không có triệu chứng và có lẽ hiệu quả. Nhưng một khi dữ liệu vô hạn liên quan có thể mọi thứ là khác nhau.

— Cagdas Ozgenc

Không hoàn toàn đúng. Họ không theo cấp số nhân. Tuy nhiên, đối với một mẫu có kích thước được rút ra từ bản phân phối này, là một thống kê đầy đủ cũng như một công cụ ước tính nhất quán cho .

U (0, θ)

$U(0,\theta)$

n

$n$

{\hat{θ}}_{MLE} = max_{1 \leq i \leq n} X_{i}

$\hat\theta_{\text{MLE}}=\max_{1\le i\le n} X_i$

θ

$\theta$

— StubbornAtom

@StubbornAtom Đó là trường hợp hỗ trợ thay đổi (ngoại lệ đối với định lý Pitman Koopman). Bạn đã bỏ lỡ quan điểm bình luận của tôi. Về cơ bản, nó không phải lúc nào cũng áp dụng.

— Cagdas Ozgenc

Suy nghĩ về nó: Đối với một mẫu có kích thước được rút ra từ phân phối Cauchy , một số lượng tử mẫu như trung vị là các ước lượng phù hợp của . Tuy nhiên, tập hợp thống kê đầy đủ duy nhất là bản thân mẫu hoặc toàn bộ số liệu thống kê đơn hàng. Nhưng tôi nghĩ rằng tôi đọc rằng trung bình mẫu là không hiệu quả trong trường hợp này. (Liên quan: stats.stackexchange.com/questions/373526/ mài ).

n

$n$

(θ, 1)

$(\theta,1)$

θ

$\theta$

— StubbornAtom

Vì [theo giả định về sự tồn tại của nó] thống kê đủ tối thiểu là một chức năng của một mẫu , một công cụ ước tính hiệu quả có thể được viết dưới dạng khiến câu hỏi trở nên khó hiểu. $S_n$ $(X_1,\ldots,X_n)$

S_{n} = S_{n} (X_{1}, \dots, X_{n})

$S_n=S_n(X_1,\ldots,X_n)$

\hat{θ} (S)

$\hat{\theta}(S)$

\hat{θ} (S (X_{1}, \dots, X_{n}))

$\hat{\theta}(S(X_1,\ldots,X_n))$

Lưu ý rằng giới hạn dưới của Cramèr-Rao chỉ đạt được bằng một công cụ ước tính hiệu quả của tham số tự nhiên trong thiết lập các họ theo cấp số nhân và cũng tồn tại nhiều trường hợp không có công cụ ước lượng không thiên vị tối thiểu thống nhất.

Cũng lưu ý rằng, bên ngoài các gia đình theo cấp số nhân, các ước tính được chấp nhận không thể đủ.

— Tây An
nguồn