Làm thế nào để chứng minh không có không gian đặc trưng chiều hữu hạn cho nhân RBF Gaussian?

Làm thế nào để chứng minh rằng đối với hàm cơ sở xuyên tâm không có không gian đặc trưng chiều hữu hạn như vậy rằng đối với một số chúng ta có ?$k(x, y) = \exp(-\frac{||x-y||^2)}{2\sigma^2})$$H$$\Phi: \text{R}^n \to H$$k(x, y) = \langle \Phi(x), \Phi(y)\rangle$

Các Moore-Aronszajn lý đảm bảo rằng một hạt nhân tích cực nhất định đối xứng có liên quan đến không gian Hilbert một tái tạo độc đáo kernel. (Lưu ý rằng mặc dù RKHS là duy nhất, nhưng bản đồ thì không.)

Do đó, câu hỏi của bạn có thể được trả lời bằng cách hiển thị RKHS chiều vô hạn tương ứng với hạt nhân Gaussian (hoặc RBF). Bạn có thể tìm thấy một nghiên cứu chuyên sâu về vấn đề này trong " Một mô tả rõ ràng về không gian Hilbert của hạt nhân sao chép của hạt nhân Gaussian RBF ", Steinwart et al.

Giả sử rằng hạt nhân Gaussian RBF được xác định trên miền X × X trong đó X chứa vô số vectơ. Người ta có thể chứng minh ( Hạt nhân Gaussian, Tại sao chúng có thứ hạng đầy đủ? ) Rằng đối với bất kỳ tập hợp các vectơ riêng biệt x 1 , . . . , X m ∈ X ma trận ( k ( x i , x j ) ) m × m không phải là số ít, có nghĩa là vectơ Φ$k(x, y)$$X \times X$$X$$x_1, ..., x_m \in X$$(k(x_i, x_j))_{m \times m}$ là tuyến tính độc lập. Do đó, một không gian đặc trưng H cho kernel k không thể có số lượng kích thước hữu hạn.$\mathrm\Phi(x_1), ..., \mathrm\Phi(x_m)$$H$$k$