Uncorrelatedness + Common Normality = Độc lập. Tại sao? Trực giác và cơ học

Hai biến không tương quan không nhất thiết phải độc lập, như được minh họa đơn giản bởi thực tế là $X$ và $X^2$ là không tương quan nhưng không độc lập. Tuy nhiên, hai biến không tương quan VÀ phân phối chung được bảo đảm là độc lập. Ai đó có thể giải thích bằng trực giác tại sao điều này là đúng? Chính xác thì tính quy tắc chung của hai biến bổ sung vào kiến thức về tương quan bằng không giữa hai biến, điều này dẫn đến kết luận rằng hai biến này PHẢI độc lập?

— ColorStatistic
nguồn

Nói chung không phải là như vậy

X

$X$ và

X^{2}

$X^2$ không tương quan (trừ khi bạn đặt điều kiện cụ thể vào

X

$X$ điều đó sẽ làm cho họ không quan tâm, nhưng bạn không đề cập đến).

— Glen_b -Reinstate Monica

Đầu tiên, quay trở lại thực tế là mối tương quan đề cập đến mối quan hệ tuyến tính, vui lòng giải thích X ^ 2 có liên quan tuyến tính với X. Thứ hai, bạn dường như nói rằng không chỉ X ^ 2 và X có thể liên quan tuyến tính với nhau, mà chúng còn liên quan tuyến tính thường xuyên hơn không, với việc sử dụng từ "nói chung". Vui lòng giải thích. Cảm ơn bạn.

— ColorStatistic

@Glen_b là tại chỗ:

X

$X$ và

X^{2}

$X^{2}$ chỉ không tương quan nếu bạn quy định cụ thể phạm vi

X

$X$ . Ví dụ: Pearson's

r \approx 0.98

$r \approx 0.98$ cho

X

$X$ và

X^{2}

$X^{2}$ khi hạn chế mẫu của

X \sim N (0, 1)

$X\sim \mathcal{N}(0,1)$ giá trị của

X

$X$ trong phạm vi lớn hơn 1. Hãy tự kiểm tra (R):X <- rnorm(n=10000); X2 <- X*X; cor(X[X>1],X2[X>1])

— Alexis

@Alexis Không chỉ là phạm vi, mà là cách xác suất phân phối trên các giá trị đó trong phạm vi. Nếu bạn thay đổi phân phối, bạn thay đổi mối tương quan.

— Glen_b -Reinstate Monica

Tương quan @ColorStatistic là mức độ của mối quan hệ tuyến tính, vâng. Tuy nhiên, hình chiếu của

x^{2}

$x^2$ trên

x

$x$ có thể liên quan đến một thành phần tuyến tính đáng kể. Nếu bạn muốn xem một ví dụ có tương quan tuyến tính cao giữa một biến và bình phương của nó, hãy để

X

$X$ lấy các giá trị 0 và 1 với xác suất bằng nhau (ví dụ: ghi lại số lượng đầu vào trong một lần tung đồng xu duy nhất). Sau đó sửa

(X, X^{2}) = 1

$(X,X^2)=1$ (!). Nếu bạn rảnh chỉ định phân phối

X

$X$ , bạn có thể tạo mối tương quan giữa

X

$X$ và

X^{2}

$X^2$ lấy bất kỳ giá trị nào giữa

- 1

$-1$ và

1

$1$ . ... ctd

— Glen_b -Reinstate Monica

Câu trả lời:

Hàm mật độ xác suất chung (pdf) của phân phối chuẩn bivariate là:

f (x_{1}, x_{2}) = = \frac{1}{2 π σ_{1} σ_{2} \sqrt{1 - ρ^{2}}} điểm kinh nghiệm [- \frac{z}{2 (1 - ρ^{2})}],

$f(x_1,x_2)=\frac 1{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp[-\frac z{2(1-\rho^2)}],$

Ở đâu

z = = \frac{(x_{1} - μ_{1})^{2}}{σ_{1}^{2}} - \frac{2 ρ (x_{1} - μ_{1}) (x_{2} - μ_{2})}{σ_{1} σ_{2}} + \frac{(x_{2} - μ_{2})^{2}}{σ_{2}^{2}} .

$z=\frac{(x_1-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\frac{2\rho(x_1-\mu_1)(x_2-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(x_2-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}.$ Khi nào

ρ = 0

$\rho = 0$ ,

\begin{aligned} f (x_{1}, x_{2}) & = = \frac{1}{2 π σ_{1} σ_{2}} điểm kinh nghiệm [- \frac{1}{2} {\frac{(x_{1} - μ_{1})^{2}}{σ_{1}^{2}} + \frac{(x_{2} - μ_{2})^{2}}{σ_{2}^{2}}}] \\ = = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ_{1}} điểm kinh nghiệm [- \frac{1}{2} {\frac{(x_{1} - μ_{1})^{2}}{σ_{1}^{2}}}] \frac{1}{\sqrt{2 π} σ_{2}} điểm kinh nghiệm [- \frac{1}{2} {\frac{(x_{2} - μ_{2})^{2}}{σ_{2}^{2}}}] \\ = = f (x_{1}) f (x_{2}) \end{aligned}

$\begin{align}f(x_1,x_2) &=\frac 1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp[-\frac 12\left\{\frac{(x_1-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}+\frac{(x_2-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right\} ]\\ & = \frac 1{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\exp[-\frac 12\left\{\frac{(x_1-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}\right\}] \frac 1{\sqrt{2\pi}\sigma_2}\exp[-\frac 12\left\{\frac{(x_2-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right\}]\\ &= f(x_1)f(x_2)\end{align}$ .

Vì vậy, họ là độc lập.

— người dùng158565
nguồn

Tôi chậm hơn hai dòng! (+1)

— jbowman

Cảm ơn tất cả. Bằng chứng thanh lịch. Bây giờ thì rõ rồi. Dường như với tôi, với dòng chảy của bằng chứng, tôi nên hỏi những kiến thức nào về tương quan bằng 0 bổ sung cho kiến thức về tính quy tắc chung chứ không phải là cách khác.

— ColorStatistic

Điều gì về một lời giải thích trực quan như tại sao nó là sự thật?

— ColorStatistic

Có lẽ không có lời giải thích đơn giản trực quan.

— dùng158565

Chúng ta có thể có được một số trực giác dọc theo lý do rằng các khoảnh khắc (hơn 2) của quá trình Gaussian đều bằng không và thêm điều kiện tương quan bằng không (khoảnh khắc 2), ghim tất cả các khoảnh khắc lớn hơn một xuống không?

— ColorStatistic

Tính quy tắc chung của hai biến ngẫu nhiên $X,Y$ có thể được đặc trưng theo một trong hai cách đơn giản:

Cho mỗi cặp $a,b$ của số thực (không ngẫu nhiên), $aX+bY$ có một phân phối bình thường đơn biến.
Có các biến ngẫu nhiên $Z_1,Z_2\sim\operatorname{\text{i.i.d.}} \operatorname N(0,1)$ và số thực $a,b,c,d$ như vậy mà
$\begin{aligned} X & = = một Z_{1} + b Z_{2} \\ và Y & = = c Z_{1} + d Z_{2} . \end{aligned}$ $\begin{align} X & = aZ_1+bZ_2 \\ \text{and } Y & = cZ_1 + dZ_2. \end{align}$

Rằng thứ nhất trong số này theo sau từ thứ hai là dễ dàng để hiển thị. Rằng thứ hai tiếp theo từ lần đầu tiên mất nhiều công sức hơn và có thể tôi sẽ đăng nó sớm. . .

Nếu điều thứ hai đúng, thì $\operatorname{cov}(X,Y) = ac + bd.$

Nếu hiệp phương sai này là $0,$ sau đó các vectơ $(a,b),$ $(c,d)$ là trực giao với nhau. Sau đó $X$ là bội số vô hướng của hình chiếu trực giao của $(Z_1,Z_2)$ trên $(a,b)$ và $Y$ trên $(c,d).$

Bây giờ kết hợp thực tế của tính trực giao với đối xứng tròn của mật độ khớp của $(Z_1,Z_2),$ để thấy rằng sự phân phối của $(X,Y)$ phải giống như phân phối của hai biến ngẫu nhiên, một trong số đó là bội số vô hướng của hình chiếu trực giao của $(Z_1,Z_2)$ lên $x$ -axis, tức là nó là bội số vô hướng của $Z_1,$ và cái kia tương tự là bội số vô hướng của $Z_2.$

— Michael Hardy
nguồn