Tại sao một chuỗi Markov hữu hạn, không thể thay đổi và có chu kỳ với ma trận ngẫu nhiên P có phân phối giới hạn đồng nhất?

Định lý là "Nếu một ma trận chuyển tiếp cho chuỗi Markov không thể thay đổi được với không gian trạng thái đặc biệt S là ngẫu nhiên, thì phép đo bất biến (duy nhất) của nó là đồng nhất trên S."

Nếu Chuỗi Markov có ma trận chuyển tiếp ngẫu nhiên gấp đôi, tôi đọc rằng xác suất giới hạn của nó tạo nên phân phối đồng đều, nhưng tôi không hiểu tại sao.

Tôi đã cố gắng đưa ra và xác định một bằng chứng dễ hiểu cho việc này. Nhưng các bằng chứng tôi tìm thấy tất cả bóng bẩy về các chi tiết tôi không hiểu, như mệnh đề 15,5 ở đây (tại sao nó chỉ hoạt động khi sử dụng các vectơ [1, ... 1]?) Ai đó có thể chỉ cho tôi (hoặc viết) thêm không bằng chứng đơn giản / chi tiết?

(Mặc dù không phải là một phần của bất cứ điều gì tôi sẽ tham gia ở trường, nhưng đó là một phần của khóa học tôi đang tham gia vì vậy tôi đoán tôi sẽ gắn thẻ nó với bài tập về nhà trong cả hai trường hợp.)

Giả sử chúng ta có chuỗi Markov không thể thay đổi và chuỗi Markov định kỳ, với các trạng thái , , với ma trận chuyển tiếp ngẫu nhiên gấp đôi (nghĩa là với mọi ). Khi đó phân phối giới hạn là .m j j = 0 , 1 , ... , M Σ M i = 0 P i , j = 1 j π j = $M+1$$m_j$$j=0,1,\ldots, M$$\sum_{i=0}^M P_{i,j}=1$$j$$\pi_j=\frac{1}{M+1}$

Bằng chứng

Đầu tiên lưu ý rằng là giải pháp duy nhất cho và .π j = ∑ M i = 0 π i P i , j ∑ M i = 0 π i = $\pi_j$$\pi_j=\sum_{i=0}^M \pi_iP_{i,j}$$\sum_{i=0}^M\pi_i=1$

Hãy thử . Điều này mang lại cho (vì ma trận gấp đôi ngẫu nhiên). Do đó là một giải pháp cho tập phương trình đầu tiên và để biến nó thành một giải pháp cho chuẩn hóa thứ hai bằng cách chia cho .$\pi_i=1$$\pi_j=\sum_{i=0}^M \pi_iP_{i,j}=\sum_{i=0}^M P_{i,j}=1$$\pi_i=1$$M+1$

Theo tính duy nhất, .$\pi_j=\frac{1}{M+1}$