Deborah Mayo đã bác bỏ bằng chứng của Birnbaum về nguyên tắc khả năng?

Điều này có phần liên quan đến câu hỏi trước đây của tôi ở đây: Một ví dụ về nguyên tắc khả năng * thực sự * quan trọng?

Rõ ràng, Deborah Mayo đã xuất bản một bài báo trong Khoa học thống kê bác bỏ bằng chứng của Birnbaum về nguyên tắc khả năng. Bất cứ ai cũng có thể giải thích lập luận chính của Birnbaum và đối số của Mayo? Là cô ấy đúng (hợp lý)?

Tóm lại, lập luận của Birnbaum là hai nguyên tắc được chấp nhận rộng rãi về mặt logic ngụ ý rằng nguyên tắc khả năng phải nắm giữ. Lập luận phản biện của Mayo là bằng chứng là sai vì Birnbaum lạm dụng một trong những nguyên tắc.

Dưới đây tôi đơn giản hóa các đối số đến mức chúng không nghiêm ngặt lắm. Mục đích của tôi là làm cho chúng có thể truy cập được đối tượng rộng hơn vì các đối số ban đầu rất kỹ thuật. Độc giả quan tâm nên xem chi tiết trong các bài viết được liên kết trong câu hỏi một trong các ý kiến.

Để cụ thể hóa, tôi sẽ tập trung vào trường hợp của một đồng tiền không rõ ràng thiên vị . Trong thí nghiệm chúng tôi lật nó 10 lần. Trong thử nghiệm chúng tôi lật nó cho đến khi chúng tôi có được 3 "đuôi". Trong thử nghiệm chúng tôi lật một đồng xu công bằng có nhãn "1" và "2": nếu nó đạt được "1", chúng tôi thực hiện ; nếu nó đạt "2", chúng tôi thực hiện . Ví dụ này sẽ đơn giản hóa rất nhiều cuộc thảo luận và sẽ thể hiện logic của các đối số (bằng chứng ban đầu tất nhiên là tổng quát hơn).$\theta$$E_1$$E_2$$E_{mix}$$E_1$$E_2$

Những quy luật:

Hai nguyên tắc sau được chấp nhận rộng rãi:

Nguyên tắc điều kiện yếu nói rằng chúng ta nên rút ra kết luận tương tự nếu chúng ta quyết định thực hiện thử nghiệm hoặc nếu chúng ta quyết định thực hiện và đồng xu rơi vào "1".$E_1$$E_{mix}$

Nguyên tắc đủ điều kiện nói rằng chúng ta nên rút ra kết luận giống nhau trong hai thí nghiệm trong đó một thống kê đầy đủ có cùng giá trị.

Nguyên tắc sau đây được Bayesian chấp nhận nhưng không phải bởi những người thường xuyên. Tuy nhiên, Birnbaum tuyên bố rằng đó là hậu quả hợp lý của hai điều đầu tiên.

Nguyên lý khả năng nói rằng chúng ta nên rút ra kết luận giống nhau trong hai thí nghiệm trong đó các hàm khả năng tỷ lệ thuận.

Định lý của Birnbaum:

Giả sử chúng tôi thực hiện và chúng tôi có được 7 "đầu" trong số mười lần lật. Hàm khả năng của là . Chúng tôi thực hiện và lật đồng xu 10 lần để có được 3 "đuôi". Hàm khả năng của là . Hai chức năng khả năng là tỷ lệ thuận.$E_1$$\theta$${10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3$$E_2$$\theta$${9 \choose 7}\theta^7(1-\theta)^3$

Birnbaum xem xét thống kê sau về từ đến : trong đó và là số "đầu" và "đuôi". Vì vậy, bất kể điều gì xảy ra, báo cáo kết quả như thể nó đến từ thử nghiệm . Hóa ra là đủ cho trong . Trường hợp duy nhất không tầm thường là khi và , trong đó chúng ta có$E_{mix}$$\{1, 2\} \times \mathbb{N}^2$$\{1, 2\} \times \mathbb{N}^2$

$$T: (\xi, x,y) \rightarrow (1, x,y),$$ $x$$y$$T$$E_1$$T$$\theta$$E_{mix}$$x = 7$$y = 3$

$$P(X_{mix}=(1,x,y)|T=(1,x,y)) = \frac{0.5 \times {10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3}{0.5 \times {10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3 + 0.5 \times {9 \choose 7}\theta^7(1-\theta)^3}=\frac{{10 \choose 3}}{{10 \choose 3}+{9 \choose 7}}.$$ Tất cả các trường hợp khác là 0 hoặc 1 - ngoại trừ , là phần bù của xác suất ở trên. Phân phối của cho độc lập với , vì vậy là một thống kê đủ cho .$P(X_{mix}=(2,x,y)|T=(1,x,y))$$X_{mix}$$T$$\theta$$T$$\theta$

Bây giờ, theo nguyên tắc đầy đủ, chúng ta phải kết luận tương tự cho và trong và từ nguyên tắc điều kiện yếu, chúng ta phải kết luận tương tự cho trong và trong , cũng như cho trong và trong . Vì vậy, kết luận của chúng tôi phải giống nhau trong mọi trường hợp, đó là nguyên tắc khả năng.$(1,x,y)$$(2,x,y)$$E_{mix}$$(x,y)$$E_1$$(1,x,y)$$E_{mix}$$(x,y)$$E_2$$(2,x,y)$$E_{mix}$

Chống đối của Mayo:

Việc thiết lập Birnbaum không phải là một thử nghiệm hỗn hợp vì kết quả của đồng tiền có nhãn "1" và "2" không được quan sát , do đó nguyên tắc điều kiện yếu không áp dụng cho trường hợp này .

Làm bài kiểm tra so với và rút ra kết luận từ giá trị p của bài kiểm tra. Theo quan sát sơ bộ, lưu ý rằng giá trị p của trong được cho bởi phân phối nhị thức là khoảng ; giá trị p của trong được cho bởi phân phối nhị thức âm khoảng .$\theta = 0.5$$\theta > 0.5$$(7,3)$$E_1$$0.1719$$(7,3)$$E_2$$0.0898$

Ở đây có phần quan trọng: giá trị p của trong được đưa ra dưới dạng trung bình của hai - hãy nhớ rằng chúng ta không biết trạng thái của đồng tiền - tức là khoảng . Tuy nhiên, giá trị p của trong - nơi quan sát thấy đồng xu - giống như trong , tức là khoảng . Nguyên tắc điều kiện yếu giữ (kết luận là giống nhau trong và trong trong đó đồng xu rơi vào "1") và nguyên tắc khả năng thì không. Ví dụ phản bác lại định lý của Birnbaum.$T=(1,7,3)$$E_{mix}$$0.1309$$(1,7,3)$$E_{mix}$$E_1$$0.1719$$E_1$$E_{mix}$

Phản bác của Peña và Berger về việc chống lại Mayo:

Mayo đã thay đổi hoàn toàn tuyên bố về nguyên tắc đầy đủ: cô diễn giải "cùng kết luận" là "cùng một phương pháp". Lấy giá trị p là một phương pháp suy luận, nhưng không phải là kết luận.

Nguyên tắc đầy đủ nói rằng nếu tồn tại một thống kê đầy đủ, thì các kết luận phải giống nhau, nhưng nó không yêu cầu phải sử dụng đủ số liệu thống kê. Nếu nó làm, nó sẽ dẫn đến một mâu thuẫn, như thể hiện bởi Mayo.