Một số câu hỏi về tính ngẫu nhiên thống kê

Từ randoness thống kê của Wikipedia :

Tính ngẫu nhiên toàn cầu và tính ngẫu nhiên cục bộ là khác nhau. Hầu hết các quan niệm triết học về tính ngẫu nhiên là toàn cầu vì chúng dựa trên ý tưởng rằng "về lâu dài" một chuỗi trông thực sự ngẫu nhiên, ngay cả khi các chuỗi con nhất định sẽ không có vẻ ngẫu nhiên. Ví dụ, trong một chuỗi ngẫu nhiên "thực sự" các số có độ dài đủ, có thể có các chuỗi dài không có gì ngoài các số không, mặc dù trên toàn bộ chuỗi có thể là ngẫu nhiên. Tính ngẫu nhiên cục bộ đề cập đến ý tưởng rằng có thể có độ dài chuỗi tối thiểu trong đó phân phối ngẫu nhiên gần đúng.Các đoạn dài của cùng một chữ số, ngay cả những chữ số được tạo bởi các quá trình ngẫu nhiên "thực sự", sẽ làm giảm "tính ngẫu nhiên cục bộ" của một mẫu (nó chỉ có thể là ngẫu nhiên cục bộ đối với các chuỗi 10.000 chữ số; các chuỗi nhỏ hơn 1.000 có thể không xuất hiện ngẫu nhiên tất cả, ví dụ).

Một trình tự thể hiện một mô hình không được chứng minh là không ngẫu nhiên về mặt thống kê. Theo các nguyên tắc của lý thuyết Ramsey, các vật thể đủ lớn nhất thiết phải chứa một cấu trúc con nhất định ("rối loạn hoàn toàn là không thể").

Tôi không hiểu ý nghĩa của hai câu in đậm.

1. Có phải câu đầu tiên có nghĩa là một cái gì đó tạo ra một chuỗi ngẫu nhiên cục bộ ở độ dài dài hơn và không phải là ngẫu nhiên cục bộ ở độ dài ngắn hơn?

   Làm thế nào để ví dụ bên trong dấu ngoặc đơn hoạt động?

2. Có phải câu thứ hai có nghĩa là một chuỗi thể hiện một mẫu không thể được chứng minh là không ngẫu nhiên về mặt thống kê? Tại sao?

Cảm ơn

Khái niệm này có thể được minh họa gọn gàng bởi một số mã thực thi. Chúng tôi bắt đầu (bằng R) bằng cách sử dụng trình tạo số ngẫu nhiên giả tốt để tạo chuỗi 10.000 số không và số không:

set.seed(17)
x <- floor(runif(10000, min=0, max=2))

Điều này vượt qua một số bài kiểm tra số ngẫu nhiên cơ bản. Ví dụ, một t-test để so sánh giá trị trung bình để có giá trị p của 40,09 %, trong đó cho phép chúng ta chấp nhận giả thuyết rằng số không và những người được bình đẳng với khả năng.$1/2$$40.09$

Từ những con số này, chúng tôi tiến hành trích xuất một chuỗi giá trị liên tiếp bắt đầu từ giá trị thứ 5081:$1000$

x0 <- x[1:1000 + 5080]

Nếu chúng trông có vẻ ngẫu nhiên, chúng cũng sẽ vượt qua các bài kiểm tra số ngẫu nhiên tương tự. Chẳng hạn, hãy kiểm tra xem giá trị trung bình của chúng là 1/2:

> t.test(x0-1/2)

    One Sample t-test

data:  x0 - 1/2 
t = 2.6005, df = 999, p-value = 0.009445
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 
95 percent confidence interval:
 0.01006167 0.07193833 
sample estimates:
mean of x 
    0.041 

P có giá trị thấp (dưới 1%) mạnh mẽ cho thấy giá trị trung bình là đáng kể hơn so với . Thật vậy, tổng tích lũy của chuỗi này có xu hướng tăng mạnh:$1/2$

> plot(cumsum(x0-1/2))

Đó không phải là hành vi ngẫu nhiên!

So sánh chuỗi ban đầu (được vẽ dưới dạng tổng cộng) với chuỗi này cho thấy điều gì đang xảy ra:

Chuỗi dài thực sự hoạt động như một bước đi ngẫu nhiên - như nó phải - nhưng các dãy riêng tôi chiết xuất chứa sự trỗi dậy trở lên dài nhất trong số tất cả subsequences của cùng độ dài. Có vẻ như tôi cũng có thể trích xuất một số phần tiếp theo khác thể hiện hành vi "không hợp lý", chẳng hạn như một tập trung vào khoảng , trong đó có khoảng 20 cái liên tiếp xuất hiện!$9000$

Như những phân tích đơn giản này đã chỉ ra, không có thử nghiệm nào có thể "chứng minh" rằng một chuỗi xuất hiện ngẫu nhiên. Tất cả những gì chúng ta có thể làm là kiểm tra xem các chuỗi có đủ lệch khỏi các hành vi dự kiến ​​của các chuỗi ngẫu nhiên để đưa ra bằng chứng rằng chúng không phải là ngẫu nhiên hay không . Đây là cách pin của các thử nghiệm số ngẫu nhiên hoạt động: chúng tìm kiếm các mẫu rất khó phát sinh trong chuỗi số ngẫu nhiên. Cứ sau một thời gian, chúng sẽ khiến chúng ta kết luận rằng một chuỗi số thực sự ngẫu nhiên không xuất hiện ngẫu nhiên: chúng ta sẽ từ chối nó để thử một thứ khác.

Tuy nhiên, về lâu dài - giống như tất cả chúng ta đều đã chết - bất kỳ trình tạo số thực sự ngẫu nhiên nào cũng sẽ tạo ra mọi chuỗi 1000 chữ số có thể, và nó sẽ làm như vậy vô cùng nhiều lần. Điều giải cứu chúng ta khỏi một tình huống khó khăn hợp lý là chúng ta sẽ phải chờ một thời gian rất dài để xảy ra hiện tượng quang sai rõ ràng như vậy.

Đoạn trích này sử dụng thuật ngữ "tính ngẫu nhiên cục bộ" và "tính ngẫu nhiên toàn cầu" để phân biệt giữa những gì có thể xảy ra với số lượng mẫu hữu hạn của một biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất hoặc kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên.

$x_i$$\{0,1\}$$\theta$$\theta$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i = \theta$

$[0,1]$$[a,b]$$0 \leq a < b \leq 1$$\theta$

Không có gì mới ở đây.

$n$

Vì vậy, tôi sẽ không đốt quá nhiều tế bào não khi nghĩ về đoạn trích này. Nó không chính xác về mặt toán học và thực sự sai lệch về bản chất của sự ngẫu nhiên.

Chỉnh sửa dựa trên nhận xét: @kjetilbhalvorsen +1 để nhận xét của bạn về kiến ​​thức lịch sử. Tuy nhiên, tôi vẫn nghĩ rằng giá trị của các điều khoản này là hạn chế và sai lệch. Các bảng mà bạn mô tả dường như đưa ra hàm ý sai lệch rằng các mẫu nhỏ, ví dụ, mẫu có nghĩa là khác xa với giá trị dự kiến ​​thực tế hoặc có lẽ là một chuỗi dài 0 không thể lặp lại (trong ví dụ Bernoulli của tôi), bằng cách nào đó thể hiện ít ngẫu nhiên hơn (bằng cách nói rằng họ không thể hiện "sự ngẫu nhiên cục bộ" giả mạo này). Tôi không thể nghĩ bất cứ điều gì sai lệch hơn cho các nhà thống kê vừa chớm nở!

Tôi nghĩ rằng các tác giả của bài viết Wikipedia là hiểu sai ngẫu nhiên. Đúng, có thể có những trải dài dường như không phải là ngẫu nhiên, nhưng nếu quá trình tạo ra chuỗi này thực sự ngẫu nhiên, thì phải là đầu ra. Nếu một số trình tự nhất định dường như không ngẫu nhiên, đó là một nhận thức sai lầm của người đọc (tức là con người được thiết kế để tìm các mẫu). Khả năng chúng ta nhìn thấy Bắc Đẩu và Orion, v.v. trên bầu trời đêm là không có bằng chứng nào cho thấy mô hình của các ngôi sao là không hợp lý. Tôi đồng ý rằng sự ngẫu nhiên thường xuất hiện không ngẫu nhiên. Nếu một quy trình tạo ra các mẫu thực sự không hợp lý cho các chuỗi ngắn, thì đó không phải là một quy trình ngẫu nhiên.

Tôi không nghĩ rằng quy trình thay đổi ở các cỡ mẫu khác nhau. Bạn tăng kích thước mẫu, bạn tăng xác suất mà chúng ta thấy một chuỗi ngẫu nhiên xuất hiện với chúng ta là không hợp lệ. Nếu có 10% cơ hội chúng ta sẽ thấy một mẫu trong 20 lần quan sát ngẫu nhiên, việc tăng tổng số quan sát lên 10000 sẽ làm tăng khả năng chúng ta sẽ thấy sự không hợp lý, ở đâu đó.