Phân phối chuẩn thông thường trên một không gian con

Đặt là một không gian vectơ với . Một phân phối chuẩn chuẩn trên là định luật của một vectơ ngẫu nhiên lấy các giá trị trong và sao cho tọa độ của trong một ( trong bất kỳ) cơ sở trực giao của là một vectơ ngẫu nhiên làm bằng phân phối chuẩn chuẩn độc lập . $U \subset \mathbb{R}^n$ $\dim(U)=d$ $U$ $X=(X_1, \ldots, X_n)$ $U$ $X$ $\iff$ $U$ $d$ ${\cal N}(0, 1)$

Khi đọc câu hỏi này tôi đã tự hỏi mình câu hỏi sau đây. Đặt là phân phối chuẩn thông thường trên . Có đúng là phân phối có điều kiện của cho là phân phối chuẩn chuẩn trên không? $Y=(Y_1, \ldots, Y_n)$ $\mathbb{R}^n$ $Y$ $Y \in U$ $U$

Định mức bình phương của có phân phối . Do đó, nếu điều này là đúng, điều đó sẽ giải thích cho yêu cầu của @ Argha. ${\Vert X \Vert}^2$ $X$ $\chi^2_d$

Xin lỗi nếu LaTeX bị nhập sai, tôi không thấy kết xuất LaTeX :(

EDIT 01/10/2012: Ok tôi hiểu rồi. Viết $y=u+v$ sự phân rã trực giao của $y$ trong $U\oplus U^\perp$ . Khi đó

Pr (Y \in d y \cap Y \in U) = Pr (P_{U} Y \in d u)

$\Pr(Y\in \mathrm{d}y \cap Y \in U)=\Pr(P_U Y \in \mathrm{d}u)$ . Đó là chương trình đó

(Y ∣ Y \in U) \sim P_{U} Y

$(Y \mid Y \in U) \sim P_U Y$ . Đây là một chút heuristic nhưng đúng về mặt đạo đức. Cuối cùng nó là rõ ràng từ định nghĩa rằng

P_{U} Y

$P_U Y$ là tiêu chuẩn bình thường trên

U

$U$ .

normal-distribution conditioning

— Stéphane Laurent
nguồn

Điều này có quá rõ ràng không khi bạn lưu ý rằng một cơ sở trực giao cho luôn có thể được xây dựng bằng cách mở rộng bất kỳ cơ sở trực giao nào cho ? (Một bằng chứng: sử dụng Gram-Schmidt trên bất kỳ tiện ích mở rộng nào, cho dù là trực giao hay không.) Trong cơ sở này, PDF có thể tách rời và fortiori là tiêu chuẩn thông thường trên , QED.

R^{n}

$\mathbb{R}^n$

U

$U$

U

$U$

— whuber

@whuber Xin vui lòng bạn có thể giải thích trong một câu trả lời? Làm thế nào để bạn có được phân phối có điều kiện?

— Stéphane Laurent

Bạn chỉ cần nhìn vào nó! Khi một yếu tố PDF hoàn toàn liên tục là , thì (a) và là độc lập và (b) và là các phân phối có điều kiện .

f (x, y)

$f(x,y)$

f_{x} (x) f_{y} (y)

$f_x(x)f_y(y)$

X

$X$

Y

$Y$

f_{x}

$f_x$

f_{y}

$f_y$

— whuber

@whuber Tôi vừa đi làm về. Tôi sẽ suy nghĩ về điều này sau. Cảm ơn. Tất nhiên tôi tin rằng điều này là hiển nhiên nhưng tôi mệt mỏi.

— Stéphane Laurent

Đúng. Bạn có là không gian con của . Đặt và là ma trận chiếu trực giao trên , sao cho đối xứng và không đối xứng. Sau đó . Đây là một phân phối chuẩn số ít, mà trên không gian con là tiêu chuẩn thông thường trên không gian con đó. Là một phân phối đặc biệt, nó không có một mật độ liên quan đến đo lường khối lượng với , nhưng nó vẫn có một mật độ đối với (-dim thấp hơn) đo âm lượng trên với . $U$ $\mathbb R^n$ $Y \sim \text{N}(0,I)$ $P$ $U$ $P$ $PY \sim \text{N}(P0,PIP^T) = \text{N}(0,P)$ $U$ $\mathbb R^n$ $U$

— kjetil b halvorsen
nguồn

Tôi không thấy nơi bạn chứng minh rằng có luật tương tự như điều kiện với ?

P Y

$PY$

Y

$Y$

Y \in U

$Y \in U$

— Stéphane Laurent

Lưu ý rằng một cách trừu tượng, xác suất có điều kiện (thực sự kỳ vọng, để có được một không gian tuyến tính ...) là một phép chiếu! Vì vậy, điều hòa trên , khi là một không gian con, cũng giống như chiếu trên .

Y \in U

$Y \in U$

U

$U$

U

$U$

— kjetil b halvorsen

Xin lỗi nhưng yêu cầu của bạn không có ý nghĩa.

— Stéphane Laurent

Đó là trực giác, một bằng chứng có lẽ phải khác. Tôi hết thời gian bây giờ, nhưng lưu ý rằng phân phối chuẩn nhiều chiều có thể được xác định bằng cách xác định (bình thường) phân phối của tất cả các tổ hợp tuyến tính của các thành phần của . Khi ma trận hiệp phương sai là chiếu , chọn như một cơ sở trực chuẩn của . có thể được viết . Chọn làm hệ số cho tổ hợp tuyến tính trên , bạn sẽ thấy phương sai là một. Chọn hệ số một vectơ trực giao một chiều dài với , bạn sẽ thấy phương sai bằng không.

Y

$Y$

P

$P$

u_{1}, \dots, u_{k}

$u_1, \dots, u_k$

U

$U$

P

$P$

P = \sum u_{i} u_{i}^{T}

$P=\sum u_i u_i^T$

u_{i}

$u_i$

U

$U$

— kjetil b halvorsen

Vì vậy, sự phân bố của trùng với tiêu chuẩn bình thường trong , đó là phân phối có điều kiện của cho .

P Y

$P Y$

U

$U$

Y

$Y$

Y \in U

$Y \in U$

— kjetil b halvorsen