Giá trị kỳ vọng của một logarit tự nhiên

22

Tôi biết với các hằng số , do đó với , thật dễ dàng để giải quyết. Tôi cũng biết rằng bạn không thể áp dụng điều đó khi hàm phi tuyến của nó, như trong trường hợp này là và để giải quyết điều đó, tôi đã phải thực hiện xấp xỉ với Taylor's. Vì vậy, câu hỏi của tôi là làm thế nào để tôi giải quyết ?? Tôi cũng gần đúng với Taylor phải không? $E(aX+b) = aE(X)+b$ $a,b$ $E(X)$ $E(1/X) \neq 1/E(X)$ $E(\ln(1+X))$

mathematical-statistics

— Matt
nguồn

4

Có, bạn có thể áp dụng phương pháp delta trong trường hợp này.

— Michael R. Chernick

5

Bạn cũng nên xem xét bất bình đẳng Jensen.

— kjetil b halvorsen

27

Trong bài báo

YW Teh, D. Newman và M. Welling (2006), Thuật toán suy luận biến đổi Bayesian bị thu hẹp cho phân bổ Dirichlet tiềm ẩn , NIPS 2006 , 1353 bóng1360.

một thứ hai Taylor mở rộng xung quanh được sử dụng để xấp xỉ : $x_0=\mathbb{E}[x]$ $\mathbb{E}[\log(x)]$

E [\log (x)] \approx \log (E [x]) - \frac{V [x]}{2 E [x]^{2}} .

$\mathbb{E}[\log(x)]\approx\log(\mathbb{E}[x])-\frac{\mathbb{V}[x]}{2\mathbb{E}[x]^2} \>.$

Sự gần đúng này dường như hoạt động khá tốt cho ứng dụng của họ.

Sửa đổi điều này một chút để phù hợp với câu hỏi trong năng suất tay, theo tuyến tính của kỳ vọng,

E [đăng nhập (1 + x)] \approx đăng nhập (1 + E [x]) - \frac{V [x]}{2 (1 + E [x])^{2}} .

$\mathbb{E}[\log(1+x)]\approx\log(1+\mathbb{E}[x])-\frac{\mathbb{V}[x]}{2(1+\mathbb{E}[x])^2} \>.$

Tuy nhiên, điều có thể xảy ra là bên trái hoặc bên phải không tồn tại trong khi bên kia thì không, và vì vậy cần thận trọng khi sử dụng xấp xỉ này.

— người dùng1149913
nguồn

3

Thật thú vị, Điều này có thể được sử dụng để có được một xấp xỉ cho hàm digamma.

— xác suất

6

Ngoài ra, nếu bạn không cần một biểu thức chính xác cho , thông thường, giới hạn được đưa ra bởi bất đẳng thức của Jensen là đủ tốt: $\text{E}[\log(X + 1)]$

đăng nhập [E (X) + 1] \geq E [đăng nhập (X + 1)]

$\log [\text{E}(X) + 1] \geq\text{E}[\log(X + 1)]$

— DSaxton
nguồn

chỉ muốn thêm: nếu không thể tính toán trực tiếp và bạn nhìn vào một biến duy nhất , bất đẳng thức của jensen là về tùy chọn duy nhất của bạn để có được bất kỳ kết quả hữu ích nào. trong khi gần đúng taylor đề xuất có thể thực sự hoạt động trong Praxis, không có lời biện minh lý thuyết nào có thể được sử dụng để thúc đẩy việc xóa các điều khoản còn lại. (điều đó đang được nói: hãy nhớ rằng chuỗi ln (1 + x) vô hạn chỉ hội tụ trong một bán kính | x | <1).)

X

$X$

— chRrr

Tôi nghĩ nó sẽ là vì bị lõm xuống.

\geq

$\ge$

\log

$\log$

— Sâu Bắc

5

Giả sử có mật độ xác suất . Trước khi bạn bắt đầu xấp xỉ, hãy nhớ rằng, đối với bất kỳ hàm có thể đo lường nào , bạn có thể chứng minh rằng theo nghĩa là nếu tích phân thứ nhất tồn tại, thì thứ hai cũng vậy và chúng có cùng giá trị. $X$ $f_X$ $g$

E [g (X)] = \int g (X) d P = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) f_{X} (x) d x,

$E[g(X)]=\int g(X)\,dP = \int_{-\infty}^\infty g(x)\,f_X(x)\,dx \, ,$

— Thiền
nguồn

1

Nếu tích phân thứ hai tồn tại. Nó không cần phải như vậy. Lấy phân phối Cauchy và .

g (x) = x^{2}

$g(x)=x^2$

— mpiktas

Tôi sẽ thêm một lớp thứ hai bằng cách nói rằng bạn thực sự cần để kỳ vọng được xác định rõ.

E [| g (X) |] < \infty

$E[|g(X)|]<\infty$

— xác suất

2

@mpiktas - Kỳ vọng này thực sự tồn tại nhưng nó là vô hạn. Một ví dụ tốt hơn là cho phân phối Cauchy. Kỳ vọng này phụ thuộc vào cách giới hạn dưới và trên của sự tích hợp có xu hướng vô cùng.

g (x) = x

$g(x)=x$

— xác suất

2

@prob: Không, bạn không cần điều kiện đó trong bình luận đầu tiên của mình và ngay cả trong tình huống có thể rất phù hợp với câu hỏi này! ( Tuy nhiên, +1 cho nhận xét thứ hai của bạn , đó cũng là điều mà tôi có ý định bình luận.)

— Hồng y

2

@prob: Thế là đủ , nhưng nếu bạn so sánh bình luận đầu tiên của bạn với bình luận thứ hai, bạn sẽ thấy tại sao nó không cần thiết ! :-)

— hồng y

4

Có hai cách tiếp cận thông thường:

$X$ $\ln(1+X)$ $\ln(1+x) f_{X}(x)$ $x$
Như bạn đề xuất, nếu bạn biết một vài khoảnh khắc đầu tiên, bạn có thể tính xấp xỉ Taylor.

— Glen_b -Reinstate Monica
nguồn