Điều đó có nghĩa gì khi nói rằng có một bản phân phối Bình thường của điểm chung?

Một câu hỏi tập thể dục

Đặt là rvs có phân phối chuẩn chung với . Tính hệ số phụ thuộc đuôi trên cho tất cả .$X_1, X_2$$N(0,1)$$\operatorname{Corr}(X_1, X_2) = \rho$$\rho \in [-1, 1]$

Điều đó có nghĩa là gì khi nói rằng chúng có phân phối chuẩn "chung"?

Suy nghĩ đầu tiên của tôi là chúng có nghĩa là cả và đều là các biến phân phối bình thường . Tuy nhiên, nếu đó là sự thật, thì câu hỏi không có ý nghĩa gì. Sự phụ thuộc đuôi không thể được tính toán.$X_1$$X_2$$N(0,1)$

Vì vậy, tôi còn lại để tin rằng bởi phân phối Bình thường "thông thường", họ có nghĩa là phân phối Bình thường bivariate?

Nó có nghĩa là hai điều là đúng.

Đầu tiên:

$$P(X_1 < t) = P(X_2 < t)$$

cho tất cả các số thực (ví dụ, và có cùng một phân phối, thường là viết tắt equidistributed được sử dụng để mô tả tình trạng này).$t$$X_1$$X_2$

Thứ hai:

$$P(X_1 < t) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^t e^{\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}} \,\text{d}x$$

đối với một số số cố định và (nghĩa là phân phối (*) là phân phối bình thường).$\mu$$\sigma$$X_1$

Điều này không ngụ ý rằng là khớp bình thường mà không cần giả định thêm. Nếu đó là dự định, đó không phải là những gì tác giả thực sự đã viết.$(X_1, X_2)$

(*) Với điều kiện đầu tiên, điều này ngụ ý rằng phân phối cũng là phân phối bình thường.$X_2$

Tôi nghĩ "chung" ở đây chỉ có nghĩa là phân phối cận biên là chung cho cả hai biến ngẫu nhiên (nghĩa là chúng có cùng phân phối biên). Mặc dù về mặt kỹ thuật, điều này là không đủ để đưa ra một phân phối bình thường, nhưng tôi nghĩ rằng người viết có thể dự định hình thức đó:$\text{N}(0,1)$

$$\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} \sim \text{N} \Big( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{bmatrix} \Big).$$

Thông số kỹ thuật đó sẽ mang lại các phân phối biên chung và . Nếu tôi là bạn, tôi sẽ đề nghị lưu ý đến tính kỹ thuật này, và sau đó tiến hành trên cơ sở các biến ngẫu nhiên là hai biến số bình thường. Bạn có thể muốn lưu ý vấn đề một lần nữa như một lời cảnh báo một khi bạn đưa ra câu trả lời của mình.$X \sim \text{N}(0,1)$$Y \sim \text{N}(0,1)$

Các bài tập là phrased xấu. Tôi nghi ngờ những gì có nghĩa là hai biến ngẫu nhiên là cùng bình thường và có một phân phối chung. Nếu chúng riêng biệt bình thường nhưng không chung bình thường, thì bạn không có đủ thông tin để trả lời câu hỏi. Nếu nghi ngờ của tôi là đúng, sau đó thực hiện nên đã cho biết họ đang cùng nhau bình thường.

Để có một phân phối "chung" đơn giản là cả hai đều có cùng một phân phối. Do đó:

$$\begin{align} \require{cancel} & \left[ \begin{array}{l} X_1 \\ X_2 \end{array} \right] \sim \xcancel{\operatorname N\left( \left[ \begin{array}{l} \mu_1 \\ \mu_2 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} \sigma_1^2 & \rho \sigma_1\sigma_2 \\ \rho\sigma_1\sigma_2 & \sigma_2^2 \end{array} \right] \right)} & & \longleftarrow \text{ not common} \\[10pt] & \left[ \begin{array}{l} X_1 \\ X_2 \end{array} \right] \sim \operatorname N\left( \left[ \begin{array}{l} \mu \\ \mu \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} \sigma^2 & \rho \sigma^2 \\ \rho\sigma^2 & \sigma^2 \end{array} \right] \right) & & \longleftarrow\text{ common} \end{align}$$ $X_i\sim\operatorname N(\mu,\sigma^2)$ cho do đó mỗi loại được phân phối bình thường và chúng có phân phối chung.$i=1,2,$