Xác suất của

9

Giả sử $X_1$ và $X_2$ là các biến ngẫu nhiên hình học độc lập với tham số $p$ . Xác suất đó là những gì $X_1 \geq X_2$ ?

Tôi bối rối về câu hỏi này bởi vì chúng tôi không nói gì về $X_1$ và $X_2$ ngoài chúng là hình học. Đây sẽ không phải là $50\%$ vì $X_1$ và $X_2$ có thể là bất cứ thứ gì trong phạm vi?

EDIT: Nỗ lực mới

$P(X1 ≥ X2) = P(X1 > X2) + P(X1 = X2)$

$P(X1 = X2)$ = $\sum_{x}$ $(1-p)^{x-1}p(1-p)^{x-1}p$ = $\frac{p}{2-p}$

$P(X1 > X2)$ = $P(X1 < X2)$ và $P(X1 < X2) + P(X1 > X2) + P(X1 = X2) = 1$

Do đó, $P(X1 > X2)$ = $\frac{1-P(X1 = X2)}{2}$ = $\frac{1-p}{2-p}$
Thêm $P(X1 = X2)=\frac{p}{2-p}$ vào đó, tôi nhận được $P(X1 ≥ X2)$ = $\frac{1}{2-p}$

Điều này có đúng không?

self-study random-variable geometric-distribution

— IrCa
nguồn

3

Vui lòng thêm thẻ 'tự học'.

— StubbornAtom

1

Trên thực tế bởi vì X1và X2là các biến rời rạc, sự bình đẳng làm cho mọi thứ trở nên ít rõ ràng hơn.

— usεr11852

13

Không thể là $50\%$ vì $P(X_1=X_2)>0$

Một cách tiếp cận:

Xét ba sự kiện $P(X_1>X_2), P(X_2>X_1)$ và $P(X_1=X_2)$ , phân vùng không gian mẫu.

Có một kết nối rõ ràng giữa hai người đầu tiên. Viết một biểu thức cho phần ba và đơn giản hóa. Do đó giải quyết câu hỏi.

— Glen_b -Reinstate Monica
nguồn

Tôi chỉnh sửa, bài viết của tôi với câu trả lời mới của tôi. Bạn có thể xem và xem nó có đúng không?

— IrCa

1

P (X_{1} \geq X_{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} P (X_{1} = X_{2})

$P(X_1\geq X_2)=\frac12 + \frac12 P(X_1=X_2)$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

6

Câu trả lời của bạn, theo gợi ý của Glen, là chính xác. Một cách khác, kém thanh lịch, chỉ là để điều kiện:

\begin{aligned} Pr {X_{1} \geq X_{2}} & = \sum_{k = 0}^{\infty} Pr {X_{1} \geq X_{2} ∣ X_{2} = k} Pr {X_{2} = k} \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{ℓ = k}^{\infty} Pr {X_{1} = ℓ} Pr {X_{2} = k} . \end{aligned}

$\begin{align} \Pr\{X_1\geq X_2\} &= \sum_{k=0}^\infty \Pr\{X_1\geq X_2\mid X_2=k\} \Pr\{X_2=k\} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \sum_{\ell=k}^\infty \Pr\{X_1=\ell\}\Pr\{X_2=k\}. \end{align}$

$1/(2-p)$

— thiền học
nguồn

4

lưu ý - cách của bạn là tốt hơn để áp dụng cho các vấn đề mới tôi nghĩ. Bởi vì nó dựa trên các nguyên tắc đầu tiên. Thủ thuật / intuiton từ câu trả lời của glen_b thường xuất hiện sau khi vấn đề đã được giải quyết theo cách của bạn

— xác suất

3

@probabilityislogic Tôi chia sẻ sự nhiệt tình của bạn đối với các dẫn xuất từ "nguyên tắc đầu tiên". Tuy nhiên, đối với một nhà toán học hiện đại, tìm kiếm và khai thác tính đối xứng thậm chí còn cơ bản hơn các nguyên tắc (định nghĩa) đầu tiên mà bạn đề cập: chúng ta có thể gọi nó là một phép ẩn dụ của toán học. Nó không chỉ là một "mánh khóe".

— whuber