Không thể hiểu tại sao lấy mẫu từ chối hoạt động

7

Tôi muốn tạo điểm mẫu $\{z_i\}$ trong một hình dạng 2D tùy ý, ví dụ: một vòng tròn có tâm ở gốc tọa độ có bán kính 1. Lấy mẫu từ chối cho biết:

Nhìn vào 2 biến ngẫu nhiên thống nhất trên $[0,1]$ , $X$ và $Y$ .
Mẫu vật $X$ và $Y$ , bạn lấy $x$ và $y$ , hãy cùng nói nào.
Kiểm tra nếu $x^2+y^2\leq 1$ :
- Nếu có, $z=(x,y)$ .
- nếu không, mẫu $X$ và $Y$ Cho đến khi điều kiện được thỏa mãn.

Tại sao điều này hoạt động, tức là tại sao điều này mô phỏng lấy mẫu một biến ngẫu nhiên $Z$ được phân phối đồng đều trên một đĩa?

uniform rejection-sampling

— ToniAz
nguồn

@AdamO Tôi nghĩ rằng WLLN là không liên quan, bởi vì câu hỏi là về thủ tục và không giới hạn các thuộc tính của dữ liệu. Nó đủ để chứng minh rằng khi

A

$A$ là một tập hợp có thể đo được trong mặt phẳng, quy trình này rút ra các điểm độc lập với

A

$A$ với xác suất tỷ lệ thuận với diện tích

A \cap D^{2}

$A \cap D^2$ (Ở đâu

D^{2}

$D^2$ là đĩa đơn vị trong câu hỏi).

— whuber

@AdamO, OP chưa bày tỏ sự quan tâm đến việc đo diện tích hình tròn. Họ mở đầu câu hỏi bằng "Tôi muốn tạo mẫu". Nếu họ quan tâm đến việc ước tính khu vực, thì nhận xét của bạn là hợp lệ, cho họ hiểu làm thế nào các mẫu thu được từ lấy mẫu từ chối là đại diện. Tuy nhiên, họ muốn biết, tại sao các mẫu thu được là đại diện.

— Greenparker

@Greenparker cảm ơn tôi thấy tại sao tôi hiểu nhầm câu hỏi.

— AdamO

2

Nói chung, để lấy mẫu từ một phân phối với mật độ $f(x,y)$ hỗ trợ $\mathcal{S}$ , nếu sử dụng phân phối đề xuất với mật độ $h(x,y)$ , chung ta cân tim $M$ như vậy mà

sup_{(x, y) \in S} \frac{f (x, y)}{h (x, y)} \leq M,

$\sup_{(x,y) \in\mathcal{S}} \dfrac{f(x,y)}{h(x,y)} \leq M,$

để chúng tôi có thể chấp nhận giá trị đề xuất với xác suất

α = \frac{f (x, y)}{M h (x, y)} .

$\alpha = \dfrac{f(x,y)}{Mh(x,y)}\,.$

Chấp nhận với tương đương với vẽ và chấp nhận nếu . $\alpha$ $U \sim U[0,1]$ $U < \alpha$

Tôi giả sử bạn hiểu tiền đề chung này của việc từ chối lấy mẫu. Vì vậy, trong ví dụ này về việc vẽ các mẫu từ vòng tròn bằng cách sử dụng một đề xuất vuông thống nhất,

f (x, y) = \frac{1}{π} \cdot I (\underset{= S}{\underset{⏟}{x^{2} + y^{2} < 1}}) and h (x, y) = \frac{1}{4} I (- 1 < x, y < 1) .

$f(x,y) = \dfrac{1}{\pi} \cdot I(\underbrace{x^2 + y^2 <1}_{=\mathcal{S}}) \quad \text{ and }\quad h(x,y) = \dfrac{1}{4} I(-1 < x,y < 1)\,.$

Trước tiên, hãy tìm . Trong sự hỗ trợ của , $M$ $f$

sup_{x^{2} + y^{2} \leq 1} \frac{f (x, y)}{h (x, y)} = sup_{x^{2} + y^{2} \leq 1} \frac{I (x^{2} + y^{2} \leq 1) / π}{1 / 4} = \frac{4}{π} := M .

$\sup_{x^2 + y^2 \leq 1} \dfrac{f(x,y)}{h(x,y)} = \sup_{x^2 + y^2 \leq 1} \dfrac{ I(x^2 + y^2 \leq 1)/ \pi}{1/4} = \dfrac{4}{\pi} := M\,.$

Vì vậy, mọi giá trị được đề xuất từ hình vuông sẽ được mong đợi với xác suất

\frac{f (x, y)}{M h (x, y)} = \frac{I (x^{2} + y^{2} \leq 1) / π}{M / 4} = I (x^{2} + y^{2} \leq 1) .

$\dfrac{f(x,y)}{M{h(x,y)}} = \dfrac{I(x^2 + y^2 \leq 1)/\pi}{M/{4}} = I(x^2 + y^2 \leq 1)\,.$

Vì vậy, đối với bất kỳ giá trị nào được đề xuất trong hỗ trợ của , sẽ luôn nhỏ hơn , vì vậy chúng tôi sẽ luôn chấp nhận. Do đó, không cần lấy mẫu từ và bất cứ khi nào điểm lấy mẫu nằm trong vòng tròn, chúng ta có thể chấp nhận nó ngay lập tức. $f$ $U\sim U[0,1]$ $1$ $U$

— Công viên xanh
nguồn

2

Trước hết, bạn cần và phân phối giữa và ( cung cấp cho bạn một phần tư vòng tròn vì bạn chỉ nhìn vào và ). $x$ $y$ $-1$ $1$ $[0,1]$ $y \ge 0$ $x \ge0$

Sau đó, bạn nhận ra rằng bạn đã có hai danh sách các biến được phân phối ngẫu nhiên dọc theo trục và - hai dòng có phân phối điểm ngẫu nhiên. Kết hợp những điều này và bạn đã có một hình vuông các điểm phân phối ngẫu nhiên. $X$ $Y$

Sau đó, bạn từ chối các bit của hình vuông không nằm trong một vòng tròn có tâm ở - do đó - và tất cả các điểm thỏa mãn bất đẳng thức này sẽ nằm trên đĩa và, vì các điểm trên hình vuông được phân bố đồng đều nên các điểm trên đĩa cũng vậy. $(0,0)$ $x^{2}+y^{2}\le1$

— Lio Elbammalf
nguồn

1

Bạn đã chọn bất kỳ điểm nào trong [0,1] x [0,1] với xác suất bằng nhau. Sau đó, bạn loại bỏ tất cả những người ở ngoài vòng tròn.

Điều này không làm thay đổi xác suất được chọn cho từng điểm riêng lẻ trong vòng tròn (nghĩa là: bất kỳ điểm nào trong vòng tròn vẫn có cùng xác suất được chọn như bất kỳ điểm nào khác)

— David
nguồn