Khi nào

Câu hỏi:

$X_n\stackrel{d}{\rightarrow}X$ và $Y_n\stackrel{d}{\rightarrow}Y \stackrel{?}{\implies} X_n+Y_n\stackrel{d}{\rightarrow}X+Y$

Tôi biết rằng điều này không giữ chung; Định lý Slutsky chỉ áp dụng khi một hoặc cả hai sự hội tụ có xác suất.

Tuy nhiên, đang có trường hợp trong đó nó không giữ?

Chẳng hạn, nếu các chuỗi và là độc lập. $X_n$ $Y_n$

— mai
nguồn

Câu trả lời:

Chính thức hóa câu trả lời @Ben, tính độc lập gần như là một điều kiện đủ, bởi vì chúng ta biết rằng hàm đặc trưng của tổng hai RV độc lập là sản phẩm của các hàm đặc trưng cận biên của chúng. Đặt

Z_{n} = X_{n} + Y_{n}

$Z_n = X_n + Y_n$ . Dưới sự độc lập của

X_{n}

$X_n$ và

Y_{n}

$Y_n$ ,

ϕ_{Z_{n}} (t) = ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)

$\phi_{Z_n}(t) = \phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)$

Vì thế

lim ϕ_{Z_{n}} (t) = lim [ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)]

$\lim \phi_{Z_n}(t) =\lim \Big [\phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)\Big]$

và chúng ta có (vì chúng ta giả sử rằng $X_n$ và $Y_n$ hội tụ)

lim [ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)] = lim ϕ_{X_{n}} (t) \cdot lim ϕ_{Y_{n}} (t) = ϕ_{X} (t) \cdot ϕ_{Y} (t)

$\lim \Big [\phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)\Big] = \lim \phi_{X_n}(t)\cdot \lim \phi_{Y_n}(t) = \phi_{X}(t)\cdot \phi_{Y}(t)$

đó là chức năng đặc trưng của $X+Y$ ... nếu $X+Y$ độc lập. Và chúng sẽ độc lập nếu một trong hai có chức năng phân phối liên tục ( xem bài này ). Đây là điều kiện cần thiết ngoài sự độc lập của các trình tự, để sự độc lập được bảo tồn ở giới hạn.

Không có độc lập chúng ta sẽ có

ϕ_{Z_{n}} (t) \neq ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)

$\phi_{Z_n}(t) \neq \phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)$

và không có khẳng định chung nào có thể được thực hiện về giới hạn.

— Alecos Papadopoulos
nguồn

Câu trả lời tuyệt vời (+1). Tôi nghĩ rằng với phương pháp này nó cũng đáng chú ý là giả định yếu

(độc lập tiệm cận) đi trực tiếp đến bước thứ hai của bạn và do đó cũng mang đến cho bạn kết quả. Điều này cho thấy sự độc lập tiệm cận là đủ cho tài sản mong muốn.

lim ϕ_{Z_{n}} = lim ϕ_{X_{n}} ϕ_{Y_{n}}

$\lim \phi_{Z_n} = \lim \phi_{X_n} \phi_{Y_n}$

— Ben - Tái lập Monica

Các định lý Cramer-Wold đưa ra một điều kiện cần và đủ:

Đặt $\{z_n\}$ là một chuỗi các biến ngẫu nhiên có giá trị $R^K$ Khi đó,

z_{n} \to_{d} z ⟺ λ^{'} z_{n} \to_{d} λ^{'} z \forall λ \in R^{K} ∖ {0}

$z_n \to_d z\;\Longleftrightarrow\;\lambda'z_n\to_d \lambda'z\quad\forall\quad \lambda\in R^K\backslash\{0\}$

Để đưa ra một ví dụ, chúng ta hãy $U\sim N(0,1)$ và xác định $W_n:=U$ cũng như $V_n:=(-1)^nU$ . Sau đó chúng tôi trivially có

W_{n} \to_{d} U

$W_n\to_d U$ và, do tính đối xứng của phân phối chuẩn chuẩn, mà

V_{n} \to_{d} U .

$V_n\to_d U.$ Tuy nhiên,

W_{n} + V_{n}

$W_n+V_n$ không hội tụ trong phân phối, vì

W_{n} + V_{n} = {\begin{cases} 2 U \sim N (0, 4) & for n even \\ 0 & for n odd \end{cases}

$W_n+V_n=\begin{cases}2U\sim N(0,4)&\text{for}\;n\;\text{even}\\ 0&\text{for}\;n\;\text{odd}\end{cases}$ Đây là một ứng dụng của Thiết bị Cramer-Wold cho

λ = (1, 1)^{'}

$\lambda=(1,\;1)'$ .

— Christoph Hanck
nguồn

Có, tính độc lập là đủ: Các điều kiện tiền đề ở đây liên quan đến sự hội tụ trong phân phối cho các phân phối biên của $\{ X_n \}$ và $\{ Y_n \}$ . Lý do mà hàm ý nói chung không giữ được là vì không có gì trong các điều kiện tiền đề liên quan đến sự phụ thuộc thống kê giữa các yếu tố của hai chuỗi. Nếu bạn áp đặt tính độc lập của các chuỗi thì điều đó sẽ đủ để đảm bảo sự hội tụ trong phân phối tổng.

( Alecos đã thêm một câu trả lời xuất sắc dưới đây chứng minh kết quả này bằng cách sử dụng các hàm đặc trưng. Độc lập tiệm cận cũng đủ cho hàm ý này, vì sự phân rã giới hạn tương tự của các chức năng đặc trưng xảy ra.)

— Ben - Phục hồi Monica
nguồn

Độc lập của các trình tự có thể không đủ. Bạn cũng cần phải độc lập của giới hạn

và

. Nếu các chuỗi độc lập nhưng

bạn đã nấu chín.

X

$X$

Y

$Y$

X = - Y

$X = -Y$

— anh chàng

Kết luận rằng

là lũy của

Trong @Alecos câu trả lời dựa trên thực tế là

và

là độc lập. Vì vậy, nó đòi hỏi

và

phải độc lập, nếu chế độ hội tụ là

. Giả sử

và

là iid

, thì

và

φ_{X} \cdot φ_{Y}

$\varphi_X \cdot \varphi_Y$

X + Y

$X + Y$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

\overset{d}{\to}

$\stackrel{d}{\to}$

X_{n}

$X_n$

Y_{n}

$Y_n$

N (0, 1)

$N(0,1)$

X_{n} \overset{d}{\to} X_{1}

$X_n \stackrel d \to X_1$

, nhưng

trong khi

Y_{n} \overset{d}{\to} - X_{1}

$Y_n \stackrel d \to -X_1$

X_{n} + Y_{n} \overset{d}{\to} N (0, 2)

$X_n + Y_n \stackrel d \to N(0,2)$

X + Y = 0

$X + Y = 0$

— anh chàng

@Alecos Nếu bạn đồng ý rằng chúng hội tụ đến

thì bạn đồng ý một cách tầm thường rằng cả hai đều hội tụ trong phân phối cho

theo định nghĩa. Cả hai cũng hội tụ trong phân phối đến

và cho tất cả các biến ngẫu nhiên

khác. Hội tụ trong phân phối không giống như các chế độ hội tụ khác, bạn có thể hội tụ trong phân phối cho nhiều biến ngẫu nhiên khác nhau; biến ngẫu nhiên giới hạn thậm chí không cần phải được xác định trên cùng một không gian xác suất. Điều duy nhất duy nhất là phân phối biên .

N (0, 1)

$N(0,1)$

X_{1}

$X_1$

- X_{1}

$-X_1$

N (0, 1)

$N(0,1)$

— anh chàng

@Alecos đặt một cách khác, lưu ý rằng phân phối

thậm chí không được xác định rõ chỉ bằng cách nói về các chuỗi độc lập. Bạn có thể có

và

mà không đưa ra bất kỳ giả định nào về cấu trúc phụ thuộc của

và

, ngay cả khi bạn đưa ra các giả định mạnh mẽ về sự phụ thuộc của

và

. Tất cả chúng tôi đã thực hiện được gắn xuống marginals của

và

X + Y

$X+Y$

X_{n} \to X

$X_n \to X$

Y_{n} \to Y

$Y_n \to Y$

X

$X$

Y

$Y$

X_{n}

$X_n$

Y_{n}

$Y_n$

X

$X$

Y

$Y$

— anh chàng

Oh; Tôi nghĩ rằng tôi hiểu. Bạn đang nói rằng tôi cần một điều kiện bổ sung về tính độc lập của

và

cho tuyên bố ban đầu của tôi trong câu hỏi để giữ. Xin vui lòng cho tôi biết nếu tôi hiểu chính xác.

X

$X$

Y

$Y$

— mai