Hiệu chỉnh nhiều so sánh để so sánh phụ thuộc

Trong bài đăng trên blog này, các tác giả thảo luận về việc ước tính đồng thời lượng tử và xây dựng một đường bao tin cậy đồng thời cho ước tính bao gồm toàn bộ hàm lượng tử. Họ làm điều này bằng cách bootstrapping và sau đó tính toán các khoảng tin cậy bootstrap theo chiều và áp dụng hiệu chỉnh loại Bonferroni cho nhiều so sánh. Vì các phép so sánh không độc lập, nên chúng tính toán một số thứ giống như một số thử nghiệm độc lập hiệu quả theo một công thức

$$N_{eq}=\frac{N^2}{\sum_{i,j}r(b_i,b_j)}$$

Trong đó là số điểm được ước tính và là mối tương quan mẫu giữa các vectơ bootstrap và .$N$$r(b_i,b_j)$$ith$$j$

Câu hỏi của tôi là công thức này đến từ đâu. Họ cung cấp một liên kết đến một nguồn, nhưng tôi không thấy công thức này trong nguồn. Có ai biết về sự điều chỉnh đặc biệt này đang được sử dụng trong các tài liệu?

Chúng ta hãy xem xét một vấn đề đơn giản hơn, nhưng liên quan chặt chẽ. Giả sử bạn có một vector mà mục có một ma trận tương quan . Nếu là đường chéo, thì phương sai của giá trị trung bình mẫu của là . Nếu tất cả đều bằng nhau, thì điều này sẽ giảm xuống thường thấy hơn và chúng ta có thể sắp xếp lại các thuật ngữ để lấy kích thước mẫu là một hàm của hai phương sai:$x$$R$$R$$x$$\sigma^2_{\bar{x}} = \sum \sigma^2_i/n^2$$\sigma^2_i$$\sigma^2/n$

$$n = \sigma^2 / \sigma^2_{\bar{x}}$$

Tuy nhiên, nếu không phải là đường chéo, thì phương sai của bằng:$R$$\bar{x}$

$$\sigma^2_{\bar{x}} = \sum_i\sum_j\sigma_i\sigma_jr_{ij}/n^2$$

Trong trường hợp , điều này giảm xuống:$\sigma_i = \sigma_j \space \forall \space i,j$

$$\sigma^2_{\bar{x}} = \sigma^2 \sum_i\sum_jr_{ij}/n^2$$

Bằng cách tương tự với biểu thức cho kích thước mẫu trong trường hợp không tương thích, tỷ lệ giữa giá trị này và là "cỡ mẫu hiệu quả" :$\sigma^2$$n_{ess}$

$$n_{ess} = \sigma^2 / \sigma^2_{\bar{x}} = {\sigma^2 \over \sigma^2\sum_i\sum_jr_{ij}/n^2} = {n^2 \over \sum_i\sum_jr_{ij}}$$

Nếu là đường chéo, thì , vì phần tử đường chéo của bằng và tất cả các yếu tố ngoài đường chéo bằng và kích thước mẫu hiệu quả bằng với kích thước mẫu thực tế, như chúng ta mong đợi .$R$$\sum_i\sum_jr_{ij} = n$$n$$R$$1$$0$

So sánh kích thước mẫu hiệu quả với kích thước mẫu thực tế cung cấp ước tính về tác động của mối tương quan khác không đối với vấn đề ước tính của bạn. Rõ ràng, nếu mối tương quan của bạn cao (tích cực hoặc tiêu cực), hoặc bạn có rất nhiều trong số họ, các hiệu ứng có thể là khá đáng kể.

Mối quan hệ giữa ví dụ này và trường hợp của bạn như sau. Thay vì "cỡ mẫu", coi là số lượng tử được ước tính. Hiệu chỉnh Bonferroni cơ bản điều chỉnh cho so sánh. Tuy nhiên, vì các ước tính của lượng tử được biết là có tương quan, tuy nhiên, hiệu chỉnh Bonferroni sẽ (trong trường hợp tương quan dương) quá bi quan (ngay cả đối với Bonferroni, nói chung là khá bi quan khi bắt đầu). $n$$n$

Để thấy điều này, hãy xem xét một tình huống trong đó bạn đang ước tính mười lượng tử và các lỗi trong ước tính lượng tử có mối tương quan hoàn hảo. Ví dụ: giả sử bạn đang ước tính các lượng tử của phân phối Bình thường với phương sai đã biết bằng một; tất cả các ước tính của bạn sẽ có dạng , trong đó phụ thuộc vào lượng tử trong câu hỏi. Tất cả các lỗi trong ước tính lượng tử của bạn sẽ chính xác bằng sai số trong ước tính trung bình của bạn, do đó, việc thu thập các khoảng tin cậy theo điểm sẽ bằng với khoảng tin cậy đồng thời. Trên thực tế, bạn chỉ có một ước tính, nhưng Bonferroni (không cần hiệu chỉnh) sẽ điều chỉnh khoảng tin cậy của bạn như thể bạn có mười ước tính, làm cho nó rộng hơn mức cần thiết. Tính toán trên, với$\bar{x} \pm k$$k$$r_{ij}=1 \space \forall \space i,j$ , sẽ dẫn đến , vì nó cần, và Bonferroni khoảng bằng kích thước mẫu có hiệu quả sẽ, trong trường hợp này, là đúng.$n_{ess} = 1$

Đối với nguồn, nó nằm trong bài báo (Solow-Polasky) được liên kết đến trong liên kết bạn cung cấp; công thức là phương trình (7), mặc dù ký hiệu hoàn toàn khác nhau.