Tại sao Định lý giới hạn trung tâm bị phá vỡ trong mô phỏng của tôi?

Giả sử tôi có các số sau:

4,3,5,6,5,3,4,2,5,4,3,6,5

Tôi lấy mẫu một số trong số chúng, giả sử, 5 trong số chúng, và tính tổng của 5 mẫu. Sau đó, tôi lặp đi lặp lại nhiều lần để có được nhiều khoản tiền và tôi vẽ các giá trị của các khoản tiền trong một biểu đồ, sẽ là Gaussian do Định lý giới hạn trung tâm.

Nhưng khi họ theo số, tôi chỉ thay 4 bằng một số lớn:

4,3,5,6,5,3,10000000,2,5,4,3,6,5

Tổng hợp lấy mẫu của 5 mẫu từ những mẫu này không bao giờ trở thành Gaussian trong biểu đồ, mà giống như một sự phân tách và trở thành hai Gaussian. Tại sao vậy?

Hãy nhớ lại, chính xác, những gì định lý giới hạn trung tâm nói.

Nếu $X_1, X_2, \cdots, X_k$ là độc lập và phân phối hệt biến ngẫu nhiên với (chia sẻ) trung bình $\mu$ và độ lệch chuẩn $\sigma$ , sau đó $\frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_k}{k\frac{\sigma}{\sqrt{k}}}$ hội tụ trong phân phối đến phân phối chuẩn$N(0, 1)$(*).

Điều này thường được sử dụng ở dạng "không chính thức":

Nếu $X_1, X_2, \cdots, X_k$ là độc lập và phân phối hệt biến ngẫu nhiên với (chia sẻ) trung bình $\mu$ và độ lệch chuẩn $\sigma$ , sau đó $X_1 + X_2 + \cdots + X_k$ hội tụ "trong phân phối" với phân phối chuẩn chuẩn $N(k \mu, \sqrt{k} \sigma)$.

Không có cách nào tốt để biến dạng CLT thành chính xác về mặt toán học, vì thay đổi phân phối "giới hạn", nhưng nó hữu ích trong thực tiễn.

Khi chúng ta có một danh sách tĩnh các số như

4,3,5,6,5,3,10000000,2,5,4,3,6,5

và chúng tôi đang lấy mẫu bằng cách lấy một số ngẫu nhiên từ danh sách này, để áp dụng định lý giới hạn trung tâm, chúng tôi cần chắc chắn rằng sơ đồ lấy mẫu của chúng tôi thỏa mãn hai điều kiện độc lập và phân phối giống hệt nhau.

• Phân phối giống hệt nhau không có vấn đề: mỗi số trong danh sách đều có khả năng được chọn như nhau.
• Độc lập là tinh tế hơn, và phụ thuộc vào sơ đồ lấy mẫu của chúng tôi. Nếu chúng tôi đang lấy mẫu mà không thay thế , thì chúng tôi vi phạm tính độc lập. Chỉ khi chúng ta lấy mẫu với sự thay thế thì định lý giới hạn trung tâm mới được áp dụng.

Vì vậy, nếu chúng ta sử dụng với lấy mẫu thay thế trong sơ đồ của bạn, thì chúng ta sẽ có thể áp dụng định lý giới hạn trung tâm. Đồng thời, bạn đã đúng, nếu mẫu của chúng tôi có kích thước 5, thì chúng ta sẽ thấy hành vi rất khác nhau tùy thuộc vào việc số lượng rất lớn được chọn hay không được chọn trong mẫu của chúng tôi.

Vậy chà là gì? Chà, tốc độ hội tụ đến phân phối bình thường phụ thuộc rất nhiều vào hình dạng dân số mà chúng ta đang lấy mẫu, đặc biệt, nếu dân số của chúng ta rất lệch, chúng ta hy vọng sẽ mất nhiều thời gian để hội tụ về mức bình thường. Đây là trường hợp trong ví dụ của chúng tôi, vì vậy chúng tôi không nên hy vọng rằng một mẫu có kích thước 5 là đủ để hiển thị cấu trúc bình thường.

Ở trên tôi đã lặp lại thí nghiệm của bạn (với lấy mẫu thay thế) cho các mẫu có kích thước 5, 100 và 1000. Bạn có thể thấy rằng cấu trúc bình thường xuất hiện cho các mẫu rất lớn.

(*) Lưu ý có một số điều kiện kỹ thuật cần thiết ở đây, như trung bình hữu hạn và phương sai. Chúng dễ dàng được xác minh là đúng trong mẫu của chúng tôi từ một ví dụ danh sách.

$5$$30$$5$

pop <- c(4, 3, 5, 6, 5, 3, 4, 2, 5, 4, 3, 6, 5)
N <- 10^5
n <- 5
x <- matrix(sample(pop, size = N*n, replace = TRUE), nrow = N)
x_bar <- rowMeans(x)
hist(x_bar, freq = FALSE, col = "cyan")
f <- function(t) dnorm(t, mean = mean(pop), sd = sd(pop)/sqrt(n))
curve(f, add = TRUE, lwd = 2, col = "red")

$30$

pop <- c(4, 3, 5, 6, 5, 3, 10000000, 2, 5, 4, 3, 6, 5)
N <- 10^5
n <- 30
x <- matrix(sample(pop, size = N*n, replace = TRUE), nrow = N)
x_bar <- rowMeans(x)
hist(x_bar, freq = FALSE, col = "cyan")
f <- function(t) dnorm(t, mean = mean(pop), sd = sd(pop)/sqrt(n))
curve(f, add = TRUE, lwd = 2, col = "red")

$100$

pop <- c(4, 3, 5, 6, 5, 3, 10000000, 2, 5, 4, 3, 6, 5)
N <- 10^5
n <- 100
x <- matrix(sample(pop, size = N*n, replace = TRUE), nrow = N)
x_bar <- rowMeans(x)
hist(x_bar, freq = FALSE, col = "cyan")
f <- function(t) dnorm(t, mean = mean(pop), sd = sd(pop)/sqrt(n))
curve(f, add = TRUE, lwd = 2, col = "red")

Tôi chỉ muốn giải thích, sử dụng các hàm tạo tích lũy phức tạp , tại sao mọi người cứ đổ lỗi cho điều này.

$\mu+\sigma Z$$\mu$$\sigma$$Z$$0$$1$$Z$$-\frac{1}{2}t^2-\frac{i\gamma_1}{6}t^3+o(t^3)$$\gamma_1$$Z$$\kappa_3$$\mu+\sigma Z$$\gamma_1=\sigma^{-3}\kappa_3$

$n$$Z$$\sqrt{n}$

Câu trả lời ngắn gọn là, bạn không có một mẫu đủ lớn để áp dụng định lý giới hạn trung tâm.