Mối liên quan giữa tính độc lập và tương quan của các biến ngẫu nhiên thống nhất

Câu hỏi của tôi khá đơn giản: đặt $X$ và $Y$ là hai biến ngẫu nhiên thống nhất không tương quan trên $[-1,1]$ . Họ có độc lập không?

Tôi có ấn tượng rằng hai biến ngẫu nhiên, không tương quan chỉ nhất thiết độc lập nếu phân phối chung của chúng là bình thường. Tuy nhiên, tôi không thể đưa ra một ví dụ để từ chối yêu cầu mà tôi đang hỏi. Vui lòng cung cấp một ví dụ hoặc bằng chứng.

Độc lập ngụ ý không tương quan nhưng hàm ý không đi theo một cách khác.

Uncorrelated ngụ ý độc lập chỉ trong một số điều kiện nhất định. ví dụ: nếu bạn có một bivariate bình thường , đó là trường hợp không tương quan ngụ ý độc lập (như bạn đã nói).

Thật dễ dàng để xây dựng các phân phối bivariate với lề đồng nhất trong đó các biến không tương quan nhưng không độc lập. Đây là vài ví dụ:

1. xem xét một biến ngẫu nhiên $B$ bổ sung lấy các giá trị $\pm 1$ với xác suất $\frac12$ , không phụ thuộc vào$X$. Sau đó, hãy để$Y=BX$.

2. lấy phân phối bivariate của hai đồng phục độc lập và cắt nó thành 4 phần có kích thước bằng nhau trên mỗi lề (thu được $4\times 4=16$ miếng, mỗi kích thước $\frac12\times\frac12$ ). Bây giờ lấy tất cả xác suất từ ​​4 mảnh góc và 4 mảnh trung tâm và đặt nó đều vào 8 mảnh còn lại.

3. Đặt $Y = 2|X|-1$ .

Trong mỗi trường hợp, các biến không tương quan nhưng không độc lập (ví dụ: nếu $X=1$ , $P(-0.1<Y<0.1)\,$?)

Nếu bạn chỉ định một số họ phân phối bivariate cụ thể với tỷ lệ lợi nhuận đồng nhất, có thể theo công thức đó , chỉ có một nhóm không tương thích là độc lập. Sau đó bị thất vọng sẽ ngụ ý độc lập.

Ví dụ, nếu bạn hạn chế sự chú ý của bạn để nói copula Gaussian, thì tôi nghĩ rằng cái duy nhất không tương thích có lề độc lập; bạn có thể dễ dàng bán lại để mỗi lề được bật (-1,1).

Một số mã R để lấy mẫu từ và vẽ các biểu đồ này (không nhất thiết phải hiệu quả):

n <- 100000
x <- runif(n,-1,1)
b <- rbinom(n,1,.5)*2-1
y1 <-b*x
y2 <-ifelse(0.5<abs(x)&abs(x)<1,
       runif(n,-.5,.5),
       runif(n,0.5,1)*b
      )
y3 <- 2*abs(x)-1

par(mfrow=c(1,3))
plot(x,y1,pch=16,cex=.3,col=rgb(.5,.5,.5,.5))
plot(x,y2,pch=16,cex=.5,col=rgb(.5,.5,.5,.5))
abline(h=c(-1,-.5,0,.5,1),col=4,lty=3)
abline(v=c(-1,-.5,0,.5,1),col=4,lty=3)
plot(x,y3,pch=16,cex=.3,col=rgb(.5,.5,.5,.5))

$(Y_2, Y_3)$

$X$$\Phi^{-1}(\frac12(X+1))$