Tính toán phương sai mà không tính giá trị trung bình

Chúng ta có thể tính toán phương sai mà không sử dụng giá trị trung bình làm điểm 'cơ sở' không?

— Sẽ
nguồn

Theo định nghĩa , phương sai được đưa ra bởi theo định nghĩa. Công thức đơn giản hóa thành . Tức là, đối với phương sai bạn cần . Tất nhiên, bạn có thể xác định biện pháp phân tán của riêng mình bằng một số thống kê khác ... hoặc sử dụng một từ các câu trả lời.

E (X^{2}) < \infty

$\mathbb{E}(X^2)<\infty$

σ^{2} = E ((X - E (X))^{2})

$\sigma^2 = \mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^2)$

σ^{2} = E (X^{2}) - E (X)^{2}

$\sigma^2 =\mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2$

E (X)

$\mathbb{E}(X)$

— BloXX

Câu trả lời ngắn: Rất nhiều cách khác để tóm tắt tính biến thiên (phân tán, lan truyền, tỷ lệ) nhưng không có cách nào khác là phương sai. (Trên thực tế, phương sai có thể được xác định mà không cần tham chiếu đến giá trị trung bình.)

— Nick Cox

Có: dữ liệu đã cho tính toán hiệp phương sai của như được mô tả tại stats.stackexchange.com/a/18200/919 . Phương pháp này không bao giờ tính toán trung bình.

X,

$X,$

(X, X)

$(X,X)$

— whuber

Câu trả lời:

Các độ lệch tuyệt đối trung bình được định nghĩa là và được coi là một thay thế cho độ lệch chuẩn. Nhưng đây không phải là phương sai. Đặc biệt, nó luôn tồn tại, dù cho phép khoảnh khắc hay không . Chẳng hạn, MAD của một Cauchy tiêu chuẩn bằng một vì

MAD (X) = median | X - median (X) |

$\text{MAD}(X) = \text{median} |X-\text{median}(X)|$

X

$X$

\underset{0 is the median}{\underset{⏟}{P (| X - 0 | < 1)}} = \arctan (1) / π - \arctan (- 1) / π = \frac{1}{2}

$\underbrace{\Bbb P(|X-0|<1)}_\text{0 is the median}=\arctan(1)/\pi-\arctan(-1)/\pi=\frac{1}{2}$

— Tây An
nguồn

Những người mới tham gia ý tưởng này cũng nên coi chừng độ lệch tuyệt đối trung bình so với giá trị trung bình (độ lệch trung bình, thường) và độ lệch tuyệt đối trung bình so với giá trị trung bình. Tôi không nhớ có nghĩa là độ lệch tuyệt đối từ trung vị, nhưng mở cho các ví dụ. Thật không may, chữ viết tắt MAD đã được áp dụng rất đa dạng, vì vậy trước tiên hãy tin vào mã của mọi người, sau đó là định nghĩa đại số hoặc bằng lời nói của họ, nhưng hoàn toàn không sử dụng một chữ viết tắt MAD. Trong các bản phân phối đối xứng và một số khác, MAD như được định nghĩa ở đây là một nửa phạm vi liên vùng. (Trừng phạt trên MAD tôi chống lại như một điều quá rõ ràng.)

— Nick Cox

Ngoài ra, lưu ý rằng việc triển khai phần mềm của hàm độ lệch tuyệt đối trung vị có thể chia tỷ lệ giá trị MAD theo hệ số không đổi từ biểu mẫu trong câu trả lời này, sao cho giá trị của nó trùng với độ lệch chuẩn cho phân phối chuẩn.

— EdM

@EdM Điểm tuyệt vời. Cá nhân tôi không thích thực hành đó trừ khi mọi người sử dụng một số thuật ngữ khác nhau. Nó không còn là MAD!

— Nick Cox

@NickCox: sự hấp dẫn của việc tập trung vào trung vị là số lượng luôn tồn tại, cho dù phân phối có thích một giá trị trung bình hay không. Đây là định nghĩa được tìm thấy trong Wikipedia .

— Tây An

MAD là sự hủy diệt được bảo đảm lẫn nhau

— kjetil b halvorsen

Đã có một giải pháp cho câu hỏi này trên Math.stackexchange :

Tôi tóm tắt các câu trả lời:

Bạn có thể sử dụng phương sai đó là , chỉ mất một lần (tính trung bình và giá trị trung bình của các hình vuông đồng thời), nhưng có thể dễ bị lỗi vòng hơn nếu phương sai nhỏ so với giá trị trung bình. $\overline{x^2} - \overline {x}^2$

Làm thế nào về tổng của bình phương cặp khác nhau? Thật vậy, bạn có thể kiểm tra bằng cách tính toán trực tiếp

2 v_{X} = \frac{1}{n (n - 1)} \sum_{1 \leq i < j \leq n} (x_{i} - x_{j})^{2} .

$2v_X = \frac{1}{n(n-1)}\sum_{1 \le i < j \le n}(x_i - x_j)^2.$

Phương sai mẫu không có giá trị trung bình được tính là: $v_{X} = \frac{1}{n - 1} [\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - \frac{1}{n} {(\sum_{i = 1}^{n} x_{i})}^{2}]$ $v_{X}=\frac{1}{n-1}\left [ \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-\frac{1}{n}\left ( \sum_{i=1}^{n}x_{i} \right ) ^{2}\right ]$

— Ferdi
nguồn