Vẽ số nguyên độc lập & thống nhất ngẫu nhiên từ 1 đến bằng cách sử dụng fair d6?

Tôi muốn vẽ các số nguyên từ 1 đến một số cụ thể bằng cách tung một số con xúc xắc sáu mặt công bằng (d6). Một câu trả lời tốt sẽ giải thích tại sao phương pháp của nó tạo ra các số nguyên thống nhất và độc lập .$N$

Như một ví dụ minh họa, sẽ rất hữu ích khi giải thích cách giải pháp hoạt động cho trường hợp .$N=150$

Hơn nữa, tôi muốn thủ tục có hiệu quả nhất có thể: trung bình cuộn số d6 ít nhất cho mỗi số được tạo.

Chuyển đổi từ senary sang thập phân được cho phép.

---

Câu hỏi này được lấy cảm hứng từ chủ đề Meta này .

Tập hợp của các kết quả có thể nhận dạng riêng biệt trong cuộn độc lập của một khuôn có mặt có các phần tử . Khi chết là công bằng, điều đó có nghĩa là mỗi kết quả của một lần lăn có xác suất và tính độc lập có nghĩa là mỗi kết quả này sẽ có xác suất nghĩa là chúng có phân phối đồng đều$\Omega(d,n)$$n$$d=6$$d^n$$1/d$$(1/d)^n:$$\mathbb{P}_{d,n}.$

Giả sử bạn đã nghĩ ra một số thủ tục rằng một trong hai xác định kết quả của một -sided chết - có nghĩa là, một phần tử của --hoặc báo cáo khác thất bại (có nghĩa là bạn sẽ phải lặp lại nó để có được một kết quả). Đó là,$t$$m$$c (=150)$$\Omega(c,m)$

$$t:\Omega(d,n)\to\Omega(c,m)\cup\{\text{Failure}\}.$$

Đặt là xác suất dẫn đến thất bại và lưu ý rằng là bội số nguyên của giả sử$F$$t$$F$$d^{-n},$

$$F = \Pr(t(\omega)=\text{Failure}) = N_F\, d^{-n}.$$

(Để tham khảo trong tương lai, lưu ý rằng số lần dự kiến phải được gọi trước khi không thất bại là )$t$$1/(1-F).$

Yêu cầu rằng những kết quả trong được thống nhất và độc lập có điều kiện trên không báo cáo phương tiện thất bại mà bảo tồn khả năng theo nghĩa là cho mỗi sự kiện$\Omega(c,m)$t t A ⊂ Ω ( c , m ) ,$t$$t$$\mathcal{A}\subset\Omega(c,m),$

$$\frac{\mathbb{P}_{d,n}\left(t^{*}\mathcal{A}\right)}{1-F}= \mathbb{P}_{c,m}\left(\mathcal{A}\right) \tag{1}$$

Ở đâu

$$t^{*}\left(\mathcal A\right) = \{\omega\in\Omega\mid t(\omega)\in\mathcal{A}\}$$

là tập hợp các cuộn chết mà quy trình gán cho sự kiện$t$$\mathcal A.$

Hãy xem xét một sự kiện nguyên tử , phải có xác suấtĐặt (các cuộn súc sắc được liên kết với ) có các phần tử . trở thành$\mathcal A = \{\eta\}\subset\Omega(c,m)$$c^{-m}.$$t^{*}\left(\mathcal A\right)$$\eta$$N_\eta$$(1)$

$$\frac{N_\eta d^{-n}}{1 - N_F d^{-n}} = \frac{\mathbb{P}_{d,n}\left(t^{*}\mathcal{A}\right)}{1-F}= \mathbb{P}_{c,m}\left(\mathcal{A}\right) = c^{-m}.\tag{2}$$

Ngay lập tức rằng đều bằng một số nguyên$N_\eta$$N.$ Chỉ còn để tìm các thủ tục hiệu quả nhất Số lượng dự kiến của phi thất bại mỗi cuộn của đứng về phía chết là$t.$c$c$

$$\frac{1}{m}\left(1 - F\right).$$

Có hai hàm ý ngay lập tức và rõ ràng. Một là nếu chúng ta có thể giữ nhỏ khi phát triển lớn, thì hiệu quả của việc báo cáo lỗi là không có triệu chứng. Khác là với bất kỳ cho nào (số lượng cuộn của khuôn side để mô phỏng), chúng tôi muốn làm cho càng nhỏ càng tốt.$F$$m$$m$$c$$F$

Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn bằng cách xóa mẫu số:$(2)$

$$N c^m = d^n - N_F \gt 0.$$

Điều này cho thấy rõ rằng trong một bối cảnh nhất định (được xác định bởi ), được tạo ra càng nhỏ càng tốt bằng cách làm cho bằng bội số lớn nhất của nhỏ hơn hoặc bằng Chúng tôi có thể viết điều này theo hàm số nguyên lớn nhất (hoặc "sàn") như$c,d,n,m$$F$$d^n-N_F$$c^m$$d^n.$$\lfloor*\rfloor$

$$N = \lfloor \frac{d^n}{c^m} \rfloor.$$

Cuối cùng, rõ ràng nên càng nhỏ càng tốt để đạt hiệu quả cao nhất, bởi vì nó đo lường sự dư thừa trong . Cụ thể, số lượng cuộn dự kiến ​​của khuôn -ided cần thiết để tạo ra một cuộn của khuôn side là$N$t d c$t$$d$$c$

$$N \times \frac{n}{m} \times \frac{1}{1-F}.$$

Do đó, việc tìm kiếm các quy trình hiệu quả cao của chúng tôi phải tập trung vào các trường hợp trong đó bằng hoặc chỉ lớn hơn một chút so với sức mạnh$d^n$$c^m.$

Phân tích kết thúc bằng cách chỉ ra rằng với và có một chuỗi bội số mà cách tiếp cận này xấp xỉ hiệu quả hoàn hảo. Số tiền này để tìm trong đó tiếp cận trong giới hạn (tự động đảm bảo ). Một chuỗi như vậy có được bằng cách lấy và xác định$d$$c,$$(n,m)$$(n,m)$$d^n/c^m \ge 1$$N=1$$F\to 0$$n=1,2,3,\ldots$

$$m = \lfloor \frac{n\log d}{\log c} \rfloor.\tag{3}$$

Bằng chứng là đơn giản.

Tất cả điều này có nghĩa là khi chúng ta sẵn sàng tung ra cái chết -ided ban đầu với số lần đủ lớn chúng ta có thể mong đợi mô phỏng gần như kết quả của một cái chết có mặt trên mỗi cuộn . Tương đương,$d$$n,$$\log d / \log c = \log_c d$$c$

Có thể mô phỏng một số lượng lớn của cuộn độc lập của một -sided chết bằng một hội chợ -sided chết bằng mức trung bình của cuộn cho mỗi kết quả trong đó có thể được tạo nhỏ tùy ý bằng cách chọn đủ lớn.$m$$c$$d$$\log(c)/\log(d) + \epsilon = \log_d(c) + \epsilon$$\epsilon$$m$

---

Ví dụ và thuật toán

Trong câu hỏi, và từ đâu$d=6$$c=150,$

$$\log_d(c) = \frac{\log(c)}{\log(d)} \approx 2.796489.$$

Do đó, trung bình, quy trình tốt nhất có thể sẽ yêu cầu, trung bình ít nhất cuộn a để mô phỏng từng kết quả.$2.796489$d6d150

Các phân tích cho thấy làm thế nào để làm điều này. Chúng ta không cần phải dùng đến lý thuyết số để thực hiện nó: chúng ta chỉ có thể lập bảng các quyền hạn và các quyền lực và so sánh chúng để tìm nơi gần gũi. Tính toán lực lượng vũ phu này cho các cặp$d^n=6^n$$c^m=150^m$$c^m \le d^n$$(n,m)$

$$(n,m) \in \{(3,1), (14,5), \ldots\}$$

ví dụ, tương ứng với các số

$$(6^n, 150^m) \in \{(216,150), (78364164096,75937500000), \ldots\}.$$

Trong trường hợp đầu tiên, sẽ liên kết trong số các kết quả của ba lần thất bại và kết quả khác sẽ liên quan đến một kết quả duy nhất của a . $t$$216-150=66$d6$150$d150

Trong trường hợp thứ hai, sẽ liên kết về kết quả của 14 lần thất bại - khoảng 3,1% trong số đó - và nếu không sẽ tạo ra chuỗi 5 kết quả của a .$t$$78364164096-75937500000$d6d150

Một thuật toán đơn giản để thực hiện$t$ nhãn các mặt của khuôn mặt mặt số và các mặt của khuôn mặt với các mặt số Các cuộn của chết đầu tiên được hiểu là một số -digit trong cơ sở Điều này được chuyển đổi thành một số trong cơ sở Nếu nó có nhiều nhất chữ số, chuỗi các chữ số cuối cùng là đầu ra. Mặt khác, trả về Thất bại bằng cách gọi đệ quy chính nó.$d$$0,1,\ldots, d-1$$c$$0,1,\ldots, c-1.$$n$$n$$d.$$c.$$m$$m$$t$

Đối với các chuỗi dài hơn nhiều, bạn có thể tìm thấy các cặp phù hợp bằng cách xem xét mọi hội tụ khác của việc mở rộng phân số tiếp tục của Lý thuyết về phân số tiếp tục cho thấy các điểm hội tụ này xen kẽ giữa nhỏ hơn và lớn hơn nó (giả sử chưa hợp lý). Chọn những cái nhỏ hơn$(n,m)$$n/m$$x=\log(c)/\log(d).$$x$$x$$x.$

Trong câu hỏi, một số hội tụ đầu tiên như vậy là

$$3, 14/5, 165/59, 797/285, 4301/1538, 89043/31841, 279235/99852, 29036139/10383070 \ldots.$$

Trong trường hợp cuối cùng, một chuỗi 29.036.139 cuộn a d6sẽ tạo ra một chuỗi 10.383.070 cuộn của a d150với tỷ lệ thất bại nhỏ hơn cho hiệu quả phân biệt được với giới hạn tiệm cận.$2\times 10^{-8},$$2.79649$

Đối với trường hợp , việc lăn một d6 ba lần rõ ràng sẽ tạo ra kết quả.$N=150$$6^3=216$

Kết quả mong muốn có thể được lập bảng theo cách này:

• Ghi lại một d6 ba lần liên tiếp. Điều này tạo ra kết quả . Kết quả là đồng nhất vì tất cả các giá trị của đều có khả năng như nhau (xúc xắc là công bằng và chúng tôi đang coi mỗi cuộn là khác biệt).$a,b,c$$a,b,c$
• Trừ 1 từ mỗi.
• Đây là số senary: mỗi chữ số (giá trị vị trí) đi từ 0 đến 5 theo lũy thừa 6, vì vậy bạn có thể viết số đó bằng số thập phân bằng cách sử dụng $$(a-1) \times 6^2 + (b-1) \times 6^1 + (c-1)\times 6^0$$
• Thêm 1.
• Nếu kết quả vượt quá 150, loại bỏ kết quả và cuộn lại.

Xác suất giữ kết quả là . Tất cả các cuộn là độc lập và chúng tôi lặp lại quy trình cho đến khi "thành công" (kết quả là ), vì vậy số lần thử tạo 1 lần rút giữa 1 và 150 được phân phối dưới dạng biến ngẫu nhiên hình học, trong đó có kỳ vọng . Do đó, sử dụng phương pháp này để tạo 1 lần rút yêu cầu cán cuộn xúc xắc trung bình (vì mỗi lần thử cuộn 3 con xúc xắc).$p=\frac{150}{216}=\frac{25}{36}$$1,2,\dots,150$$p^{-1}=\frac{36}{25}$$\frac{36}{25}\times 3 =4.32$

---

Tín dụng cho @whuber để đề xuất điều này trong trò chuyện.

Dưới đây là một thay thế thậm chí đơn giản hơn cho câu trả lời của Sycorax cho trường hợp . Vì bạn có thể thực hiện quy trình sau:$N=150$$150 = 5 \times 5 \times 6$

Tạo số ngẫu nhiên thống nhất từ ​​1 đến 150:

• Thực hiện ba cuộn 1D6 theo thứ tự và biểu thị chúng là .$R_1, R_2, R_3$
• Nếu một trong hai cuộn đầu tiên là sáu, hãy chạy lại cho đến khi không phải là 6.
• Số là số thống nhất sử dụng ký hiệu vị trí có cơ số 5-5-6. Do đó, bạn có thể tính số mong muốn là: $(R_1, R_2, R_3)$ $$X = 30 \cdot (R_1-1) + 6 \cdot (R_2-1) + (R_3-1) + 1.$$

Phương pháp này có thể được khái quát thành lớn hơn , nhưng nó trở nên khó xử hơn một chút khi giá trị có một hoặc nhiều thừa số nguyên tố lớn hơn .$N$$6$

Như một minh họa cho thuật toán chọn thống nhất giữa giá trị bằng cách sử dụng xúc xắc sáu mặt, hãy thử phương pháp này sử dụng mỗi cuộn để nhân các giá trị có sẵn với và làm cho mỗi giá trị mới có khả năng như nhau:$150$$6$

• Sau cuộn, bạn có khả năng, không đủ để phân biệt giá trị$0$$1$$150$
• Sau cuộn, bạn có khả năng, không đủ để phân biệt giá trị$1$$6$$150$
• Sau cuộn, bạn có khả năng, không đủ để phân biệt giá trị$2$$36$$150$
• Sau cuộn, bạn có khả năng, đủ để phân biệt giá trị nhưng với giá trị còn lại; xác suất bạn dừng ngay bây giờ là$3$$216$$150$$66$$\frac{150}{216}$
• Nếu bạn chưa dừng lại, thì sau cuộn, bạn có khả năng còn lại, đủ để phân biệt giá trị theo hai cách nhưng với giá trị còn lại; xác suất bạn dừng ngay bây giờ là$4$$396$$150$$96$$\frac{300}{1296}$
• Nếu bạn chưa dừng lại, thì sau cuộn, bạn có khả năng còn lại, đủ để phân biệt giá trị theo ba cách nhưng với giá trị còn lại; xác suất bạn dừng ngay bây giờ là$5$$576$$150$$96$$\frac{450}{7776}$
• Nếu bạn chưa dừng lại, thì sau cuộn, bạn có khả năng còn lại, đủ để phân biệt giá trị theo năm cách nhưng với giá trị còn lại; xác suất bạn dừng ngay bây giờ là$6$$756$$150$$6$$\frac{750}{46656}$

Nếu bạn đang ở một trong giá trị còn lại sau cuộn thì bạn đang ở trong tình huống tương tự với vị trí sau cuộn. Vì vậy, bạn có thể tiếp tục theo cách tương tự: xác suất bạn dừng sau cuộn là , sau cuộn là v.v.$6$$6$$1$$7$$\frac{0}{279936}$$8$$\frac{150}{1679616}$

Thêm những thứ này và bạn thấy rằng số lượng cuộn cần thiết là khoảng . Nó cung cấp lựa chọn thống nhất từ , vì bạn chỉ chọn một giá trị tại một thời điểm khi bạn có thể chọn từng giá trị với xác suất bằng nhau$3.39614$$150$$150$

---

Sycorax hỏi trong các ý kiến ​​cho một thuật toán rõ ràng hơn

• Đầu tiên, tôi sẽ làm việc trong cơ sở với$6$$150_{10}=410_6$
• Thứ hai, thay vì các giá trị đích đến , tôi sẽ trừ đi một giá trị để các giá trị đích là đến$1_6$$410_6$$0_6$$409_6$
• Thứ ba, mỗi khuôn nên có các giá trị đến và việc lăn một con liên quan đến việc thêm một chữ số cơ sở vào phía bên phải của số được tạo hiện có. Các số được tạo có thể có các số 0 đứng đầu và số chữ số của chúng là số cuộn cho đến nay$0_6$$5_6$$6$

Thuật toán là cuộn xúc xắc liên tiếp:

• Cuộn ba con xúc xắc đầu tiên để tạo ra một số từ đến . Vì bạn lấy giá trị được tạo (cũng là phần còn lại của nó khi chia cho ) nếu giá trị được tạo nằm dưới và dừng lại;$000_6$$555_6$$1000_6 \div 410_6 = 1_6 \text{ remainder } 150_6$$410_6$$1000_6-150_6=410_6$

• Nếu tiếp tục, hãy lăn con thứ tư để bây giờ bạn đã tạo một số từ đến . Vì bạn lấy phần còn lại của giá trị được tạo trên phép chia cho nếu giá trị được tạo nằm dưới và dừng lại;$4100_6$$5555_6$$10000_6 \div 410_6 = 12_6 \text{ remainder } 240_6$$410_6$$10000_6-240_6=5320_6$

• Nếu tiếp tục, hãy lăn con thứ năm để bây giờ bạn đã tạo được một số từ đến . Vì bạn lấy phần còn lại của giá trị được tạo trên phép chia cho nếu giá trị được tạo nằm dưới và dừng lại;$53200_6$$55555_6$$100000_6 \div 410_6 = 123_6 \text{ remainder } 330_6$$410_6$$100000_6-330_6=55230_6$

• Nếu tiếp tục, hãy lăn con thứ sáu để bây giờ bạn đã tạo một số từ đến . Vì bạn lấy phần còn lại của giá trị được tạo trên chia cho nếu giá trị được tạo nằm dưới và dừng lại;$552300_6$$555555_6$$1000000_6 \div 410_6 = 1235_6 \text{ remainder } 10_6$$410_6$$1000000_6-10_6=555550_6$

• Vân vân.