Làm thế nào nên xác định phương sai mẫu cho đầu vào vô hướng?

Gần đây tôi rất kinh ngạc khi thấy Matlab trả về cho phương sai mẫu của đầu vào vô hướng:$0$

>> var(randn(1),0)   %the '0' here tells var to give sample variance
ans =
     0
>> var(randn(1),1)   %the '1' here tells var to give population variance
ans =
     0

Bằng cách nào đó, phương sai mẫu không được chia cho trong trường hợp này. R trả về NaN cho vô hướng:$0 = n-1$

> var(rnorm(1,1))
[1] NA

Bạn nghĩ gì là một cách hợp lý để xác định phương sai mẫu dân số cho một vô hướng? Những hậu quả nào có thể xảy ra khi trả về số 0 thay vì NaN?

chỉnh sửa : từ trợ giúp cho Matlab's var:

VAR normalizes Y by N-1 if N>1, where N is the sample size.  This is
an unbiased estimator of the variance of the population from which X is
drawn, as long as X consists of independent, identically distributed
samples. For N=1, Y is normalized by N. 

Y = VAR(X,1) normalizes by N and produces the second moment of the
sample about its mean.  VAR(X,0) is the same as VAR(X).

một nhận xét khó hiểu trong mã m cho các trạng thái `var:

if w == 0 && n > 1
    % The unbiased estimator: divide by (n-1).  Can't do this
    % when n == 0 or 1.
    denom = n - 1;
else
    % The biased estimator: divide by n.
    denom = n; % n==0 => return NaNs, n==1 => return zeros
end

tức là họ rõ ràng chọn không trả về NaNngay cả khi người dùng yêu cầu phương sai mẫu trên vô hướng. Câu hỏi của tôi là tại sao họ nên chọn làm điều này, không phải làm thế nào.

chỉnh sửa : Tôi thấy rằng tôi đã hỏi sai về cách người ta nên xác định phương sai dân số của một vô hướng (xem đình công qua dòng trên). Điều này có lẽ gây ra nhiều nhầm lẫn.

Vô hướng không thể 'có' một phương sai dân số mặc dù chúng có thể là các mẫu đơn từ dân số có phương sai (dân số). Nếu bạn muốn ước tính điều đó thì bạn cần ít nhất: nhiều hơn một điểm dữ liệu trong mẫu, một mẫu khác từ cùng một phân phối hoặc một số thông tin trước đó về phương sai dân số theo mô hình.

btw R đã mất tích trở lại (NA) chứ không phải NaN

is.nan(var(rnorm(1,1)))
[1] FALSE

Tôi chắc chắn mọi người trong diễn đàn này sẽ có câu trả lời tốt hơn, đây là những gì tôi nghĩ:

Tôi nghĩ câu trả lời của R là hợp lý. Biến ngẫu nhiên có phương sai dân số, nhưng hóa ra với 1 mẫu bạn không có đủ mức độ tự do để ước tính phương sai mẫu, tức là bạn đang cố trích xuất thông tin KHÔNG có ở đó.

Về câu trả lời của Matlab, tôi không biết làm thế nào để biện minh cho 0, ngoại trừ đó là từ tử số.

Hậu quả có thể kỳ quái. Nhưng tôi có thể nghĩ bất cứ điều gì khác liên quan đến ước tính.

Tôi nghĩ Matlab đang sử dụng logic sau cho vô hướng (tương tự như cách chúng ta xác định phương sai dân số) để tránh phải đối phó với NA và NAN.

$Var(x) = \frac{(x - \bar{x})^2}{1} = 0$

$\bar{x} = x$

Định nghĩa của họ có lẽ là một quy ước lập trình có lẽ có thể làm cho một số khía cạnh của mã hóa dễ dàng hơn.