Đo độ đồng đều của phân bố điểm trong hình vuông 2D

Tôi có một hình vuông 2D, và tôi có một tập hợp các điểm bên trong nó, giả sử, 1000 điểm. Tôi cần một cách để xem sự phân bố các điểm bên trong hình vuông có được trải ra (hoặc phân phối đồng đều hơn hoặc ít hơn) hoặc chúng có xu hướng tập hợp lại với nhau tại một số điểm bên trong hình vuông.

Tôi cần một cách toán học / thống kê (không lập trình) để xác định điều này. Tôi googled, tìm thấy một cái gì đó như lòng tốt của sự phù hợp, Kolmogorov, vv, và chỉ tự hỏi nếu có những cách tiếp cận khác để đạt được điều này. Cần điều này cho lớp giấy.

Đầu vào: một hình vuông 2D và 1000 điểm. Đầu ra: có / không (có = trải đều, không = tập hợp lại với nhau ở một số điểm).

Tôi nghĩ rằng ý tưởng của @John về một bài kiểm tra chi = vuông là một cách để đi.

$\frac{1000}{N}$

Nhưng có thể số lượng tế bào khác nhau sẽ đưa ra kết luận khác nhau.

Một khả năng khác là tính khoảng cách trung bình giữa các điểm và sau đó so sánh kết quả này với kết quả mô phỏng của mức trung bình đó. Điều đó tránh được vấn đề về số lượng tế bào tùy ý.

EDIT (nhiều hơn về khoảng cách trung bình)

$\frac{1000*999}{2}$

Sau đó, bạn có thể tạo N (một số lượng lớn) gồm 1000 điểm được phân phối đồng đều. Mỗi bộ N cũng có khoảng cách trung bình giữa các điểm.

So sánh kết quả cho các điểm thực tế với các điểm mô phỏng, để lấy giá trị p hoặc chỉ để xem chúng rơi ở đâu.

Một khả năng khác là một bài kiểm tra Chi-Squared. Chia hình vuông thành các miếng vá không chồng chéo có kích thước bằng nhau và kiểm tra số điểm rơi vào các miếng vá so với số lượng dự kiến ​​của chúng theo giả thuyết về tính đồng nhất (kỳ vọng cho một miếng vá là Total_point / Total_patches nếu chúng đều có kích thước bằng nhau) và áp dụng bài kiểm tra chi bình phương. Đối với 1000 điểm, 9 bản vá là đủ, nhưng bạn có thể muốn sử dụng mức độ chi tiết cao hơn tùy thuộc vào dữ liệu của bạn trông như thế nào.

Tại sao không sử dụng thử nghiệm Kolmogorov-Smirnov? Đó là những gì tôi sẽ làm, đặc biệt là xem xét rằng kích thước mẫu của bạn đủ lớn để bù đắp cho việc thiếu năng lượng.

Ngoài ra, bạn có thể làm một số mô phỏng. Nó không nghiêm ngặt, nhưng nó cung cấp một số bằng chứng về việc dữ liệu có được phân phối đồng đều hay không.

@whuber Phần mở rộng 2 chiều của KS được biết đến (xem tại đây ). Trong trường hợp này, chúng tôi đang nghiên cứu xem 1000 bản vẽ (tọa độ (x, y)) này có thể được rút ra từ phân phối đồng đều 2 chiều hay không - ít nhất đó là cách tôi đọc "trải đều". @ John Tôi có thể đã thể hiện bản thân một cách vụng về (cả toán học lẫn tiếng Anh đều không phải là ngôn ngữ đầu tiên của tôi). Ý tôi là giá trị p chính xác có thể được tính bằng cách sử dụng một bài kiểm tra như KS, trong khi giá trị p (hoặc bất cứ thứ gì bạn gọi là tương đương) chỉ có xu hướng không có triệu chứng khi thực hiện mô phỏng.