Quá trình điểm không gian: Hàm cường độ bậc một không đồng nhất có ảnh hưởng đến sự phụ thuộc bậc hai không?

Như tiêu đề cho thấy, tôi có một chút nhầm lẫn về ảnh hưởng của chức năng cường độ thứ tự đầu tiên. Nếu tôi có hàm cường độ thứ tự đầu tiên cho biết ở một khu vực nhất định, các điểm có nhiều khả năng xảy ra hơn, điều đó có nghĩa là sẽ có nhiều điểm hơn xảy ra trong khu vực đó và có vẻ như các điểm đang co cụm trong khu vực đó và sau đó gợi ý rằng trong khu vực đó các mẫu điểm được nhóm lại. Vì vậy, dường như sự không đồng nhất của cường độ bậc một ảnh hưởng đến cường độ bậc hai.

Hiểu biết của tôi là hàm cường độ thứ tự đầu tiên xác định mức cường độ chung mà tại đó các điểm xảy ra. Sau đó, dựa trên cường độ đó, liệu các điểm trong một khu vực nhất định được phân cụm hoặc đẩy lùi so với quy trình Poisson cường độ tương tự sau đó được xác định bởi hàm cường độ bậc hai.

Nếu sự hiểu biết của tôi là chính xác, thì bất kỳ mô hình điểm nào cũng có thể được coi là một quá trình Poisson không đồng nhất nếu chúng ta mô tả cường độ thứ tự đầu tiên càng chi tiết càng tốt. Nhưng tất nhiên, đó sẽ là một trường hợp thừa.

Sự hiểu biết này có đúng không?

spatial point-process

— davidolohowski
nguồn

Cường độ bậc một và cường độ bậc hai đo các khía cạnh khác nhau của một quá trình có thể thay đổi gần như độc lập. Đặc biệt, không phải mọi quá trình điểm đều có thể được coi là một quá trình Poisson không đồng nhất.

Trước tiên hãy giải quyết vấn đề cuối cùng đó. Xem xét một quá trình Poisson đồng nhất trên khoảng Các khoảng trống sẽ có xu hướng theo một phân phối theo cấp số nhân. Hãy so sánh nó với một quá trình có xu hướng duy trì khoảng cách đều hơn, một quá trình "phân tầng ngẫu nhiên". Nó được tạo ra bằng cách chia khoảng thời gian thành một nghìn thùng không chồng chéo và chọn một điểm ngẫu nhiên thống nhất trong mỗi thùng. Chúng có cùng cường độ thứ tự đầu tiên, như được đề xuất bởi các ước tính này từ một nhận thức duy nhất của mỗi quy trình: $[0,1].$

Các quy trình này được phân biệt dễ dàng bằng cách kiểm tra các khoảng giữa các giá trị liên tiếp:

Đó thực sự là trường hợp mà các hình thức "phân cụm" nhất định có thể được đặc trưng bởi cường độ thứ hai - nhưng không phải tất cả. Phân cụm có thể có nghĩa là bất kỳ sự kết hợp của hai điều:

"Đơn hàng đầu tiên" phân nhóm gần một vị trí chỉ có nghĩa là có xu hướng được nhiều điểm hơn trong một khu phố của trên tất cả các chứng ngộ. $s$ $s$
"Thứ tự thứ hai" phân cụm gần một vị trí có nghĩa là sự xuất hiện của một điểm gần với được liên kết với sự xuất hiện của các điểm tại các vị trí khác gần $s$ $s$ $s.$

Điều này nghe có vẻ tinh tế, vì vậy hãy đối chiếu một số ví dụ. Tôi đã tạo ra hai quá trình: một quá trình đơn giản là không đồng nhất, có cường độ lớn hơn năm lần trong khoảng so với khoảng ; và một quá trình khác không đồng nhất nhưng được nhóm lại trong khoảng . Để tạo cái sau, tôi đã tạo một chuỗi các biến thiên theo cấp số nhân của , nhân bội số thứ năm với và tính tổng tích lũy cuối cùng chia cho hai lần tổng của chúng để đặt chúng trong phạm vi Quá trình trong khoảng $(0,1/2]$ $(1/2,1]$ $(0,1/2]$ $dX_i$ $100,$ $X_i,$ $(0,1/2].$ $(1/2,1]$ là một quá trình Poisson đồng nhất, giống như trước đây. Điều này tạo ra một quá trình trong đó có xu hướng có các nhóm bốn điểm chặt chẽ, tất cả đều tách biệt với nhau. Tuy nhiên, do các khoảng cách can thiệp giữa các điểm đó là ngẫu nhiên, nên các vị trí nơi các cụm đó xảy ra có xu hướng không giống nhau từ nhận thức này sang nhận thức khác. Khi bạn có cơ hội xem nhiều lần thực hiện một quy trình, đây là một cách để phân biệt tính không đồng nhất (sẽ tồn tại từ nhận thức này sang thực hiện tiếp theo) với phân cụm (có thể xảy ra ở bất kỳ đâu, không nhất thiết phải ở các vị trí cố định).

Việc thực hiện mỗi quá trình xuất hiện như một âm mưu thảm ở phía dưới. Các điểm là một biểu đồ phân tán của các cặp : nghĩa là, độ cao biểu đồ các khoảng trống đến điểm tiếp theo ở bên phải. Các phân tán rõ ràng phân biệt hai quá trình. $(X_i, dX_i)$

— whuber
nguồn

Cảm ơn vi đa trả lơi. Điều này chắc chắn đã xóa tan hầu hết những nhầm lẫn của tôi. Tuy nhiên, nó cũng tạo ra một câu hỏi khác cho tôi và tôi muốn làm cho đúng. Từ những gì bạn nói, có đúng là nếu tôi không biết quy trình tạo dữ liệu và tôi chỉ có một nhận thức về quy trình điểm, thì cấu trúc phụ thuộc bậc nhất và cấu trúc phụ thuộc bậc hai luôn không thể phân biệt được như Ege đã đề cập?

— davidolohowski

Tôi không đồng ý với kết luận đó, bởi vì một phân tích về những khoảng trống lân cận gần nhất có thể giúp phân biệt chúng. Tôi đồng ý rằng trong nhiều trường hợp có thể khó phân biệt các hiện tượng đó, nhưng trong một số trường hợp chắc chắn có thể làm như vậy.

— whuber

Tôi đoán tôi không đủ rõ ràng về ý tôi. Ý tôi là nếu tôi chỉ có một bộ dữ liệu của một quy trình điểm mà tôi không biết gì về nó, ví dụ, quy trình điểm được nhóm trong ví dụ thứ hai của bạn. Dường như với tôi rằng trong trường hợp này, không có cách nào tôi có thể phân biệt sự không đồng nhất bậc một và cấu trúc phụ thuộc bậc hai. Vì dường như tôi có thể điều chỉnh một hàm cường độ thứ tự đầu tiên rất chi tiết để mô tả quá trình cũng như các khoảng trống lân cận gần nhất. Đó là tất nhiên quá mức. Tuy nhiên, nó dường như chứng minh quan điểm của tôi.

— davidolohowski

Tôi đồng ý rằng với các giả định hợp lý, bạn có thể gặp may mắn khi sử dụng một mẫu điểm duy nhất để tách biệt tính không đồng nhất và phân cụm "thực" (và dễ bị ức chế hơn) do tương tác giữa các điểm. Tuy nhiên, bạn luôn có thể tham khảo trường hợp suy biến và nói rằng quá trình cơ bản là Poisson không đồng nhất với khối lượng điểm gần như tại các điểm quan sát, vì vậy theo nghĩa toán học mà không cần giả định thêm tôi đoán bạn không thể thực sự tiến bộ. Tất nhiên điều này không thú vị từ quan điểm thực tế và không phải là quan điểm tôi ủng hộ dưới bất kỳ hình thức nào.

— Ege Rubak

@Ege Cảm ơn bạn đã phân tích. Tôi nhận ra rằng mô hình cực đoan mà bạn mô tả là một mô hình đếm tham số cao, "bão hòa" có thể so sánh với các mô hình khác biệt theo cách tiêu chuẩn (thông qua AIC, xác thực chéo, v.v.), do đó có thể phát triển mục tiêu, thông báo ý kiến về bản chất của quá trình cơ bản.

— whuber

Theo nghĩa rộng, sự hiểu biết của bạn nghe có vẻ đúng. Cụ thể, bạn đúng rằng về cơ bản không thể phân biệt "tính không đồng nhất bậc một" và "phân cụm thứ hai do tương tác giữa các điểm" dựa trên một mẫu điểm duy nhất.

— Ege Rubak
nguồn

Cám ơn đã trả lời. Nếu đây là trường hợp, có cách nào để có được số liệu thống kê phụ thuộc bậc hai, ví dụ hàm tương quan cặp, sau khi loại trừ ảnh hưởng của tính không đồng nhất bậc một (giả sử tôi đã sử dụng mô hình nào đó để mô tả cường độ bậc một)? Hơn nữa, có một cách chung để biết liệu mô hình của hàm cường độ thứ tự đầu tiên có phải là quá mức không?

— davidolohowski

Thật khó để nói bất cứ điều gì nói chung về quá mức. Để xem xét thống kê bậc hai như hàm tương quan cặp với sự không đồng nhất bậc một là thực sự có thể. Bạn cần thêm các giả định, chẳng hạn như một hình thức giả định (cường độ thứ hai cường độ thứ hai). Có các chi tiết trong (mẫu miễn phí) Chương 7 (cụ thể là Phần 7.10) của cuốn sách spatstat Tuyên bố miễn trừ trách nhiệm: Tôi là đồng tác giả, vì vậy tôi thiên vị khi sử dụng tài liệu này làm tài liệu tham khảo - có rất nhiều tài liệu tham khảo khác.

— Ege Rubak