Tình huống

Một số nhà nghiên cứu muốn đưa bạn vào giấc ngủ. Tùy thuộc vào việc tung bí mật của một đồng tiền công bằng, họ sẽ đánh thức bạn một thời gian ngắn (Đầu) hoặc hai lần (Đuôi). Sau mỗi lần thức dậy, họ sẽ đưa bạn trở lại giấc ngủ với một loại thuốc khiến bạn quên đi sự thức tỉnh đó. Khi bạn thức tỉnh, bạn nên tin vào kết quả của việc tung đồng xu ở mức độ nào?

(OK, có lẽ bạn không muốn trở thành chủ đề của thí nghiệm này! Giả sử thay vào đó Người đẹp ngủ trong rừng (SB) đồng ý với điều đó (tất nhiên là được sự chấp thuận của Hội đồng Đánh giá Thể chế của Vương quốc Phép thuật). Cô ấy sẽ đi đến Ngủ một trăm năm, vậy dù sao thì một hoặc hai ngày nữa?)

[Chi tiết về hình minh họa Maxfield Parrish .]

Bạn là Halfer hay Thirder?

Vị trí Halfer. Đơn giản! Đồng xu là công bằng - và SB biết điều đó - vì vậy cô ấy nên tin rằng có một nửa cơ hội đầu.

Vị trí Thirder. Thử nghiệm này được lặp đi lặp lại nhiều lần, sau đó đồng xu sẽ chỉ đứng đầu một phần ba thời gian SB được đánh thức. Xác suất của cô cho người đứng đầu sẽ là một phần ba.

Thirder có vấn đề

Hầu hết, nhưng không phải tất cả, những người đã viết về điều này là những kẻ lừa đảo. Nhưng:

• Vào tối chủ nhật, ngay trước khi SB ngủ, cô phải tin rằng cơ hội của những người đứng đầu là một nửa: đó là ý nghĩa của việc trở thành một đồng tiền công bằng.

• Bất cứ khi nào SB thức dậy, cô ấy đã học được hoàn toàn không có gì cô ấy không biết tối chủ nhật. Sau đó, lý lẽ hợp lý nào cô ấy có thể đưa ra, vì đã nói rằng niềm tin của cô ấy vào đầu bây giờ là một phần ba chứ không phải một nửa?

Một số cố gắng giải thích

• SB nhất thiết sẽ mất tiền nếu cô ấy đặt cược vào đầu với bất kỳ tỷ lệ cược nào khác ngoài 1/3. (Vineberg, liên alios )

• Một nửa thực sự là chính xác: chỉ cần sử dụng cách giải thích của Everettian Đá nhiều thế giới về Cơ học lượng tử! (Lewis).

• SB cập nhật niềm tin của cô ấy dựa trên sự tự nhận thức về vị trí tạm thời của cô ấy trên thế giới. (Elga, ia )

• SB bối rối: Có vẻ như hợp lý hơn khi nói rằng trạng thái dịch chuyển của cô ấy khi thức dậy không nên bao gồm một mức độ nhất định của niềm tin vào đầu. Vấn đề thực sự là làm thế nào một người đối phó với sự cố nhận thức, không thể tránh khỏi, nhận thức. [[Arntzenius]

---

Câu hỏi

Kế toán cho những gì đã được viết về chủ đề này (xem các tài liệu tham khảo cũng như bài trước ), làm thế nào nghịch lý này có thể được giải quyết một cách nghiêm ngặt về mặt thống kê? Điều này thậm chí có thể?

---

Người giới thiệu

Arntzenius, Frank (2002). Những phản ánh về phân tích vẻ đẹp ngủ 62.1 trang 53-62.

Bradley, DJ (2010). Sự khẳng định trong một thế giới phân nhánh: Giải thích Everett và Người đẹp ngủ trong rừng . Người Anh. J. Phil. Khoa học. 0 (2010), 1 trận21.

Elga, Adam (2000). Niềm tin tự định vị và vấn đề Người đẹp ngủ trong rừng. Phân tích 60 trang 143-7.

Franceschi, Paul (2005). Người đẹp ngủ trong rừng và vấn đề giảm thế giới . Bản in.

Groisman, Berry (2007). Sự kết thúc của cơn ác mộng của Người đẹp ngủ trong rừng . Bản in.

Lewis, D (2001). Người đẹp ngủ trong rừng: trả lời Elga . Phân tích 61.3 trang 171-6.

Papineau, David và Victor Dura-Vila (2008). Một người thừa kế và một người Everettian: một câu trả lời cho 'Người đẹp ngủ lượng tử' của Lewis .

Pust, Joel (2008). Horgan về Người đẹp ngủ trong rừng . Synthese 160 trang 97-101.

Vineberg, Susan (nhấp nhô, có lẽ 2003). Câu chuyện cảnh báo của người đẹp .

Chiến lược

Tôi muốn áp dụng lý thuyết quyết định hợp lý vào phân tích, bởi vì đó là một cách được thiết lập tốt để đạt được sự nghiêm ngặt trong việc giải quyết vấn đề quyết định thống kê. Khi cố gắng làm như vậy, một khó khăn nổi lên là đặc biệt: sự thay đổi ý thức của SB.

• Lý thuyết quyết định hợp lý không có cơ chế để xử lý các trạng thái tinh thần thay đổi.

• Khi hỏi SB về sự tín nhiệm của cô ấy đối với việc lật đồng xu, chúng tôi đồng thời đối xử với cô ấy theo cách hơi tự giới thiệu cả về chủ đề (của thí nghiệm SB) và người thử nghiệm (liên quan đến việc lật đồng xu).

Hãy thay đổi thử nghiệm theo cách không cần thiết: thay vì sử dụng thuốc xóa trí nhớ, hãy chuẩn bị một bản sao ổn định của Người đẹp ngủ ngay trước khi thử nghiệm bắt đầu. (Đây là ý tưởng chính, bởi vì nó giúp chúng ta chống lại sự phân tâm - nhưng cuối cùng không liên quan và gây hiểu lầm - các vấn đề triết học.)

• Các bản sao giống như cô ấy trong tất cả các khía cạnh, bao gồm cả bộ nhớ và suy nghĩ.

• SB hoàn toàn nhận thức được điều này sẽ xảy ra.

Chúng ta có thể nhân bản, theo nguyên tắc. ET Jaynes thay thế câu hỏi "làm thế nào chúng ta có thể xây dựng một mô hình toán học về ý thức chung của con người" - một điều chúng ta cần để suy nghĩ về vấn đề Người đẹp ngủ trong rừng - bằng cách "Làm thế nào chúng ta có thể xây dựng một cỗ máy có thể thực hiện lý luận hợp lý hữu ích, Theo nguyên tắc được xác định rõ ràng thể hiện một ý thức chung lý tưởng hóa? " Do đó, nếu bạn thích, thay thế SB bằng robot suy nghĩ của Jaynes và sao chép nó.

(Đã có, và vẫn còn có những tranh cãi về máy móc "tư duy".

"Họ sẽ không bao giờ tạo ra một cỗ máy để thay thế tâm trí con người. Nó làm nhiều việc mà không máy móc nào có thể làm được."

Bạn nhấn mạnh rằng có một cái gì đó máy không thể làm. Nếu bạn sẽ cho tôi biết chính xác những gì mà một cỗ máy không thể làm được, thì tôi luôn có thể tạo ra một cỗ máy sẽ làm việc đó!

--J. von Neumann, 1948. Trích dẫn bởi ET Jaynes trong Lý thuyết xác suất: Logic của khoa học , tr. 4.)

--Rube Goldberg

Thí nghiệm Người đẹp ngủ trong rừng

Chuẩn bị bản sao SB giống hệt nhau (bao gồm cả bản thân SB) vào tối Chủ nhật. Tất cả đều đi ngủ cùng một lúc, có khả năng trong 100 năm. Bất cứ khi nào bạn cần đánh thức SB trong quá trình thử nghiệm, hãy chọn ngẫu nhiên một bản sao chưa được đánh thức. Bất kỳ sự thức tỉnh nào sẽ xảy ra vào Thứ Hai và, nếu cần, vào Thứ Ba.$n \ge 2$

Tôi khẳng định rằng phiên bản thử nghiệm này tạo ra chính xác cùng một tập hợp kết quả có thể, ngay đến trạng thái tinh thần và nhận thức của SB, với xác suất chính xác như nhau. Đây có thể là một điểm quan trọng mà các nhà triết học có thể chọn để tấn công giải pháp của tôi. Tôi khẳng định đó là điểm cuối cùng mà họ có thể tấn công nó, bởi vì phân tích còn lại là thường xuyên và nghiêm ngặt.

Bây giờ chúng tôi áp dụng các máy móc thống kê thông thường. Hãy bắt đầu với không gian mẫu (kết quả thử nghiệm có thể). Đặt có nghĩa là "đánh thức thứ hai" và có nghĩa là "đánh thức thứ ba". Tương tự, hãy để có nghĩa là "đầu" và "t" có nghĩa là đuôi. Đăng ký các bản sao với số nguyên . Sau đó, các kết quả thử nghiệm có thể có thể được viết (theo những gì tôi hy vọng là một ký hiệu rõ ràng, rõ ràng) như tập hợpT h 1 , 2 , ... , $M$$T$$h$$1, 2, \ldots, n$

$$\eqalign{ \{&hM_1, hM_2, \ldots, hM_n, \\ &(tM_1, tT_2), (tM_1, tT_3), \ldots, (tM_1, tT_n), \\ &(tM_2, tT_2), (tM_2, tT_3), \ldots, (tM_2, tT_n), \\ &\cdots, \\ &(tM_{n-1}, tT_2), (tM_{n-1}, tT_3), \ldots, (tM_{n-1}, tT_n) & \}. }$$

Xác suất thứ hai

Là một trong những bản sao SB, bạn cho rằng cơ hội của bạn được đánh thức vào thứ Hai trong một thử nghiệm đối đầu là ( cơ hội của những người đứng đầu) lần ( cơ hội tôi được chọn để trở thành bản sao được đánh thức). Về mặt kỹ thuật hơn:1 /$1/2$$1/n$

• Tập hợp các kết quả đầu là . Có trong số họ.$h = \{hM_j, j=1,2, \ldots,n\}$$n$

• Sự kiện mà bạn được đánh thức bằng đầu là .$h(i) = \{hM_i\}$

• Cơ hội của bất kỳ SB nhân bản cụ thể nào được đánh thức với đồng xu hiển thị đầu bằng$i$

  $$\Pr[h(i)] = \Pr[h] \times \Pr[h(i)|h] = \frac{1}{2} \times \frac{1}{n} = \frac{1}{2n}.$$

Xác suất thứ ba

• Tập hợp các kết quả đuôi là . Có trong số họ. Tất cả đều có khả năng như nhau, theo thiết kế.n ( n - 1 $t = \{(tM_j, tT_k): j \ne k\}$$n(n-1)$

• Bạn, bản sao , được đánh thức trong trong những trường hợp này; cụ thể là, cách bạn có thể được đánh thức vào Thứ Hai (có bản sao còn lại sẽ được đánh thức vào Thứ Ba) cộng với các cách bạn có thể được đánh thức vào Thứ Ba (có có thể nhân bản vào Thứ Hai). Gọi sự kiện này là .( n - 1 ) + ( n - 1 ) = 2 ( n - 1 ) n - 1 n - 1 n - 1 n - 1 t ( i $i$$(n-1) + (n-1) = 2(n-1)$$n-1$$n-1$$n-1$$n-1$$t(i)$

• Cơ hội của bạn được đánh thức trong một thử nghiệm kéo dài bằng

  $$\Pr[t(i)] = \Pr[t] \times P[t(i)|t] = \frac{1}{2} \times \frac{2(n-1}{n(n-1)} = \frac{1}{n}.$$

Định lý Bayes

Bây giờ chúng ta đã đi xa đến mức này, Định lý Bayes - một tautology toán học ngoài tranh chấp - hoàn thành công việc. Do đó, bất kỳ cơ hội đầu nào của bản sao là

$$\Pr[h | t(i) \cup h(i)] = \frac{\Pr[h]\Pr[h(i)|h]}{\Pr[h]\Pr[h(i)|h] + \Pr[t]\Pr[t(i)|t]} = \frac{1/(2n)}{1/n + 1/(2n)} = \frac{1}{3}.$$

Bởi vì SB không thể phân biệt được với bản sao của cô ấy - ngay cả với chính cô ấy! - đây là câu trả lời cô ấy nên đưa ra khi được hỏi về mức độ tin tưởng của mình vào đầu.

Giải thích

Câu hỏi "xác suất của những người đứng đầu là gì" có hai cách giải thích hợp lý cho thí nghiệm này: nó có thể hỏi về cơ hội một đồng xu công bằng hạ cánh, đó là (câu trả lời Halfer) hoặc có thể hỏi về cơ hội những đồng xu rơi xuống đất, dựa trên thực tế rằng bạn là bản sao được đánh thức. Đây là (câu trả lời của Thirder).Pr [ h | t ( i ) ∪ h ( i ) ] = 1 /$\Pr[h] = 1/2$$\Pr[h|t(i) \cup h(i)] = 1/3$

Trong tình huống mà SB (hay đúng hơn là bất kỳ một trong số các bộ máy tư duy Jaynes đã chuẩn bị giống hệt nhau) tìm thấy chính mình, phân tích này - mà nhiều người khác đã thực hiện (nhưng tôi nghĩ ít thuyết phục hơn, vì họ không loại bỏ rõ ràng những phiền nhiễu triết học trong các mô tả thử nghiệm) - hỗ trợ câu trả lời của Thirder.

Câu trả lời của Halfer là đúng, nhưng không thú vị, vì nó không liên quan đến tình huống mà SB thấy mình. Điều này giải quyết nghịch lý.

Giải pháp này được phát triển trong bối cảnh của một thiết lập thử nghiệm được xác định rõ. Làm rõ thí nghiệm làm rõ câu hỏi. Một câu hỏi rõ ràng dẫn đến một câu trả lời rõ ràng.

Bình luận

Tôi đoán rằng, theo Elga (2000), bạn có thể mô tả một cách hợp pháp câu trả lời có điều kiện của chúng tôi là "đếm [ing] vị trí tạm thời của riêng bạn có liên quan đến sự thật của h", nhưng đặc tính đó không thêm cái nhìn sâu sắc vào vấn đề: nó chỉ làm mất đi các sự kiện toán học trong bằng chứng. Đối với tôi, nó dường như chỉ là một cách tối nghĩa để khẳng định rằng cách giải thích "nhân bản" của câu hỏi xác suất là đúng.

Phân tích này cho thấy vấn đề triết học cơ bản là một trong những bản sắc : Điều gì xảy ra với những người vô tính không được đánh thức? Những mối quan hệ nhận thức và ồn ào nào giữa các bản sao? - nhưng cuộc thảo luận đó không phải là vấn đề phân tích thống kê; nó thuộc về một diễn đàn khác nhau .

Cảm ơn bài đăng tuyệt vời này (+1) và giải pháp (+1). Nghịch lý này đã làm tôi đau đầu.

Tôi chỉ nghĩ về tình huống sau đây không đòi hỏi thần tiên, phép màu hay ma thuật. Lật một đồng xu công bằng vào trưa thứ hai. Khi 'Tails' gửi thư cho Alice và Bob (theo cách mà họ không biết rằng người kia đã nhận được thư từ bạn và họ không thể liên lạc). Khi 'Thủ trưởng', gửi thư đến một trong số họ một cách ngẫu nhiên (với xác suất ).$1/2$

Khi Alice nhận được thư, xác suất mà đồng xu rơi vào 'Đầu' là bao nhiêu? Xác suất cô ấy nhận được một lá thư là và xác suất để đồng xu rơi vào 'Đầu' là .1 /$1/2 \times 1/2 + 1/2 = 3/4$$1/3$

Ở đây không có nghịch lý vì Alice không nhận được một lá thư có xác suất , trong trường hợp đó, cô biết đồng tiền đã rơi vào 'Heads'. Thực tế là chúng tôi không hỏi ý kiến ​​của cô ấy trong trường hợp đó, làm cho xác suất này bằng 0 .$1/4$

Vì vậy, sự khác biệt là gì? Tại sao Alice có được thông tin bằng cách nhận thư và SB sẽ không học được gì?

Chuyển sang một tình huống kỳ diệu hơn, chúng tôi đặt 2 SB khác nhau để ngủ. Nếu đồng xu rơi vào 'Đuôi', chúng ta sẽ đánh thức cả hai, nếu nó rơi vào 'Đầu', chúng ta sẽ đánh thức một trong số chúng một cách ngẫu nhiên. Một lần nữa, mỗi SB nên nói rằng xác suất để đồng xu rơi vào 'Heads' là và một lần nữa không có nghịch lý bởi vì có khả năng SB này sẽ không được đánh thức.1 /$1/3$$1/4$

Nhưng tình huống này rất gần với nghịch lý ban đầu vì xóa bộ nhớ (hoặc nhân bản) tương đương với việc có hai SB khác nhau. Vì vậy, tôi với @Doumund Zare ở đây (+1). SB đã học được điều gì đó bằng cách thức tỉnh. Thực tế là cô ấy không thể bày tỏ ý kiến ​​của mình vào thứ ba khi đồng xu 'Đầu' lên vì cô ấy đang ngủ không xóa thông tin cô ấy có được bằng cách thức tỉnh.

Theo tôi, nghịch lý nằm ở chỗ " cô ấy đã học được hoàn toàn không có gì cô ấy không biết tối chủ nhật " được nêu mà không cần biện minh. Chúng tôi có ấn tượng này bởi vì các tình huống khi cô ấy thức dậy là giống hệt nhau, nhưng điều này giống như Alice nhận được thư: đó là thực tế rằng cô ấy được hỏi ý kiến ​​của mình cung cấp thông tin của cô ấy.

EDIT CHÍNH : Sau khi suy nghĩ sâu sắc, tôi thay đổi quan điểm của mình: Người đẹp ngủ trong rừng không học được gì và ví dụ tôi đưa ra ở trên không phải là một ví dụ tốt về tình huống của cô ấy.

Nhưng đây là một vấn đề tương đương không nghịch lý. Tôi có thể chơi trò chơi sau với Alice và Bob: Tôi bí mật tung đồng xu và đặt cược độc lập cho họ 1 đô la mà họ không thể đoán được. Nhưng nếu đồng xu rơi vào 'Tails', việc đặt cược của Alice of Bob sẽ bị hủy (tiền không đổi tay). Cho rằng họ biết các quy tắc, họ nên đặt cược gì?

"Thủ trưởng" rõ ràng. Nếu đồng xu rơi vào 'Thủ trưởng', họ kiếm được 1 đô la , nếu không, họ mất trung bình 0,5 đô la . Điều đó có nghĩa là họ tin rằng đồng xu có 2/3 cơ hội hạ cánh trên 'Thủ trưởng'? Chắc chắn là không. Đơn giản là giao thức sao cho họ không thu được cùng số tiền cho mỗi câu trả lời.

Tôi tin rằng Người đẹp ngủ trong tình huống giống như Alice hoặc Bob. Các sự kiện cung cấp cho cô ấy không có thông tin về việc ném , nhưng nếu cô ấy được yêu cầu đặt cược, tỷ lệ cược của cô ấy không phải là 1: 1 vì sự bất cân xứng trong mức tăng. Tôi tin rằng đây là ý nghĩa của @whuber

Câu trả lời của Halfer là đúng, nhưng không thú vị, vì nó không liên quan đến tình huống mà SB thấy mình. Điều này giải quyết nghịch lý.

"Bất cứ khi nào SB thức dậy, cô ấy đã học được hoàn toàn không có gì cô ấy không biết tối chủ nhật." Điều này là sai, sai khi nói "Hoặc tôi trúng xổ số hoặc tôi không, vì vậy xác suất là ." Cô ấy đã học được rằng cô ấy đã thức dậy. Đây là thông tin. Bây giờ cô nên tin rằng mỗi lần thức tỉnh có thể đều có khả năng như nhau, không phải mỗi lần lật đồng xu.$50\%$

Nếu bạn là bác sĩ và bệnh nhân bước vào văn phòng của bạn, bạn đã biết rằng bệnh nhân đã bước vào văn phòng bác sĩ, điều này sẽ thay đổi đánh giá của bạn từ trước đó. Nếu tất cả mọi người đi đến bác sĩ, nhưng một nửa dân số bị bệnh thường gấp lần so với một nửa khỏe mạnh, thì khi bệnh nhân bước vào, bạn biết rằng bệnh nhân có thể bị bệnh.$100$

Đây là một biến thể nhỏ. Giả sử bất kể kết quả của việc tung đồng xu là gì, Người đẹp ngủ trong rừng sẽ được đánh thức hai lần. Tuy nhiên, nếu đó là đuôi, cô sẽ được đánh thức độc đáo hai lần. Nếu đó là những cái đầu, cô ấy sẽ được đánh thức một lần duy nhất, và sẽ có một thùng đá đổ lên người cô ấy một lần. Nếu cô thức dậy trong một đống băng, cô có thông tin rằng đồng xu đã xuất hiện. Nếu cô ấy thức dậy một cách tử tế, cô ấy có thông tin rằng đồng xu có thể đã không xuất hiện. Cô ấy không thể có một bài kiểm tra không suy giảm mà kết quả dương tính (băng) cho biết đầu của cô ấy có nhiều khả năng hơn mà không có kết quả âm tính (tốt đẹp) cho thấy rằng đầu ít có khả năng.

Nghịch lý nằm ở sự thay đổi quan điểm giữa một thí nghiệm duy nhất và điểm giới hạn của nó. Nếu # của các thử nghiệm được tính đến, bạn có thể hiểu điều này thậm chí còn chính xác hơn cả "hoặc / hoặc" của máy cắt và máy đập:

Thử nghiệm đơn: Halvers là đúng

Nếu có một thử nghiệm duy nhất, có ba kết quả và bạn chỉ cần tính xác suất từ ​​quan điểm của sự thức tỉnh:

1. Thủ trưởng bị quăng: 50%
2. Đuôi đã bị quăng và đây là lần thức tỉnh đầu tiên của tôi: 25%
3. Đuôi đã bị quăng và đây là lần thức tỉnh thứ hai của tôi: 25%

Vì vậy, trong một thử nghiệm duy nhất, tại bất kỳ sự kiện đánh thức nào, bạn nên giả sử 50/50 rằng bạn đang ở trong trạng thái bị ném đầu

Hai thí nghiệm: 42% ers là đúng

Bây giờ, hãy thử hai thí nghiệm:

1. Những cái đầu bị quăng hai lần: 25% (cho cả hai lần thức tỉnh kết hợp)
2. Đuôi đã được tung hai lần: 25% (cho cả bốn lần thức tỉnh kết hợp)
3. Đứng đầu rồi Tails và đây là lần thức tỉnh đầu tiên của tôi: 25% / 3
4. Đứng đầu rồi Tails và đây là lần thức tỉnh thứ 2 hoặc thứ 3 của tôi: 25% * 2/3
5. Đuôi rồi đứng đầu và đây là lần thức tỉnh thứ 1 hoặc thứ 2 của tôi: 25% * 2/3
6. Đuôi rồi đứng đầu và đây là lần thức tỉnh thứ 3 của tôi: 25% / 3.

Vì vậy, ở đây, {1, 3, 6} là các trạng thái Thủ trưởng của bạn, với xác suất kết hợp là (25 + 25/3 + 25/3)%, 41,66%, nhỏ hơn 50%. Nếu hai thử nghiệm được chạy, tại bất kỳ sự kiện đánh thức nào, bạn nên cho rằng 41,66% cơ hội bạn đang ở trong trạng thái ném đầu

Thí nghiệm vô hạn: Thirder là đúng

Tôi sẽ không làm toán ở đây, nhưng nếu bạn nhìn vào các tùy chọn hai thí nghiệm, bạn có thể thấy # 1 và # 2 lái nó về phía một nửa, và phần còn lại lái nó về phía thứ ba. Khi số lượng thử nghiệm tăng lên, các tùy chọn lái về phía một nửa (tất cả các đầu / tất cả các đuôi) sẽ giảm xác suất xuống 0, để lại các tùy chọn "phần ba". Nếu các thử nghiệm vô hạn được chạy, tại bất kỳ sự kiện đánh thức nào, bạn nên cho rằng 1/3 khả năng bạn đang ở trong trạng thái bị ném đầu

Retorting Retorts:

Nhưng, đánh bạc?

Có trong trường hợp thử nghiệm duy nhất, bạn vẫn nên "đánh bạc" bằng phần ba. Đây không phải là một sự không nhất quán; đó chỉ là vì bạn có thể đặt cược giống nhau nhiều lần cho một kết quả nhất định và biết trước điều này. (Hoặc nếu bạn không, mafia cũng vậy).

Được rồi, làm thế nào về hai thí nghiệm duy nhất? Chênh lệch nhiều?

Không, bởi vì kiến ​​thức về việc bạn tham gia thử nghiệm đầu tiên hay thứ 2 sẽ bổ sung thêm kiến ​​thức, erm, của bạn. Hãy xem xét các tùy chọn "hai thử nghiệm" và lọc chúng theo kiến thức mà bạn đang ở thử nghiệm đầu tiên.

1. Áp dụng cho lần đánh thức đầu tiên (1/2)
2. Áp dụng cho hai lần thức tỉnh đầu tiên (2/4)
3. Áp dụng
4. Không bao giờ áp dụng
5. Áp dụng cho lần đánh thức đầu tiên (1/2)
6. Không áp dụng

Được rồi, lấy số đầu (1,3,6) nhân các tỷ lệ này, tỷ lệ cược theo khả năng áp dụng: 25/2 + 25/3 + 0 = 125/6.

Bây giờ lấy những cái Tails (2,4,5) và làm tương tự: 25 * 4/2 + 0 + 25 * (2/3) / 2 = 125/6.

Viola, họ giống nhau. Thông tin bổ sung về thử nghiệm mà bạn thực tế điều chỉnh tỷ lệ cược của những gì bạn biết.

Nhưng, bản sao !!

Nói một cách đơn giản, trái với định đề của câu trả lời của OP, việc nhân bản đó tạo ra một thử nghiệm tương đương: nhân bản cộng với lựa chọn ngẫu nhiên sẽ thay đổi kiến ​​thức của người thử nghiệm, theo cùng một cách "nhiều thử nghiệm" thay đổi thử nghiệm. Nếu có hai bản sao, bạn có thể thấy xác suất của mỗi bản sao tương ứng với xác suất Hai thí nghiệm . Bản sao vô hạn hội tụ để thirder. Nhưng nó không phải là cùng một thử nghiệm và nó không phải là kiến ​​thức giống nhau, như một thử nghiệm duy nhất với một chủ đề không ngẫu nhiên.

Bạn nói "ngẫu nhiên một trong vô hạn" và tôi nói Tiên đề của sự phụ thuộc lựa chọn

Tôi không biết, lý thuyết tập hợp của tôi không phải là tuyệt vời. Nhưng được đưa ra cho N nhỏ hơn vô hạn, bạn có thể thiết lập một số chuỗi hội tụ từ một nửa đến một phần ba, trường hợp vô hạn bằng một phần ba sẽ là đúng hoặc không thể giải quyết được trong trường hợp xấu nhất, bất kể bạn gọi ra tiên đề nào.

Hãy thay đổi vấn đề.

Nếu đồng xu xuất hiện Heads, thì SB không bao giờ được đánh thức.

Nếu Tails, thì SB được đánh thức một lần.

Bây giờ các trại là Halfers và Zeroers. Và rõ ràng Zeroers là chính xác.

Hoặc: Thủ trưởng -> thức dậy một lần; Đuôi -> thức dậy một triệu lần. Rõ ràng, khi cô ấy tỉnh táo, rất có thể đó là đuôi.

(PS Về chủ đề "thông tin mới" - thông tin có thể đã bị KHAI THÁC. Vì vậy, một câu hỏi khác là: cô ấy có bị mất thông tin mà cô ấy từng có không?)

"Bất cứ khi nào SB thức dậy, cô ấy đã học được hoàn toàn không có gì cô ấy không biết tối chủ nhật."

Điều này không đúng, đó là lỗi trong đối số halfer. Một điều khiến nó khó tranh luận, tho, đó là lập luận halfer dựa trên tuyên bố này hiếm khi được thể hiện với bất kỳ sự nghiêm ngặt hơn so với những gì tôi đã trích dẫn.

Có ba vấn đề. Đầu tiên, đối số không định nghĩa "thông tin mới" nghĩa là gì. Nó dường như có nghĩa là "Một sự kiện ban đầu có xác suất khác không có thể xảy ra dựa trên bằng chứng." Thứ hai, nó không bao giờ liệt kê những gì được biết vào Chủ nhật để xem nó có phù hợp với định nghĩa này không; và nó có thể, nếu bạn nhìn vào nó đúng cách. Cuối cùng, không có định lý nào nói rằng "nếu bạn không có thông tin mới thuộc loại này, bạn không thể cập nhật." Nếu bạn có nó, Định lý Bayes sẽ tạo ra một bản cập nhật. Nhưng thật sai lầm khi kết luận, nếu bạn không có thông tin mới này, bạn không thể cập nhật. Trở thành ngụy biện không có nghĩa là nó không đúng, điều đó có nghĩa là bạn không thể đưa ra kết luận này chỉ dựa trên bằng chứng này.

Vào tối Chủ nhật, nói rằng SB lăn một cái chết sáu mặt tưởng tượng của chính mình. Vì nó là tưởng tượng, cô ấy không thể nhìn vào kết quả. Nhưng mục đích là để xem nó có khớp với ngày cô ấy thức không: một số chẵn có nghĩa là nó khớp với thứ Hai, và một số lẻ có nghĩa là thứ Ba. Nhưng nó không thể phù hợp với cả hai, điều này phân biệt hai ngày một cách hiệu quả.

Bây giờ SB có thể (nghĩa là vào Chủ nhật) tính xác suất cho tám kết hợp có thể có của {Đầu / Đuôi, Thứ Hai / Thứ Ba, Trận đấu / Không trận đấu}. Mỗi cái sẽ là 1/8. Nhưng khi cô tỉnh táo, cô biết rằng {Thủ trưởng, Thứ ba, Trận đấu} và {Thủ trưởng, Thứ ba, Không trận đấu} đã không xảy ra. Điều này tạo thành "thông tin mới" của mẫu đối số nửa nói rằng không tồn tại và nó cho phép SB cập nhật xác suất mà đồng xu của nhà nghiên cứu rơi vào đầu. Đó là 1/3 cho dù đồng xu tưởng tượng của cô ấy có khớp với ngày thực tế hay không. Vì nó cũng giống nhau, nên 1/3 là cô ấy có biết trận đấu hay không; và trên thực tế, dù cô ấy có lăn hay không, hay tưởng tượng việc lăn, chết.

Cái chết thêm này có vẻ như rất nhiều để trải qua để có được một kết quả. Trên thực tế, điều đó không cần thiết, nhưng bạn cần một định nghĩa khác về "thông tin mới" để biết lý do tại sao. Việc cập nhật có thể xảy ra bất cứ lúc nào các sự kiện quan trọng (nghĩa là độc lập và không có xác suất bằng 0) trong không gian mẫu trước khác với các sự kiện quan trọng trong không gian mẫu sau. Theo cách đó, mẫu số của tỷ lệ trong Định lý Bayes không phải là 1. Trong khi điều này thường xảy ra khi bằng chứng làm cho một số sự kiện có xác suất bằng 0, nó cũng có thể xảy ra khi bằng chứng thay đổi cho dù các sự kiện là độc lập. Đây là một cách giải thích rất không chính thống, nhưng nó hoạt động vì Vẻ đẹp được trao nhiều hơn một cơ hội quan sát một kết quả. Và điểm chết trong tưởng tượng của tôi, phân biệt ngày, là biến hệ thống thành một trong đó tổng xác suất là 1.

Vào Chủ nhật, SB biết P (Awake, Thứ hai, Thủ trưởng) = P (Awake, Thứ hai, Tails) = P (Awake, Thứ ba, Tails) = 1/2. Chúng cộng lại tới hơn 1/2 vì các sự kiện không độc lập dựa trên thông tin SB có vào Chủ nhật. Nhưng họ độc lập khi cô tỉnh táo. Câu trả lời, theo Định lý Bayes, là (1/2) / (1/2 + 1/2 + 1/2) = 1/3. Không có gì sai với mẫu số lớn hơn 1; nhưng đối số đồng xu tưởng tượng được thiết kế để thực hiện những điều tương tự mà không có mẫu số như vậy.

Tôi vừa vấp lại điều này. Tôi đã tinh chỉnh một số suy nghĩ của tôi kể từ bài đăng cuối cùng đó, và nghĩ rằng tôi có thể tìm thấy một đối tượng tiếp nhận cho họ ở đây.

Trước hết, về triết lý làm thế nào để giải quyết một cuộc tranh cãi như vậy: Nói các đối số A và B tồn tại. Mỗi người có một tiền đề, một chuỗi các khoản khấu trừ và kết quả; và kết quả khác nhau.

Cách tốt nhất để chứng minh một đối số là không chính xác là vô hiệu hóa một trong những suy luận của nó. Nếu điều đó là có thể ở đây, sẽ không có tranh cãi. Một cách khác là để từ chối tiền đề, nhưng bạn không thể làm điều đó trực tiếp. Bạn có thể tranh luận về lý do tại sao bạn không tin một người, nhưng điều đó sẽ không giải quyết bất cứ điều gì trừ khi bạn có thể thuyết phục người khác ngừng tin vào điều đó.

Để chứng minh một tiền đề sai một cách gián tiếp, bạn phải hình thành một chuỗi các khoản khấu trừ xen kẽ từ đó dẫn đến một sự vô lý hoặc mâu thuẫn của tiền đề. Cách ngụy biện là cho rằng kết quả đối nghịch vi phạm tiền đề của bạn. Điều đó có nghĩa là một cái sai, nhưng nó không chỉ ra cái nào.

+++++

Tiền đề của halfer là "không có thông tin mới." Chuỗi các khoản khấu trừ của họ là trống rỗng - không cần thiết. Pr (Thủ trưởng | Thức tỉnh) = Pr (Thủ trưởng) = 1/2.

Thirder (cụ thể là Elga) có hai tiền đề - đó là Pr (H1 | Awake và Thứ hai) = Pr (T1 | Awake và Thứ hai), và Pr (T1 | Awake và Tails) = Pr (T2 | Awake và Tails). Một chuỗi các khoản khấu trừ không thể chuyển đổi sau đó dẫn đến Pr (Heads | Awake) = 1/3.

Lưu ý rằng những kẻ lừa đảo không bao giờ cho rằng có thông tin mới - cơ sở của chúng dựa trên bất kỳ thông tin nào tồn tại - "mới" hay không - khi SB còn thức. Và tôi chưa bao giờ thấy ai tranh luận về lý do tại sao một tiền đề của kẻ lừa đảo là sai, ngoại trừ việc nó vi phạm kết quả halfer. Vì vậy, các nửa đã cung cấp không có đối số hợp lệ tôi đã liệt kê. Chỉ là kẻ ngụy biện.

Nhưng có những khoản khấu trừ khác có thể từ "không có thông tin mới", với một chuỗi các khoản khấu trừ bắt đầu bằng Pr (Heads | Awake) = 1/2. Một là Pr (Heads | Awake và Thứ hai) = 2/3 và Pr (Tails | Awake và Thứ hai) = 1/3. Điều này không mâu thuẫn với tiền đề của kẻ lừa đảo, nhưng như tôi đã nói, điều đó không giúp ích gì cho nguyên nhân gây ra bởi vì nó vẫn có thể là tiền đề của họ là sai. Trớ trêu thay, kết quả này lại chứng minh điều gì đó - rằng tiền đề halfer mâu thuẫn với chính nó. Vào Chủ nhật, SB nói Pr (Heads | Thứ hai) = Pr (Tails | Thứ hai), vì vậy việc thêm thông tin "Awake" đã cho phép cô ấy cập nhật các xác suất này. Đây là thông tin mới.

Vì vậy, tôi đã chứng minh tiền đề halfer không thể đúng. Điều đó không có nghĩa là những kẻ ăn cắp là đúng, nhưng điều đó có nghĩa là những người chia sẻ đã không cung cấp bất kỳ bằng chứng trái ngược nào.

+++++

Có một lập luận khác tôi thấy thuyết phục hơn. Nó không hoàn toàn nguyên bản, nhưng tôi không chắc liệu quan điểm đúng đắn đã được nhấn mạnh đủ chưa. Xem xét một biến thể của thí nghiệm: SB luôn được đánh thức trong cả hai ngày; thông thường nó ở trong một căn phòng được sơn màu xanh lam, nhưng vào thứ ba sau Heads nó ở trong một căn phòng được sơn màu đỏ. Cô ấy nên nói gì về xác suất của Heads là, nếu cô ấy thấy mình tỉnh táo trong một căn phòng màu xanh?

Tôi không nghĩ ai sẽ nghiêm túc tranh luận rằng đó là bất cứ thứ gì ngoài 1/3. Có ba tình huống có thể tương ứng với tình huống hiện tại của cô, tất cả đều có khả năng như nhau và chỉ có một tình huống bao gồm Thủ trưởng.

Điểm nổi bật là không có sự khác biệt giữa phiên bản này và bản gốc. Những gì cô ấy "biết" - "thông tin mới" của cô ấy - đó không phải là H2. Không quan trọng bằng cách nào, hoặc NẾU , cô sẽ biết đó có thể là H2 nếu có thể. Khả năng quan sát các tình huống mà cô ấy biết không áp dụng là không liên quan nếu cô ấy biết rằng họ không áp dụng.

Tôi không thể tin được tiền đề halfer. Điều này dựa trên một thực tế - rằng cô ấy không thể quan sát H2 - điều đó không thể quan trọng vì cô ấy có thể, và thực tế, quan sát rằng đó không phải là H2.

Vì vậy, tôi hy vọng rằng tôi đã cung cấp một lập luận thuyết phục cho lý do tại sao tiền đề halfer không hợp lệ. Trên đường đi, tôi biết tôi đã chứng minh rằng kết quả thirder phải chính xác.

Một phần ba số lần thức dậy có thể là thức dậy của người đứng đầu, và hai phần ba số lần thức dậy có thể là sự thức dậy của Tails. Tuy nhiên, một nửa công chúa (hoặc bất cứ điều gì) là công chúa Heads, và một nửa là công chúa Tails. Các công chúa Tails, cá nhân và tổng hợp, trải nghiệm số lần thức dậy nhiều gấp đôi so với các công chúa Heads.

Từ quan điểm của công chúa, khi thức dậy, có ba khả năng. Cô ấy là công chúa Heads thức dậy lần đầu tiên (và duy nhất) ( ), công chúa Tails thức dậy lần đầu tiên ( ) hoặc công chúa đuôi thức dậy lần thứ hai ( ). Dường như không có lý do nào để cho rằng ba kết quả này có khả năng như nhau. Thay vào đó , và .$H1$$T1$$T2$$P[H1]=0.5$$P[T1]=0.25$$P[T2]=0.25$

Tôi chưa đọc lý luận của Vineberg, nhưng tôi nghĩ rằng tôi có thể thấy cách cô ấy đạt được mức cược công bằng là . Giả sử rằng mỗi khi công chúa thức dậy, cô ấy đặt cược rằng cô ấy là công chúa Heads, nhận $ 1 nếu cô ấy thực sự là công chúa Heads, và $ 0 nếu không. Sau đó, công chúa Heads sẽ nhận được và công chúa Tails sẽ nhận được mỗi lần cô ấy chơi. Vì các công chúa Tails phải chơi hai lần và vì một nửa công chúa là công chúa Heads, nên lợi nhuận dự kiến ​​là và giá hợp lý là .$ x $ ( 1 - x ) $ ( - x ) $ ( 1 - 3 x ) / 2 $ 1 /$\$1/3$$\$x$$\$(1-x)$$\$(-x)$$\$(1-3x)/2$$\$1/3$

Thông thường, đây sẽ là bằng chứng thuyết phục cho thấy xác suất là , nhưng lý do thông thường không có trong trường hợp này: các công chúa định thua cược sẽ bị bắt buộc phải chơi trò chơi hai lần, trong khi những người được định sẵn sẽ thắng chỉ chơi một lần! Sự mất cân bằng này làm mất đi mối quan hệ thông thường giữa xác suất và đặt cược công bằng.$1/3$

(Mặt khác, một kỹ thuật viên được chỉ định giúp đỡ trong quá trình thức giấc thực sự sẽ chỉ có một cơ hội thứ ba được giao cho một công chúa Heads.)

Khi bạn thức tỉnh, bạn nên tin vào kết quả của việc tung đồng xu ở mức độ nào?

Bạn có ý nghĩa gì bởi " nên "? Hậu quả của niềm tin của tôi là gì? Trong một thí nghiệm như vậy tôi sẽ không tin bất cứ điều gì. Câu hỏi này được gắn thẻ là decision-theory, nhưng, theo cách thử nghiệm này được hình thành, tôi không có động lực để đưa ra quyết định.

Chúng tôi có thể sửa đổi thử nghiệm theo nhiều cách khác nhau để tôi cảm thấy có xu hướng đưa ra câu trả lời. Ví dụ: tôi có thể đoán xem liệu tôi đã thức dậy vì "Đầu" hay "Đuôi" và tôi sẽ kiếm được kẹo cho mỗi câu trả lời đúng mà tôi đưa ra. Trong trường hợp đó, rõ ràng, tôi quyết định chọn "Đuôi", bởi vì, trong các thí nghiệm lặp đi lặp lại, tôi trung bình kiếm được một viên kẹo cho mỗi thí nghiệm: Trong 50% trường hợp, quăng sẽ là "Đuôi", tôi được đánh thức hai lần và tôi sẽ kiếm được kẹo cả hai lần. Trong 50% khác ("Thủ trưởng") tôi sẽ không kiếm được gì. Tôi có nên trả lời "Thủ trưởng" không, tôi chỉ kiếm được một nửa số kẹo cho mỗi thử nghiệm, vì tôi chỉ có một cơ hội để trả lời và tôi sẽ đúng 50% thời gian. Nếu tôi tự tung một đồng xu công bằng cho câu trả lời, tôi sẽ$3/4$

Một khả năng khác là kiếm được kẹo cho mỗi thí nghiệm trong đó tất cả các câu trả lời của tôi đều đúng. Trong trường hợp đó, tôi không đưa ra câu trả lời có hệ thống nào , vì trung bình, tôi sẽ kiếm được một nửa kẹo cho mỗi thử nghiệm: Nếu tôi quyết định trả lời "Người đứng đầu" mọi lúc, tôi sẽ chính xác trong 50% các trường hợp, và tương tự giữ cho "Đuôi". Chỉ khi tôi tự tung đồng xu, tôi mới kiếm được viên kẹo: Trong 50% trường hợp, các nhà nghiên cứu sẽ ném "Người đứng đầu", và trong 50% số đó tôi cũng sẽ ném "Người đứng đầu", cũng kiếm được tôi kẹo. Trong 50% trường hợp khác, khi các nghiên cứu ném "Tails", tôi phải ném "Tails" hai lần,$3/8$$1/4$$1/4$trong các trường hợp, do đó điều này sẽ kiếm được tôi chỉ của một chiếc kẹo.$1/8$

Làm thế nào nghịch lý này có thể được giải quyết một cách nghiêm ngặt về mặt thống kê? Điều này thậm chí có thể?

Xác định "cách thống kê nghiêm ngặt ". Câu hỏi về một niềm tin là không có liên quan thực tế. Chỉ có hành động quan trọng.

Câu hỏi mơ hồ và do đó chỉ xuất hiện một nghịch lý. Câu hỏi được đặt ra theo cách này:

Khi bạn thức tỉnh, bạn nên tin vào kết quả của việc tung đồng xu ở mức độ nào?

Điều này bị nhầm lẫn với câu hỏi này:

Khi bạn được đánh thức, bạn nên tin rằng Heads là lý do bạn đã thức tỉnh ở mức độ nào?

Trong câu hỏi đầu tiên xác suất là 1/2. Trong câu hỏi thứ hai, 1/3.

Vấn đề là câu hỏi đầu tiên được nêu, nhưng câu hỏi thứ hai được ngụ ý trong bối cảnh thí nghiệm. Những người trong tiềm thức chấp nhận hàm ý nói rằng đó là 1/3. Những người đọc câu hỏi theo nghĩa đen nói rằng đó là 1/2.

Những người bối rối không chắc họ đang hỏi câu hỏi nào!

Tôi thực sự thích ví dụ này nhưng tôi sẽ lập luận rằng có một điểm để làm cho bối rối với một vài phiền nhiễu phiền toái.

Để tránh phiền nhiễu, người ta có thể cố gắng phân biệt một biểu đồ trừu tượng của vấn đề rõ ràng vượt quá sự nghi ngờ hợp lý (như một đại diện đầy đủ) và có thể được kiểm soát một cách có thể kiểm chứng (được xử lý lại bởi những người khác có trình độ) để chứng minh cho các yêu sách. Như một ví dụ đơn giản, hãy nghĩ về một hình chữ nhật (toán học trừu tượng) và tuyên bố rằng nó có thể được tạo thành hai hình tam giác.

Vẽ một hình chữ nhật tự do như là một đại diện của một hình chữ nhật toán học (trong bản vẽ của bạn, bốn góc sẽ không thêm chính xác đến 180 độ và các đường liền kề sẽ không chính xác hoặc thẳng nhưng sẽ không có nghi ngờ thực sự rằng nó đại diện cho một hình chữ nhật thật ). Bây giờ điều khiển nó bằng cách vẽ một đường thẳng từ góc đối diện này sang góc khác, điều mà bất kỳ ai khác có thể làm và bạn có được một đại diện của hai hình tam giác mà không ai có thể nghi ngờ một cách hợp lý. Bất kỳ câu hỏi về điều này có thể rất vô nghĩa, nó chỉ là.

Điểm tôi cố gắng đưa ra ở đây là nếu bạn nhận được một đại diện nghi ngờ hợp lý của vấn đề SB là phân phối xác suất chung và có thể đưa ra một sự kiện xảy ra trong thí nghiệm trong đại diện này - sau đó tuyên bố liệu có học được gì không bởi sự kiện đó có thể được chứng minh bằng thao tác có thể kiểm chứng và không yêu cầu thảo luận hoặc đặt câu hỏi (triết học).

Bây giờ tôi trình bày tốt hơn nỗ lực của mình và độc giả sẽ cần phải phân biệt nếu tôi đã thành công. Tôi sẽ sử dụng cây xác suất để biểu thị xác suất chung cho việc ngủ trong các thí nghiệm (DSIE), kết quả lật đồng xu vào thứ Hai (CFOM) và đánh thức một người đang ngủ trong thí nghiệm (WGSIE). Tôi sẽ rút nó ra (thực ra chỉ cần viết nó ra ở đây) dưới dạng p (DSIE) * p (CFOM | DSIE) * p (WGSIE | DSIE, CFOM).

Tôi muốn gọi DSIE và CFOM là những ẩn số có thể có và WGSIE là những điều có thể biết, sau đó p (DSIE, CFOM) là một ưu tiên và p (WGSIE | DSIE, CFOM) là một mô hình dữ liệu hoặc khả năng và định lý Bayes được áp dụng, mà không gắn nhãn này chỉ cần xác suất có điều kiện là logic tương tự.

Bây giờ chúng ta biết p (DSIE = Mon) + p (DSIE = Thứ ba) = 1 và p (DSIE = Thứ ba) = ½ p (DSIE = Mon)

vì vậy p (DSIE = Mon) = 2/3 và p (DSIE = Thứ ba) = 1/3.

Bây giờ P (CFOM = H | DSIE = Mon) = 1/2, P (CFOM = T | DSIE = Mon) = 1/2, P (CFOM = T | DSIE = Thứ ba) = 1.

P (WGSIE | DSIE =., CFOM =.) Luôn bằng một.

Ưu tiên bằng

P (DSIE = Thứ Hai, CFOM = H) = 2/3 * = 1/3

P (DSIE = Thứ Hai, CFOM = T) = 2/3 * = 1/3

P (DSIE = Thứ ba, CFOM = T) = 1/3 * 1 = 1/3

Vì vậy, biên trước cho CFOM = 1/3 H và 2/3 T, và hậu thế cho bạn bị đánh thức khi ngủ trong thí nghiệm - sẽ giống nhau (vì không có học tập xảy ra) - vì vậy bạn trước là 2/3 T.

OK - tôi đã sai ở đâu? Tôi có cần xem lại lý thuyết xác suất của mình không?

Một lời giải thích đơn giản cho điều này sẽ là có 3 cách mà người đẹp ngủ có thể đánh thức hai trong số đó là từ cú ném Tails. Vì vậy, xác suất phải là 1/3 cho một cái đầu mỗi khi cô thức dậy. Tôi đã vạch ra nó trong một blog của bài

Lập luận chính chống lại quan điểm "halfer" là như sau: Theo nghĩa bay bổng, SB luôn tìm cách xem những thông tin mới mà cô ấy có. Trong thực tế, thời điểm cô ấy quyết định tham gia thí nghiệm, cô ấy có thêm thông tin rằng khi cô ấy thức dậy, đó có thể là trong những ngày. Hay nói cách khác, việc thiếu thông tin (xóa sạch bộ nhớ) là những gì đang cung cấp bằng chứng ở đây, mặc dù vậy.

Như nhiều câu hỏi, nó phụ thuộc vào ý nghĩa chính xác của câu hỏi:

Khi bạn thức tỉnh, bạn nên tin vào kết quả của việc tung đồng xu ở mức độ nào?

Nếu bạn hiểu nó là "tỷ lệ cược mà một đồng xu được ném là gì", rõ ràng câu trả lời là "một nửa tỷ lệ cược".

Nhưng những gì bạn đang hỏi không phải (theo cách giải thích của tôi) đó, mà là "đó là cơ hội mà sự thức tỉnh hiện tại là do Người đứng đầu gây ra?". Trong trường hợp đó, rõ ràng chỉ có một phần ba sự thức tỉnh là do Người đứng đầu gây ra, vì vậy câu trả lời có thể xảy ra nhất là "Đuôi".

Đây là một câu hỏi rất thú vị. Tôi sẽ đưa ra câu trả lời của mình như thể tôi đang ngủ ngon. Tôi cảm thấy một điểm quan trọng để hiểu là chúng tôi tin tưởng 100% vào người thí nghiệm.

1) Vào tối chủ nhật, nếu bạn hỏi tôi xác suất của đồng xu là bao nhiêu, tôi sẽ cho bạn biết .$\frac{1}{2}$

2) Bất cứ khi nào bạn đánh thức tôi dậy và hỏi tôi, tôi sẽ nói với bạn .$\frac{1}{3}$

3) Khi bạn nói với tôi rằng đây là lần cuối cùng bạn thức tỉnh tôi, tôi sẽ ngay lập tức chuyển sang cho bạn biết xác suất là .$\frac{1}{2}$

Rõ ràng (1) xuất phát từ thực tế là đồng tiền là công bằng. (2) xuất phát từ thực tế là khi bạn bị đánh thức, bạn đang ở một trong 3 tình huống có khả năng như nhau theo quan điểm của bạn. Mỗi trong số chúng có thể xảy ra với xác suất .$\frac{1}{2}$

Sau đó (3) cũng theo cách tương tự ngoại trừ ngay khi bạn được thông báo đây là lần cuối cùng bạn bị đánh thức, số tình huống bạn có thể gặp phải là 2 (như bây giờ là đuôi và đây là lần đầu tiên bạn thức tỉnh là không thể).

Tôi sẽ giải quyết vấn đề này cho trường hợp chung trong đó SB bị đánh thức ' ' lần sau 'Heads' và ' ' lần sau 'Tails' với .$m$$n$$m≤n$

Cụ thể, nếu đồng xu là 'Thủ trưởng', cô sẽ được đánh thức vào ...

ngày 1
ngày 2 ngày
$\cdots$
$\cdots$
$m$

... và nếu đồng xu là 'Đuôi', cô ấy sẽ được đánh thức trên ...

ngày 1
ngày 2 ngày
$\cdots$
$\cdots$
$n$

$m≤n$

Sau đó, cho câu hỏi cụ thể này, sẽ là và . Tôi sẽ không đưa ra các giả định, sẽ chỉ sử dụng thông tin đã cho rằng đồng tiền là công bằng, do đó trước khi đánh thức nó là Khi SB thức dậy, cô không biết hôm nay là ngày nào hay liệu cô đã thức dậy trước đó. Cô chỉ biết một đồng xu công bằng đã được ném với kết quả có thể là 'Đầu' và 'Đuôi'. Cô cũng biết sự thức tỉnh đang diễn ra vào 'ngày 1' hoặc 'ngày 2' hoặc hoặc 'ngày '. Đối với kết quả có thể 'Người đứng đầu', có ' ' kết quả có thể tôi sẽ đặt tên là , , , .$m=1$$n=2$

$$P(Heads)=P(Tails)=1/2.$$ $\ldots$$n$$m$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

$D_1$ : Sự thức tỉnh này xảy ra vào 'ngày 1' : Sự thức tỉnh này xảy ra vào 'ngày 2' : Sự thức tỉnh này xảy ra vào 'ngày 3' : Sự thức tỉnh này xảy ra vào 'ngày '
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_m$$m$

Đối với kết quả có thể 'Tails', có ' ' kết quả có thể bao gồm cả ' ' kết quả có thể được nêu ở trên.$n$$m$

$D_1$ : Sự thức tỉnh này xảy ra vào 'ngày 1' : Sự thức tỉnh này xảy ra vào 'ngày 2' : Sự thức tỉnh này xảy ra vào 'ngày 3' : Sự thức tỉnh này xảy ra vào 'ngày '
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_n$$n$

Vì vậy, có kết quả có thể. Bây giờ khi đồng xu đã hạ cánh 'Người đứng đầu', các sự kiện , , , đều có khả năng như nhau. Do đó ... Ngoài ra, khi đồng xu đã hạ cánh 'Tails', các sự kiện , , , đều có khả năng như nhau. Do đó ... Bây giờ, đối với mọi sự kiện có thể trong đó là số nguyên và$m+n$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

$$P(D_1|H)=P(D_2|H)=\ldots=P(D_m|H) = \frac{1}{m}$$ $D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$ $$P(D_1|T)=P(D_2|T)=\ldots=P(D_n|T) = \frac{1}{n}$$ $D_i$$i$$1≤i≤m$ $$P(D_i\cap H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{m} = \frac {1}{2m}$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$ cho , rõ ràng là ... $m<i≤n$ $$P(D_i∩H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times0=0$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$

Bây giờ hãy tính xác suất của các sự kiện có thể , , ,$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

cho cho$1≤i≤m$

$$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T) = \frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}$$ $m<i≤n$ $$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T)=0+\frac {1}{2n} = \frac {1}{2n}$$

Bây giờ chúng ta có thể tính xác suất của 'Người đứng đầu' SB đã thức. Như đã nói ở trên, các sự kiện có thể xảy ra khi thức dậy là , , , . Do đó, xác suất là ...$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

$$\begin{align}P(H|awake)&=P(H|(D_1∪D_2∪...∪D_n))\\ &\\ &=\frac {P(H∩(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac {P((H∩D_1)∪(H∩D_2)∪\ldots∪(H∩D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_m)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_m)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2m}\times m + 0\times(n-m)}{(\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n})\times m + \frac {1}{2n}\times(n-m)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2}+0}{\frac {1}{2}+\frac{m}{2n}+\frac {1}{2}-\frac{m}{2n}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\frac {1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2} \end{align}$$

Chúng tôi đã có câu trả lời, nhưng chúng ta cũng hãy tính xác suất của 'Đầu' hoặc 'Đuôi' khi sự thức tỉnh đang diễn ra vào một ngày nhất định

với$1≤i≤m$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2m}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{n}{m+n}$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2n}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{m}{m+n}$$

với$m<i≤n$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{0}{P(D_i)}=0$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac{1}{2n}}{\frac{1}{2n}}=1$$

Tôi biết đây không phải là câu trả lời cho những người tin câu trả lời "1/3". Đây chỉ là một cách sử dụng đơn giản các xác suất có điều kiện. Vì vậy, tôi không tin rằng vấn đề này là mơ hồ và do đó là một nghịch lý. Mặc dù nó gây nhầm lẫn cho người đọc bằng cách không rõ đó là những thí nghiệm ngẫu nhiên và những sự kiện có thể xảy ra của những thí nghiệm đó.

Vì người đẹp ngủ không thể nhớ được cô ấy đã thức dậy bao nhiêu lần trước đó, chúng tôi không nhìn vào xác suất của những người đứng đầu cho rằng cô ấy đã thức dậy chỉ một lần này, nhưng xác suất của những người đứng đầu cho rằng cô ấy đã thức dậy ít nhất một lần:

Vì vậy, chúng ta có: và không$P(Heads\mid x\geq1) = 1/2$ $P(Heads\mid x=1) = 1/3$

Do đó, câu trả lời là 50% (một nửa là đúng) và không có nghịch lý.

Con người dường như được làm cho đến nay, đây xa phức tạp hơn nó thực sự là!

Không thống kê

Trong tất cả khả năng di truyền bẩm sinh của mình, Người đẹp ngủ trong rừng có thể thực hiện thí nghiệm giả thuyết trong giấc ngủ, điều này sẽ định hình cô tin rằng:

import numpy as np

# Take clones of our Sleeping Beauties.
# One type of clones is persistently heads guessing,
# the other persistently guesses tails.

# Keeping score for heads guessing Sleeping Beauty ...
guessed_heads_right = 0

# ... and also for the tails guessing Sleeping Beauty
guessed_tails_right = 0

# Coding the toss outcomes
HEADS = 0
TAILS = 1


# Function to wake up heads guessing Sleeping Beauty
def heads_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == HEADS


# Function to wake up tails guessing Sleeping Beauty
def tails_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == TAILS


# Repeating the tossing and awakenings many times
for i in range(1000):

    # Toss fair coin, result is either HEADS or TAILS
    toss = np.random.randint(0, 2)

    # Waking SBs up first time and count successful guesses
    if heads_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_heads_right += 1
    if tails_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_tails_right += 1

    # If toss was TAILS, wake SBs up second time ...
    if toss == TAILS:

        # ... and counts successful guesses
        if heads_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_heads_right += 1
        if tails_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_tails_right += 1

# Print the raw statistics
print('Guessed HEADS right: {}'.format(guessed_heads_right))
print('Guessed TAILS right: {}'.format(guessed_tails_right))

Đầu ra:

Guessed HEADS right: 498
Guessed TAILS right: 1004

Vì vậy, Người đẹp ngủ trong rừng của chúng ta sẽ tin rằng sẽ tốt hơn khi đoán đuôi.

Và theo thống kê?

Các thuật toán trên không phải là a statistically rigorous wayđể xác định những gì để đoán. Tuy nhiên, điều này cho thấy rõ ràng rằng trong trường hợp đuôi, cô ấy phải đoán hai lần , do đó, đoán đuôi có khả năng đoán đúng gấp đôi . Điều này sau từ quy trình hoạt động của thí nghiệm.

Xác suất thường xuyên

Xác suất thường xuyên là một khái niệm thống kê dựa trên các lý thuyết của Fisher, Neyman và (Egon) Pearson.

Một khái niệm cơ bản trong Xác suất thường xuyên là các hoạt động trong các thí nghiệm có thể được lặp đi lặp lại, ít nhất là theo giả thuyết, một số lần vô hạn. Mỗi hoạt động như vậy dẫn đến một kết quả .$n$$E_{n}$

Xác suất thường xuyên của kết quả được xác định là:$E$$Pr(E)\equiv\texttt{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{E_{n}}{N}\right)$

Đây chính xác là những gì Người đẹp ngủ trong đầu cô ấy đã nói: nếu là sự kiện đúng trong khi đoán ĐẦU, thì hội tụ thành .$E$$Pr(E)$$\frac{1}{3}$

Còn cô thì tin?

Vì vậy, khi cuối cùng cô ấy đến đây với lý do của mình, cô ấy có cơ sở nghiêm ngặt về mặt thống kê để dựa vào niềm tin của mình. Nhưng cuối cùng cô sẽ định hình chúng như thế nào, thực sự phụ thuộc vào tâm lý của cô.

Tôi chỉ nghĩ ra một cách mới để giải thích quan điểm của mình, và có gì sai với câu trả lời 1/2. Chạy hai phiên bản thử nghiệm cùng một lúc, sử dụng cùng một đồng xu lật. Một phiên bản giống như bản gốc. Mặt khác, ba (hoặc bốn - không thành vấn đề) là cần thiết; mỗi cái được chỉ định một sự kết hợp khác nhau của Đầu-hoặc-Đuôi và Thứ Hai hoặc Thứ Ba (kết hợp Đầu + Thứ ba được bỏ qua nếu bạn chỉ sử dụng ba tình nguyện viên). Dán nhãn chúng lần lượt là HM, HT, TM và TT (có thể bỏ qua HT).

Nếu một tình nguyện viên trong phiên bản thứ hai thức dậy theo cách này, cô ấy biết rằng mình cũng có khả năng được dán nhãn là HM, TM hoặc TT. Nói cách khác, xác suất cô ấy được dán nhãn là HM, cho rằng cô ấy tỉnh táo, là 1/3. Vì việc lật đồng xu và ngày tương ứng với nhiệm vụ này, cô có thể suy ra một cách tầm thường rằng P (Heads | Awake) = 1/3.

Tình nguyện viên trong phiên bản đầu tiên có thể bị đánh thức nhiều lần. Nhưng vì "hôm nay" chỉ là một trong hai ngày có thể, nên khi cô tỉnh táo, cô có thông tin chính xác giống như tình nguyện viên tỉnh táo trong phiên bản thứ hai. Cô ấy biết rằng hoàn cảnh hiện tại của cô ấy có thể tương ứng với nhãn được áp dụng cho một, VÀ CHỈ MỘT , của các tình nguyện viên khác. Đó là, cô ấy có thể tự nói với bản thân mình "hoặc là tình nguyện viên được dán nhãn HM, hoặc HT, hoặc TT cũng đã thức. Vì mỗi người đều có khả năng như nhau, có khả năng là 1/3 và đó là khả năng 1/3 đồng xu đã hạ cánh đuôi. "

Lý do mọi người mắc lỗi là họ nhầm lẫn "đôi khi thức dậy trong quá trình thử nghiệm" với "bây giờ đã thức." Câu trả lời 1/2 xuất phát từ SB gốc nói với chính mình "hoặc HM chỉ là tình nguyện tỉnh táo khác VỚI DOANH NGHIỆP , hoặc TM và TT là cả hai tỉnh táo đôi khi trong cuộc thử nghiệm . Vì mỗi tình hình cũng không kém phần khả năng, có một cơ hội 1/2 đó là HM và vì vậy một cơ hội 1/2 đồng xu đã hạ cánh. " Đó là một sai lầm vì bây giờ chỉ có một tình nguyện viên khác thức dậy.

Thay vì đưa ra một câu trả lời nghiêm ngặt về mặt thống kê, tôi muốn sửa đổi câu hỏi một chút theo cách có thể thuyết phục những người có trực giác khiến họ trở thành một nửa.

Một số nhà nghiên cứu muốn đưa bạn vào giấc ngủ. Tùy thuộc vào việc tung đồng xu bí mật, họ sẽ đánh thức bạn một lần (Thủ trưởng) hoặc chín trăm chín mươi chín lần (Đuôi). Sau mỗi lần thức tỉnh họ sẽ đưa bạn trở lại giấc ngủ với một loại thuốc khiến bạn quên đi sự thức tỉnh đó.

Khi bạn thức tỉnh, bạn nên có niềm tin ở mức độ nào mà kết quả của việc tung đồng xu là Heads?

Theo logic tương tự như trước đây, có thể có hai trại -

• Halfers - việc tung đồng xu là công bằng và SB biết điều này, vì vậy cô nên tin rằng có một nửa cơ hội của những người đứng đầu.
• Hàng ngàn người - nếu thí nghiệm được lặp đi lặp lại nhiều lần, việc tung đồng xu sẽ chỉ đứng đầu một lần trong một nghìn lần, vì vậy cô nên tin rằng cơ hội của những người đứng đầu là một phần nghìn.

Tôi tin rằng một số nhầm lẫn từ câu hỏi như từ ban đầu phát sinh đơn giản là vì không có nhiều sự khác biệt giữa một nửa và một phần ba. Mọi người thường nghĩ về xác suất là những khái niệm hơi mờ nhạt (đặc biệt khi xác suất là mức độ tin tưởng hơn là tần suất) và thật khó để hiểu được sự khác biệt giữa mức độ của một nửa và một phần ba.

Tuy nhiên, sự khác biệt giữa một nửa và một trong một nghìn là trực quan hơn nhiều. Tôi cho rằng nó sẽ là bằng trực giác rõ ràng cho nhiều người rằng câu trả lời cho này vấn đề là một trong một ngàn, chứ không phải là một nửa. Tôi sẽ thấy thú vị khi thấy một "kẻ lừa đảo" bảo vệ lập luận của họ bằng cách sử dụng phiên bản của vấn đề này.

Nếu người đẹp ngủ phải nói đầu hoặc đuôi - cô ấy sẽ giảm thiểu chức năng mất 0-1 dự kiến ​​của mình (được đánh giá mỗi ngày) bằng cách chọn đuôi. Tuy nhiên, nếu chức năng mất 0-1 chỉ được đánh giá mỗi thử nghiệm thì đầu hoặc đuôi sẽ tốt như nhau.

Những kẻ ăn cắp chiến thắng

Thay vì một đồng xu, hãy giả sử một con xúc xắc công bằng:

on friday, the sleeping beauty will sleep:
if the dice == 1 , they will awake her on saturday;
if the dice == 2 , they will awake her on saturday and sunday;
if the dice == 3 , they will awake her on saturday, sunday and monday;
if the dice == 4 , they will awake her on saturday, sunday, monday and tuesday;
if the dice == 5 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday and wednesday;
if the dice == 6 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday, wednesday and thursday;

Mỗi lần họ hỏi cô 'đến mức độ nào bạn nên tin rằng kết quả của con xúc xắc là 1?'

Các nửa sẽ nói xác suất của xúc xắc = 1 là 1/6 Người chơi sẽ nói xác suất của xúc xắc = 1 là 1/21

Nhưng mô phỏng rõ ràng giải quyết vấn đề:

days <- c("saturday", "sunday", "monday", "tuesday", "wednesday", "thursday")

#she will answer the dice was 1 every time 
#the trick here is that this is not absolutely random because every day implies the days before it. 


number_of_correct_answer <- 0
number_of_days <- 0
for (i in 1:1000){
dice <- sample(1:6,1)
for (item in days[1:dice]){
        number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (dice == 1)
        number_of_days <- number_of_days + 1
}
}
number_of_correct_answer/number_of_days
#equals 1/21
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment has more than one day we will get 1/6
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/6

Ngoài ra chúng ta có thể mô phỏng vấn đề quăng

days <- c("monday", "tuesday")
number_of_correct_answer <- 0
number_of_tosses <- 0
for (i in 1:1000){
        toss <- sample(1:2,1)
        for (item in days[1:toss]){
                number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (toss == 1)
                number_of_tosses <- number_of_tosses + 1
        }
}
number_of_correct_answer/number_of_tosses
#equals 1/3
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment can has more than one toss we will get 1/2
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/2

Nghịch lý rõ ràng xuất phát từ tiền đề sai lầm rằng xác suất là tuyệt đối. Trong thực tế, xác suất liên quan đến định nghĩa của các sự kiện được tính.

Đây là một điểm quan trọng để hiểu cho máy học. Chúng tôi có thể tính toán xác suất của một cái gì đó (ví dụ, phiên âm là chính xác được cung cấp một đoạn âm thanh) thông qua phân tách thành các yếu tố (xác suất của các chữ cái tại nhiều thời điểm, ) được mô hình bởi một mô hình nhìn không phải toàn bộ âm thanh mà ngay lập tức (nó tính ). có thể bằng vì P được định nghĩa khác nhau . Các P khác nhau không thể được đưa vào cùng một phương trình, nhưng phân tích cẩn thận có thể cho phép chúng ta chuyển đổi giữa hai miền.$P(Letter,Time|Audio)$$P(Letter|Time,Audio)$$P(Letter,Time)$$P(Letter|Time)$

Cả P (Heads) = 1/2 wrt worlds (hoặc sinh) và P (Heads) = 1/3 wrt instants (hoặc thức tỉnh) đều đúng, nhưng sau khi được đưa vào giấc ngủ, Beauty Beauty chỉ có thể tính toán xác suất liên quan đến instants bởi vì cô ấy biết trí nhớ của mình bị xóa. (Trước khi ngủ, cô ấy sẽ tính toán nó liên quan đến thế giới.)

Tôi nghĩ rằng lỗi là do "những kẻ ăn cắp" và lý do của tôi là "sự thức tỉnh" không có khả năng như nhau - nếu bạn thức dậy thì nhiều khả năng đó là "lần đầu tiên" bạn thức dậy - 75 % cơ hội trong thực tế.

Điều này có nghĩa là bạn không thể đếm "3 kết quả" (Heads1, tails1, tails2) như nhau.

Tôi nghĩ rằng đây cũng có vẻ là một trường hợp của trong đó là mệnh đề mà SB được đánh thức. Nói điều gì đó là đúng hai lần cũng giống như nói một lần. SB chưa được cung cấp dữ liệu mới, vì dự đoán từ trước là . Cách khác để đặt nó là và . Điều này có nghĩa là$AA=A$$A$$Pr(A|I)=1$$I\implies A$$IA=I$$p(H|AI)=p(H|I)=0.5$

Các toán học được hiển thị rõ ràng trong câu trả lời được đưa ra bởi @ pit847, vì vậy tôi sẽ không lặp lại nó trong tôi.

nhưng, về mặt đặt cược đô la để đoán kết quả ở mỗi lần thức tỉnh và bạn được tặng đô la nếu bạn đúng. Trong trường hợp này, bạn phải luôn luôn đoán đuôi vì kết quả này là "có trọng số". Nếu đồng xu đã có đuôi, thì bạn sẽ đặt cược hai lần. vì vậy lợi nhuận dự kiến ​​của bạn (gọi này ) nếu bạn đoán các đầu là và tương tự để đoán đuôi $1$$g$$U$

$$E(U|h)=0.5\times (g-1) + 0.5\times (-2) = \frac{g - 3}{2}$$ $$E(U|t)=0.5\times (-1) + 0.5 \times (2g-2)=\frac{2g - 3}{2}$$

do đó, bạn nhận được trung bình thêm từ việc đoán đuôi. số tiền "đặt cược công bằng" là$\frac{g}{2}$$g=\frac{3}{2}=1.5$

Bây giờ nếu chúng ta lặp lại ở trên nhưng sử dụng một phần ba thay vì một nửa, chúng ta sẽ nhận được và . Vì vậy, chúng tôi vẫn có đoán rằng đuôi là một chiến lược tốt hơn. Ngoài ra, số tiền "đặt cược công bằng" là$E(U|h)=\frac{g-5}{3}$$E(U|t)=\frac{4g-5}{3}$$g=\frac{5}{4}=1.25$

Bây giờ chúng ta có thể nói rằng "thirder" nên đặt cược trong đó . Nhưng "người bán" sẽ không đặt cược này. @Ytsen de Boer có một mô phỏng chúng ta có thể kiểm tra. Chúng tôi có đầu và đuôi, vì vậy đuôi cá cược sẽ cung cấp cho bạn tiền cược. Nhưng ... bạn đã phải chơi lần để có được điều này - đó là một khoản lỗ ròng - vì vậy "những kẻ ăn cắp" đã thua! cũng lưu ý rằng đây thực sự là một kết quả hơi thuận lợi cho đuôi cá cược.$g=1.4$$498$$502$$1004 \times 1.4 = 1405.6$$1502$$97.6$

Khi Người đẹp ngủ dậy, cô biết:

$r$$r = \mathrm{H}$$r = \mathrm{T}$

$\mathcal{I}$

$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I})?$

$w$$\mathcal{I}$

$$(r = \mathrm{H} \vee r = \mathrm{T}) \wedge (r = \mathrm{H} \implies w = 1) \wedge (r = \mathrm{T} \implies (w = 1 \vee w = 2))$$

$$(r = \mathrm{H} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 2)$$

$\frac{1}{3}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{3}$

---

PS

$\mathrm{H}$$\mathrm{T}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{2}$

Tuy nhiên, theo quan điểm của tôi, các tuyên bố thuộc loại này là không thể chấp nhận được về mặt kỹ thuật, bởi vì xác suất là một điều gì đó phải được giải quyết từ các đề xuất tiền đề và hậu quả. Câu "bí mật tung đồng xu" đặt ra câu hỏi: Làm thế nào để Người đẹp ngủ trong rừng biết điều đó công bằng? Những thông tin nào cô ấy có mà thiết lập đó? Thông thường sự công bằng của một đồng tiền lý tưởng được giải quyết từ thực tế là có hai khả năng tương đương thông tin. Khi lật đồng xu được trộn lẫn với yếu tố đánh thức, chúng ta sẽ có ba khả năng tương đương thông tin. Nó thực chất là một đồng tiền lý tưởng ba mặt, vì vậy chúng tôi đi đến giải pháp ở trên.

Đi dự tiệc muộn, tôi biết.

Câu hỏi này rất giống với vấn đề Monty Hall, nơi bạn được yêu cầu đoán đằng sau giải thưởng nào trong 3 cửa. Nói rằng bạn chọn Cửa số 1. Sau đó, người trình bày (người biết giải thưởng ở đâu) sẽ loại bỏ Cửa số 3 khỏi trò chơi và hỏi bạn có muốn chuyển dự đoán của mình từ Cửa số 1 sang Cửa số 2 hay không, hoặc theo dõi dự đoán ban đầu của bạn. Câu chuyện tiếp tục, bạn nên luôn luôn chuyển đổi, bởi vì có xác suất cao hơn cho giải thưởng sẽ ở Cửa số 2. Mọi người thường bị nhầm lẫn vào thời điểm này và chỉ ra rằng xác suất giải thưởng ở một trong hai cửa vẫn là 1/3. Nhưng đó không phải là vấn đề. Câu hỏi không phải là xác suất ban đầu là gì, câu hỏi thực sự là những cơ hội mà lần đoán đầu tiên của bạn là chính xác, so với những cơ hội mà bạn đã hiểu sai là gì. Trong trường hợp này, bạn nên chuyển đổi, vì khả năng bạn đã nhầm là 2/3.

Như với vấn đề Monty Hall, mọi thứ trở nên rõ ràng hơn nếu chúng ta biến 3 cánh cửa thành một triệu cánh cửa. Nếu có một triệu cánh cửa và bạn chọn Cửa số 1 và người thuyết trình đóng cửa từ 3 đến một triệu, chỉ để lại Cửa số 1 và Cửa số 2 trong trò chơi, bạn có chuyển đổi không? Tất nhiên rồi! Cơ hội bạn đã chọn Cửa số 1 chính xác ở vị trí đầu tiên là 1 trên một triệu. Có thể bạn không.

Nói cách khác, lỗi trong lý luận xuất phát từ việc tin rằng xác suất thực hiện một hành động bằng với xác suất của một hành động đã được thực hiện, khi bối cảnh giữa hai người không đưa ra những tuyên bố tương đương. Phrased khác nhau, tùy thuộc vào bối cảnh và hoàn cảnh của vấn đề, xác suất 'chọn đúng' có thể không giống như xác suất 'đã chọn đúng'.

Tương tự với vấn đề làm đẹp khi ngủ. Nếu bạn không thức dậy 2 lần trong trường hợp đuôi, nhưng 1 triệu lần, bạn sẽ có ý nghĩa hơn khi nói "sự thức tỉnh hiện tại mà tôi đang trải nghiệm ngay bây giờ rất có thể là một trong những người ở giữa vệt của hàng triệu sự thức tỉnh từ một cú ném Tails, hơn là tôi vừa tình cờ va vào sự thức tỉnh duy nhất đó là kết quả từ những cái đầu ". Lập luận rằng đó là một đồng tiền công bằng không liên quan gì đến bất cứ điều gì ở đây. Đồng xu công bằng chỉ cho bạn biết cơ hội 'ném' của người đứng đầu là gì, tức là xác suất phải thức dậy một lần so với một triệu lần, khi bạn lần đầu tiên ném đồng xu đó. Vì vậy, nếu bạn hỏi SB trước khi thử nghiệm để chọn xem cô ấy sẽ ngủ một lần hay một triệu lần trước mỗi lần ném, thì xác suất 'chọn đúng' của cô ấy thực sự là 50%.

Nhưng kể từ thời điểm đó, giả sử các thí nghiệm liên tiếp, và thực tế là SB không được cho biết cô ấy đang thực hiện thí nghiệm nào, tại bất kỳ thời điểm nào cô ấy thức dậy, xác suất để có những cái đầu 'ném' là rất ít, vì cô ấy có nhiều khả năng thức dậy từ một trong hàng triệu sự thức tỉnh hơn là từ một người duy nhất.

Lưu ý rằng điều này ngụ ý các thí nghiệm liên tiếp, theo các giai đoạn của vấn đề. Nếu SB được trấn an từ khi bắt đầu thử nghiệm rằng sẽ chỉ có một thử nghiệm duy nhất (tức là chỉ có một toin coss), thì niềm tin của cô ấy quay trở lại 50%, vì bất cứ lúc nào, thực tế là cô ấy có thể đã thức dậy nhiều lần trước đây trở nên không liên quan. Nói cách khác, trong bối cảnh này, xác suất 'chọn đúng' và 'chọn đúng' lại trở nên tương đương.

Cũng lưu ý rằng, bất kỳ lời nhắc lại nào khi sử dụng 'cá cược', cũng là những câu hỏi khác nhau thay đổi hoàn toàn bối cảnh. Ví dụ, ngay cả trong một thử nghiệm duy nhất, nếu bạn kiếm được tiền mỗi lần bạn đoán đúng, rõ ràng bạn sẽ đi theo đuôi; nhưng điều này là do phần thưởng dự kiến ​​cao hơn, không phải vì xác suất của đuôi là khác với đầu. Do đó, bất kỳ "giải pháp" nào giới thiệu cá cược chỉ có giá trị trong phạm vi họ giải quyết vấn đề theo một cách giải thích rất cụ thể.

Trước khi SB đi ngủ, cô tin rằng cơ hội lật đồng xu tiếp theo là 1/2. Sau khi cô tỉnh dậy, cô tin rằng cơ hội mà lần lật đồng xu gần đây nhất là đứng đầu là 1/3. Những sự kiện đó không giống nhau vì không có sự tương ứng 1-1 giữa việc thức tỉnh và lật đồng xu.

Làm thế nào về giải pháp sau đây:

Câu hỏi là để đánh giá xác suất của đồng xu sắp "đứng đầu". Vì vậy, nếu Người đẹp ngủ say thức dậy vào thứ Hai và biết đó là ngày nào, cô thực sự sẽ phải tin rằng xác suất "đầu" là 50%.

Tuy nhiên, liệu cô có được đánh thức vào thứ ba và biết hôm nay là ngày nào, xác suất đồng xu sắp lên đầu sẽ là con số không.

Do đó, kiến ​​thức về ngày nào sẽ bổ sung thông tin quan trọng thay đổi xác suất của "người đứng đầu".

Người đẹp ngủ, tuy nhiên, không biết hôm nay là ngày nào khi cô thức dậy. Do đó, chúng tôi cần xác định xác suất thức dậy vào thứ Hai hoặc thứ Ba, tương ứng.

Đầu tiên, hãy xem xét xác suất của nó là thứ ba. Khi người thí nghiệm lật đồng xu, kết quả sẽ quyết định kịch bản thử nghiệm nào anh ta sẽ theo dõi. Nếu nó đứng đầu, SB chỉ thức dậy vào thứ Hai. Nếu đó là đuôi, cô ấy thức dậy cả vào thứ Hai và thứ Ba. Xác suất của thí nghiệm theo một trong những đường dẫn này rõ ràng là 50/50. Bây giờ, nếu chúng ta ở trong nhánh "hai lần thức tỉnh", xác suất nó là thứ ba hoặc thứ hai khi SB thức dậy là cả 50%. Do đó, chúng ta có thể tính tổng xác suất của ngày thứ ba khi SB thức dậy là 0,5 * 0,5 = 0,25. Rõ ràng sau đó, xác suất của nó là thứ Hai khi cô thức dậy là 1-0,25 = 0,75

Nếu SB biết rằng cô thức dậy vào thứ ba, xác suất đồng xu xuất hiện "đầu" sẽ là con số không.

Tuy nhiên, nếu cô ấy biết rằng cô ấy thức dậy vào thứ Hai, xác suất đồng xu xuất hiện "đầu" sẽ là 50%. Nhưng chúng tôi biết rằng xác suất của nó là thứ Hai là 0,75. Vì vậy, để tìm ra tổng xác suất đồng xu xuất hiện "đầu", chúng ta cần nhân 0,75 * 0,5 = 0,375

Câu trả lời là như vậy, xác suất mà đồng xu xuất hiện "đứng đầu" là 37,5%

Trên đây chỉ là một gợi ý. Xin vui lòng, chỉ ra, nếu bạn thấy sai sót trong lý luận của tôi.