Luận cứ về tương tác trong cuốn sách Tại sao

Có một đoạn về các tương tác trong Cuốn sách tại sao (Pearl & Mackenzie, 2018), Chương 9 (Tôi không thể chia sẻ số trang vì tôi có cuốn sách ở định dạng epub), trong đó các tác giả cho rằng:

Tuy nhiên, phương trình 9.4 giữ tự động trong một tình huống, không cần phải gọi các phản ứng rõ ràng. Đó là trường hợp của một mô hình nhân quả tuyến tính, thuộc loại mà chúng ta đã thấy trong Chương 8. Như đã thảo luận ở đó, các mô hình tuyến tính không cho phép các tương tác , có thể là một ưu điểm và nhược điểm. Đó là một đức tính theo nghĩa nó làm cho phân tích hòa giải dễ dàng hơn nhiều, nhưng đó là một nhược điểm nếu chúng ta muốn mô tả một quá trình nhân quả trong thế giới thực có liên quan đến các tương tác. [Nhấn mạnh của tôi]

Phương trình 9,4 là

Họ đã lặp lại một lập luận tương tự trước đó trong Chương 8:

Mặt khác, các mô hình tuyến tính không thể biểu diễn các đường cong phản ứng liều không phải là các đường thẳng. Chúng không thể đại diện cho các hiệu ứng ngưỡng, chẳng hạn như một loại thuốc có tác dụng tăng lên đến một liều lượng nhất định và sau đó không có tác dụng nữa. Chúng cũng không thể biểu diễn các tương tác giữa các biến . Chẳng hạn, một mô hình tuyến tính không thể mô tả một tình huống trong đó một biến tăng cường hoặc ức chế ảnh hưởng của biến khác. (Ví dụ: Giáo dục có thể nâng cao hiệu quả của Trải nghiệm bằng cách đưa cá nhân vào một công việc theo dõi nhanh hơn, được tăng lương hàng năm lớn hơn.) [Nhấn mạnh mỏ]

Và trong Chương 7:

Cũng nên nhớ rằng điều chỉnh dựa trên hồi quy * chỉ hoạt động cho các mô hình tuyến tính, liên quan đến một giả định mô hình chính. Với các mô hình tuyến tính, chúng ta mất khả năng mô hình các tương tác phi tuyến, chẳng hạn như khi hiệu ứng của X trên Y phụ thuộc vào mức độ Z. Mặt khác, điều chỉnh cửa sau vẫn hoạt động tốt ngay cả khi chúng ta không biết gì các chức năng là đằng sau các mũi tên trong sơ đồ. Nhưng trong trường hợp được gọi là trường hợp không tham số này, chúng ta cần sử dụng các phương pháp ngoại suy khác để đối phó với lời nguyền của chiều. [Nhấn mạnh của tôi]

Tại sao Pearl & Mackenzie lập luận rằng các mô hình tuyến tính không cho phép tương tác? Tôi có bỏ qua một chi tiết quan trọng và thông tin cụ thể theo ngữ cảnh không?

* Bằng cách điều chỉnh dựa trên hồi quy, các tác giả tham khảo (trong các đoạn trước), cái mà đôi khi chúng ta gọi là "điều khiển" các biến khác: "Tương tự của đường hồi quy là mặt phẳng hồi quy, có phương trình trông giống ... Hệ số cho chúng ta hệ số hồi quy của trên đã được điều chỉnh cho (Nó được gọi là hệ số hồi quy từng phần và được viết .) "$Y=aX+bZ+c$$a$$Y$$X$$Z$$r_{YX.Z}$

Bạn đang kết hợp tuyến tính trong các tham số với tuyến tính trong các biến. Tuyến tính ở đây đề cập đến mối quan hệ giữa các biến.

Quan điểm của họ trong cuốn sách là, nếu mô hình không tuyến tính trong các biến , thì cả phương trình đều không

giữ, cũng không phải là hệ số hồi quy cung cấp cho bạn điều chỉnh cửa sau thích hợp trực tiếp.

Về trường hợp cuối cùng, ví dụ, hãy xem xét kỳ vọng có điều kiện , đó là tuyến tính đối với với và .$E[Y|x,z] = \beta x + \gamma z$$X$$Z$

Nếu thỏa mãn tiêu chí cửa sau cho tác động nhân quả của đối với , thì$Z$$X$$Y$

Nghĩa là, hệ số hồi quy bằng hiệu ứng nhân quả cận biên trung bình. Đây là ý nghĩa của "điều chỉnh dựa trên hồi quy" trong trường hợp này, bạn không cần thêm bất kỳ bước nào ở đây --- tất cả các trung bình cần thiết cho điều chỉnh cửa sau được tự động thực hiện bằng hồi quy.$\beta$

Bây giờ hãy xem xét kỳ vọng có điều kiện . Lưu ý đây không phải là tuyến tính đối với và (mặc dù nó là tuyến tính trong các tham số).$E[Y|x,z] = \beta x + \gamma z + \delta (x \times z)$$x$$z$

Lưu ý trong trường hợp này nếu thỏa mãn tiêu chí cửa sau cho tác động nhân quả của đối với , thì$Z$$X$$Y$

Đó là, việc điều chỉnh backdoor đúng là không được đưa ra bởi các hệ số hồi quy trên chỉ. $X$

Tổng quát hơn, Pearl đang nói rằng nếu bão hòa tiêu chí cửa sau, bạn có thể sử dụng bất kỳ công cụ ước tính không tham số nào bạn muốn tính toán phân phối sau can thiệp .$Z$$E[Y|do(x)] = E[E[Y|x, Z]]$

Các mô hình "Hoàn toàn tuyến tính" không cho phép điều đó. Nếu bạn muốn mô hình hóa một tương tác bằng cách sử dụng một trường hợp cụ thể của Mô hình tuyến tính chung (đừng nhầm điều này với Mô hình tuyến tính tổng quát), bạn phải giới thiệu một biến phụ nhân tạo giống như sản phẩm của hai mô hình tương tác.

Mô hình mới này vẫn tuyến tính liên quan đến các tham số của nó (đây là vấn đề quan trọng để có được các công cụ ước tính), nhưng nó không còn tuyến tính liên quan đến các biến của nó (bạn không còn có thể nói về mối quan hệ tuyến tính giữa các biến hồi quy và mục tiêu)